务ｌ 匐 地 基于三点圆弧拟合法的椭圆曲线Ｒ参数编程研究 Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｔｈｅ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｃｕｒｅ Ｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｉｔｔｉｆｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ｐｏｉｎｔｓ ａｒｃ 彭美武 ＰＥＮＧ Ｍｅｉ－ｗｕ （四川工程职业技术学院，德阳６１８０００） 摘 要：在非圆曲线一般采用直线拟合方式编写数控程序的基础上，提出了三点圆弧拟合法，通过对三 点圆弧拟合椭圆曲线原理进行分析、坐标计算和轮廓误差比较，并结合数控系统的Ｒ参数功 能，简单方便地避免了复杂的数算。同时，改进后的三点圆弧法拟合椭圆曲线，很好地 提高了曲线加工精度，减少了拟合线段数量。 关键词：非圆曲线；直线拟合；三点圆弧拟合；椭圆曲线；Ｒ参数 中圈分类号：ＴＨ３９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１ ００９—０１ ３４（２０１４）０２（下）一０００５—０４ Ｄｏｉ：１０．３９６９／Ｊ．ｉｓｓｎ．１００９－０１３４．２０１４．０２（下）．０２ ０引言 目前，绝大多数数控系统具有直线插补和圆 弧插补功能，对于非圆曲线，大多数编程采用多 １传统直线拟合法 椭圆的加工方法很多，为了编写程序方便， 目前数控编程人员采用两种常见的直线拟合方 式，一是通过椭圆参数公式计算，方法简单，椭 圆参数公式如下： Ｉ ＝Ａ×ｃ ‘ 段直线拟合方式，直线拟合点的坐标计算比较简 单，方便编程，但是各点连接不光滑，表面质量 及精度会受到影响；采用圆弧拟合，可以很好的 改善工件质量，使表面更加光滑，同时精度也会 提高。 女★ ＩＹ＝Ｂ×ｓｉｎＯ 其中：Ａ为ｘ向椭圆半轴长； Ｂ为Ｙ向椭圆半轴长； ｅ为椭圆离心角，零角度在ｘ轴正向。 该方式将以椭圆中心为圆点，将椭圆离心角 ３６００细分成Ｎ等份，每等份离心角为ｅ，通过０可 以算出拟合直线段端点的Ｘ、Ｙ坐标。Ｎ越大，对 图１椭圆凸台 应的每一份离心角０就越小，逼近线段就越短，加 工的误差就越小。 另外一种是细化其中一轴坐标，比如Ｘ，将Ｘ 轴细化成Ｎ等份，然后通过椭圆的公式 ＋ ＝１ 计算与Ｘ对应Ｙ坐标。这种方法，在加工椭圆或其 圆弧拟合方法很多，常见的有等误差法、三 点圆弧法、等弧长拟合法等。选择哪种加工方 法，应充分考虑零件加工质量的要求和计算方 便，虽然有的方法加工精度高，但是计算复杂， 甚至要借用专业软件进行计算，并不适合变量编 程，在现实中，数控编程人员不太可能采用太复 它曲线，不熟悉曲线参数公式的情况被经常采 用，也十分方便。 杂的方法。因此，加工方法的选取需要尽量兼顾 零件加工质量和计算方便。下面以加工非圆曲线 椭圆凸台为例，如图ｌ所示，选取计算相对不复 杂，并能很好改善加工轮廓质量，同时又能节省 加工时间的三点圆弧法，介绍其计算方法及程序 设计过程。 ２改进后的三点圆弧法 针对直线拟合曲线虽然简单，但加工质量及 精度有影响，因此在此基础上改变进其拟合方 式，同时考虑计算和程序编制的方便实施，采用 三点圆弧法拟合方式，如图２所示，该方式基于等 收稿日捆：２０１３－Ｉ１－０３ 作者简介：彭美武（１９７４一），男，Ｉｇ１）ｌｌ德阳人，副教授，工学学士，主要从事数控加工工艺与编程研究。 第３６卷第２期２０１４一ｏ２（下） ［５１ ｌ 匐 化 分离心角直线拟合方式改进的，为了表示清楚， 图中ｅ进行了放大处理。 图２三点圆弧法拟合原理 ２．１圆弧拟合圆心及半径计算 在图２中，椭圆起点是Ｐ 点，椭圆离心角０所 对应的点是Ｐ：，椭圆离心角２ｅ对应点是Ｐ。，通过 椭圆参数公式可以轻松确定拟合圆弧开始三个点 的坐标。要编写通过Ｐ 、Ｐ 、Ｐ，的圆弧数控指 令，重点要计算该圆弧的圆心或半径，计算的方 法有中垂线法、一般方程式法等。在此采用将Ｐ 、 Ｐ：、Ｐ 坐标带入形成的圆方程办法，得到： （Ｘ１一Ｘｏ） ＋（ —ｙ０） ＝Ｒ （１） （Ｘ２一Ｘｏ） ＋（ｙ２一ｔｏ） ＝Ｒ （２） （ 一Ｓｏ） ＋（ 一ｙ０） ＝Ｒ （３） 将（１）、（２）、（３）式变换为： ｆｘ３ 一ｘ。 一２（ｘ，一ｘ ）ｘ。＋ 一 一２（ 一 ） ＝ｏ （４） １ 一 一２（ 一 ） ＋ 一 一２（ —ｒＯ￣＂ｏ＝ｏ （５） 解方程式（４）、（５），得到圆心坐标： Ｓｏ＝ ２舞 鞲 【（ 一 ）（ — ）一（ 一 ）（ — ）］ （６） 一２［（ 一 ）（ 一 ）一（ 一焉筹ｒ墨）（ — ０ ］ （７）， 其中： ＝Ａ， ＝０； Ｘ２＝Ａ×ｃｏｓｏ， ＝Ｂ×ｓｉｎＯ．， Ｘ３＝Ａ Ｘ ｃｏｓｏ（２０）， ＝Ｂｘｓｉｎ（２ｏ）。 将）（０、Ｙ。带入式（１）即可得到圆弧半径Ｒ： Ｒ＝ 丽 （８） 以次类推，可以求出其余拟合圆弧的圆心和 半径，在这里需要注意应该保证椭圆离心角２ｅ能 被３６０。整除，才能保证最后拟合圆弧的终点才能在 Ｘ轴上，也就是椭圆起点也是终点。 ［６１ 第３６卷第２期２０１４—０２（下） ２．２拟合的线段误差对比分析 ２．２．１直线拟合误差分析 椭圆采用直线拟合时，根据等分的离心角ｅ形 成很多细小的直线段，为了保证加工的精度，必 须保证拟合直线和理论上的椭圆最大误差在轮廓 允许误差范围之内。 如图２所示，拟合的误差为５。，因为０角很 小，可以把Ｐ Ｐ：椭圆段近似看成圆弧段，通过Ｏ向 直线Ｐ Ｐ：做垂线，取椭圆长半轴为圆弧半径，可以 看出６ 即为直线拟合最大误差，因为在后面直线 段拟合时，分割出的椭圆段而当成的近似圆弧半 径均小于椭圆长半轴，所以直线拟合最大误差６ 为： ＝Ａ—Ａ×ｃｏｓ（Ｏ／２）＝Ａ×ｆｌ—ＣＯＳ（ ／２）１ 如果椭圆轮廓允许误差为０．００１ｒａｍ，则通过计 算，０＝１．１４６。就可以。因为０越小，精度就越 高，５ １就越小，所以可以选取０：１。，即将整个 椭圆离心角分成３６０等份就能满足要求。 ２－２．２三点圆弧拟合误差分析 ＩＹ Ｐｊ／ ｌ ／／ ‘ Ｏ，（Ｘｏ Ｙ０】 图３三点圆弧法拟合误差 采用三点圆弧法拟合椭圆曲线，必须进行误 差分析。为了便于分析、观察拟合精度，特将图２ 进行改进及放大，如图３所示，发现逼近的圆弧有 一段在椭圆的内侧，有一段在椭圆的外侧，也就 是说，这段圆弧拟合椭圆形成的最大误差是６ 或 ５ 。通过递推就可以找出用三点圆弧拟合整个椭 圆的误差最大值６。 下面通过介绍６ 、６ 的计算方法，最终确定 误差最大值６。计算６：时，椭圆上的Ｃ点对应的 离心角为Ｏ ，０ Ｃ与拟合圆弧的其中一个交点为 Ｄ，ｏ Ｄ就是拟合圆弧的半径Ｒ；同理计算５ ，所 以： 务Ｉ 匐 似 ＝ ＝Ｉｏｃ一 ｆ＝ｌ Ｉｏ．