人教版八年级下册数学《期中检测题》及答案

期 中 测 试 卷

学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________

一、选择题

1.使二次根式3a有意义的的取值范围是( ) A. a3

B. a3

C. a3

D. a3

2.下列各式中,是最简二次根式是( ) A.

12 B.

5 C.

18 D.

a2 3.如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若正方形ABCD的面积是3,EC2,那么EB的长为(

A. 1

B.

3 C.

5 D. 3

4.下列运算正确的是( ) A.

325 B. 326 C. (31)231

D.

523253

5.如图,在△ABC中,AB=3,BC=6,AC=4,点D,E分别是边AB,CB的中点,那么DE的长为( )

A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4

6.如图,每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为( )

)

A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°

7.已知直角三角形ABC中,A30,∠C90,若AC23,则AB长为( ) A. 2

B. 3

C. 4

D. 43 8.如图所示□ABCD,再添加下列某一个条件, 不能判定□ABCD是矩形的是( )

A. AC=BD C. 1=2

B. AB⊥BC D. ABC=BCD

9.如图,从一个大正方形中截去面积为30cm2和48cm2的两个正方形,则剩余部分的面积为( )

A 78cm2 C. 1210cm2

B. 4330cm D. 2410cm2

210.如图,在□ABCD中,ABAC,若AB=4,AC=6,则BD的长是( )

A. 11 B. 10 C. 9 D. 8

用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架11.为了研究特殊四边形,李老师制作了这样一个教具(如图1)：

ABCD,并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定,课上,李老师右手拿住木条BC,用左手向右推动框架至AB⊥BC(如图2)观察所得到的四边形,下列判断正确的是( )

A. ∠BCA＝45° C. BD的长度变小

B. AC＝BD D. AC⊥BD

12.如图,矩形ABCD中,是BC中点,作AEC的角平分线交AD于点,若AB3,AD8,则FD的长度为( )

A. B. C. D.

13.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,D90,AD8,BC6,分别以点A,C为圆心,大于

1AC长2为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O．若点O是AC的中点,则CD的长为( )

A. 42 B. 6

C. 210 D. 8

14.将四根长度相等细木条首尾顺次相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形可以使它的形状改变．当B60时,如图(1),测得AC3；当∠B90时,如图(2),此时AC的长为( )

A. 32 B. 23 C. 3

D. 22 二、填空题

15.若a23,则a24a1的值为__________．

16.如图,在平行四边形ABCD中,A65,DCDB,则CDB__________．

17.如图,点P(－2,3),以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的坐标为__________．

18.如图,在菱形ABCD中,过点C作CEBC交对角线BD于点,且DECE,若AB6,则

DE_________．

如图1,将锐角三角形纸片ABC经过两次折叠,得到边AB,BC,CA上的19.在数学课上,老师提出如下问题：

点D,E,F．折叠方法如下：如图2,(1)AC边向BC边折叠,使AC边落在BC边上,得到折痕交AB于D；(2)C

点向AB边折叠,使C点与D点重合,得到折痕交BC边于E,交AC边于F．则下列结论：①四边形DECF一定是矩形,②四边形DECF一定是菱形,③四边形DECF一定是正方形．其中错误的是__________(填序号)

三、解答题

20.计算： (1)48(121) 3(2)(221)2243 21.(1)如图1,在RtABC中,∠C90,BC2,AC4,求AB的长． (2)如图2,在ABC中,AB3,AC6,A120,求BC的长．

22.在平行四边形ABCD中,用尺规作图ABC的角平分线(不用写过程,留下作图痕迹),交DC边于点H,若BC6,DH1HC,求平行四边形ABCD的周长． 2

23.如图,是ABC的边AC上一点,BE//AC,DE交BC于点,若FBFC． (1)求证：四边形CDBE平行四边形；

(2)若BDAC,EFEB5,求四边形CDBE的面积．

24.(1)填空：(只填写符号：,,) ①当m2,n2时,mn 2mn； ②当m3,n3时,mn 2mn； ③当m11,n时,mn 2mn； 22④当m4,n1时,mn 2mn； ⑤当m5,n3时,mn 2mn；

11⑥当m,n时,mn 2mn；

32

则关于mn与2mn之间数量关系的猜想是 ． (2)请证明你的猜想；

(3)实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框,直接利用探究得出的结论,求出镜框周长的最小值． 25.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,连接AC,过B点作AC平行线BM,过C点作AB的平行线CN,BM,CN交于点E,连接DE交BC于F．

(1)补全图形； (2)求证：DFEF．

26.如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A、B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH． (1)求证：GF=GC；

(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明．

答案与解析

一、选择题

1.使二次根式3a有意义的取值范围是( ) A. a3 [答案]D [解析] [分析]

根据二次根式有意义的条件可得3a0,再解不等式即可． [详解]由题意得：3a0, 解得：a3, 故选：D．

[点睛]本题主要考查了二次根式有意义的条件,关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 2.下列各式中,是最简二次根式的是( )

B. a3

C. a3

D. a3

A. 1 2B. 5 C. 18 D. a2 [答案]B [解析] [分析]

判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法,是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式,据此可解答. [详解](1)A被开方数含分母,错误. (2)B满足条件,正确.

(3) C被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误. (4) D被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误. 所以答案选B.

[点睛]本题考查最简二次根式的定义,掌握相关知识是解题关键.

3.如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若正方形ABCD的面积是3,EC2,那么EB的长为( )

A. 1 [答案]A [解析] [分析]

B.

3 C.

5 D. 3

先根据正方形的性质得出∠B=90°,BC2=3,然后在Rt△BCE中,利用勾股定理即可求出EB的长． [详解]解：

解：∵四边形ABCD是正方形, ∴∠B=90°, ∴EB 2=EC2-BC 2,

又∵正方形ABCD的面积=BC2=3,EC2, ∴EB2231 故选