Ｆ—ＲＩ＝ｌ 面 一叫 ｅＭ （９） 面 ～ ｅ 卅（１０） 表１ 几种离心角选取对应拟合圆弧最大误差 ： ＝以计算６ 为例，要使６ 是误差最大值，即应 该０ １∈【０，０】范围内０１Ｃ是最大值。假如０＝５。， 可以根据公式（６）、（７）、（８）得到第一段拟 合圆弧圆心坐标０１（７．０５２，一０．００９）和半径 Ｒ＝１２．９４８，将它们及长半轴２０、短半轴１６带入公 式（９），只要求出０ ∈【０，５】范围内公式（１１） ３ Ｒ参数程序设计 ＳＩＮＵＭＥＲＩＫ数控系统Ｒ参数编程是西门子数 最大值，其中： 厂（ ）＝√（２０×ｃｏｓ８ｌ一７．０５２） ＋（１６× 加 ＋０．００９） （１１） 计算函数在区间内最大值方法比较多，在这 里采用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件分析，通过该软件可以绘 制出公式（１１）函数图形，如图４（ａ）所示，横坐 标是将角度转换成弧度计算的。图４（ａ）是０ ∈ 【０，５】范围内，（ｅ．）函数图，从图形可以看函数最 大值为１２．９４８３，带入公式（９），可以计算最大误 差是６ ２值为０．０００３ｍｍ；同样方法从图４（ｂ）可以 求０。∈［５，１０】范围函数最大值，从而得到６ 为 ０．０００２６ｍｍ。所以第一段圆弧最大误差应该是 ６，。 图４／（０一）函数图形 按照上面的办法可以搜索后面的圆弧拟合 段，就可以找出整个椭圆采用三点圆弧拟合的最 大误差６，为了分析简单，我们只分析的椭圆 １／４，后面３／４椭圆规律一样，误差最大在椭圆的１／４ 部分就能体现出来。为了保证圆弧终点能刚好拟 合到椭圆的１／４，则需要９０／２０能整除。 通过计算，表ｌ给出了采用几种不同离心角圆 弧拟合椭圆最大误差情况结果对比。从表１可以看 出，即使选取椭圆离心角０＝５。，一段拟合圆弧将 对应椭圆离心角２０，即１０。，这样圆弧拟合线段是 前面选取椭圆离心角ｅ为１。对应直线拟合线段数量 的１／１０，减少程序的循环次数，同时轮廓误差也比 直线拟合线段小很多。 控编程的一个重要特点，通过对变量Ｒ进行赋值， 可以方便的实现变量的数算和逻辑运算，再 配合循环功能，可以实现许多有规律性、比较复 杂零件的编程。 如图１所示，毛坯为５０ｍｍ×５０ｍｍ×３０ｍｍ， 根据零件要求，选择 ２Ｏ的立铣刀，需要进行椭 圆凸台粗、精铣，设置粗铣半径补偿Ｄ０１＝１０．２， 精铣半径补偿Ｄ０２＝ｌ０，以椭圆中心为ＸＹ坐标原 点，上表面为ｚ方向坐标原点。 三点圆弧拟合椭圆时，要编写圆弧指令在 ＳＩＮＵＭＥＲＩＫ数控系统有６种编程指令，在这里选 用终点及圆心方式编程，将圆心方式设为绝对方 式，可以少一步Ｒ的计算。同时，相邻两端圆弧 间，后段圆弧点相对前段圆弧点相应点增加了２０。 如果椭圆轮廓精度为０．００１，根据表１，可以选取 ０＝５。，则圆弧终点坐标对应椭圆离心角Ｒ２每次变 化为１００。 采用Ｒ参数编程需要设置变量，主要包含初始 变量和中间变量，设定的初始变量主要有： Ｒ０：长半轴； Ｒ１：短半轴； Ｒ２：离心角Ｏ。 通过初始变量需要计算的中间变量主要有： Ｒ３、Ｒ４：每段圆弧第一点Ｘ、Ｙ坐标； Ｒ５、Ｒ６：每段圆弧第二点ｘ、Ｙ坐标； Ｒ７、Ｒ８：每段圆弧第三点Ｘ、Ｙ坐标，即本段 圆弧终点坐标： Ｒ９、Ｒ１０：每段圆弧的圆心Ｘ、Ｙ坐标。 另外，为了简化公式（６）、 （７），将公式 同的部分设为中间变量： Ｒ１１：（Ｘ３ 一 ， ＋ 一 ）； Ｒ１２：（ 一 １ ＋ｙ１ 一 ）； Ｒ１３：（ 一 ）（ｙ３一 ）一（ 一Ｘ１）（ｙ３一ｙ２）。 根据分析，可以画出该零件Ｒ参数编程的子程 序结构流程图，如图５所示。 第３６卷第２期２０１４－０２（下） ［７１ 子程序开始 ［变量赋初始值 【调用子程序】 图５子程序流程图图 零件数控加工主程序如下： ＴＵＯＹＩ ＡＮ．ＭＰＦ；主程序 Ｔ１Ｍ０６ Ｇ９０ Ｇ５４ Ｓ８００Ｍ０３ Ｇ００ Ｚ１０ Ｄ０１；建立长度补偿，Ｄ０１并作为后 面半径补偿代号用时Ｄ０１＝１０。２ Ｇ００Ｘ６０Ｙ一６０ Ｚ一４．８ ＴＵ０ＹｕＡＮｌ Ｆ１２０ ；轮廓粗加工 Ｇ０ＯＺ一５ Ｍ０３ Ｓｌ２００ Ｇ００Ｘ６０Ｙ一６０ ＴＵＯＹＵＡＮ１ Ｄ０２ Ｆ７Ｏ；轮廓精加工， Ｄ０２＝１０ Ｇ００ Ｚ０ ＤＯ；撤销长度补偿，抬刀回零 Ｍ３Ｏ 零件数控加工子程序如下： 【８ｌ 第３６卷第２期２０１４－０２（下） ＴＵＯＹＵＡＮ１．ＳＰＦ ；子程序 Ｒ０＝２０ Ｒｌ＝１６ Ｒ２＝０；设定初始值 Ｇ４２ Ｇ００ Ｘ＝Ｒ０ Ｙ－３５；建立半径补偿，补偿 代号在主程序 Ｇ０ｌ Ｘ＝Ｒ０ Ｙ０；定位到椭圆起点， ＰＰ：Ｒ３＝Ｒ０ ＣＯＳ（Ｒ０）Ｒ４＝Ｒ１ ＳＩＮ（Ｒ２） Ｒ５＝Ｒ０ ＣＯＳ（Ｒ０＋５）Ｒ６＝Ｒ１ ＳＩＮ（Ｒ２＋５） Ｒ７＝Ｒ０ ＣＯＳ（Ｒ０＋１０）Ｒ８＝ＲＩ＊ＳＩＮ（Ｒ２＋１０） Ｒ１ Ｉ＝Ｒ７＊Ｒ７一Ｒ５：ｌｃＲ５＋Ｒ８￥Ｒ８一Ｒ６ Ｒ６ Ｒｌ２＝Ｒ７ Ｒ７一Ｒ３ Ｒ３＋Ｒ８ Ｒ８一Ｒ４｛Ｒ４ Ｒ１３＝（Ｒ７一Ｒ５） （Ｒ８一Ｒ４）一（Ｒ７一Ｒ３） （Ｒ８一Ｒ６） Ｒ９＝（Ｒ１１ （Ｒ８一Ｒ４）一Ｒ１２＊（Ｒ８－Ｒ６））／（２ Ｒ１３）；计 算圆心Ｘ坐标 Ｒ１０＝（Ｒ１２ （Ｒ７一Ｒ５）一Ｒ１ １ （Ｒ７一Ｒ３））／（２ Ｒ１３）； 计算圆心Ｙ坐标 ＧＯ３ Ｘ＝Ｒ７ Ｙ＝Ｒ８ Ｉ＝ＡＣ（Ｒ９）Ｊ＝ＡＣ（Ｒ１０）；圆 弧插补，圆心采用绝对方式 Ｒ２＝Ｒ２＋１０；调整椭圆离心角 ＩＦ Ｒ２＜３６０ ＧＯＴＯＢ ＰＰ Ｇ０１ Ｙ３５ Ｇ４０Ｇ００Ｘ ６０Ｙ６０；撤销半径补偿 Ｍｌ７ ４结束语 通过三点圆弧法拟合椭圆曲线，能够很好提高 椭圆轮廓加工精度或减少拟合线段，这种方法完全 可以应用其他公式曲线加工，比如抛物线、正弦曲 线等。因此，在实际的生产中，如果能结合数控机 床实际功能，善于对传统的加工方法进行改革，对 零件加工质量的提高是具有重要意义的。 参考文献： 【１】严爱珍．机床数控原理与系统【Ｍ】．北京：机械工业出版 社，２０００． 【２】张兆隆．数控加工工艺与编程【Ｍ】．北京：机械工业出版 社，２００８． 【３】王丽萍，孙国防，季绍坤．非圆曲线数控编程的等误差圆弧 逼近法及其实现【Ｊ】．现代制造工程，２００６，（１０）：３０－３２． ［４】丁克会，席平原．基于ＭＡＴＬＡＢ的最大误差双圆弧逼近曲 线的算法及实现［Ｊ】．机械传动，２００７，（１２）：５７－５９． 【５】张彦博．等误差圆弧逼近渐开线的节点计算新方法【Ｊ】 ．组合机床与自动化加工技术．２００３，（４）：２６—３０． 【６】刘兴良，张军前，张玉更．Ｒ参数编程在数控车削非圆曲线 轮廓中的应用［Ｊ】．机械制造，２００９，（４）：５２－５４．
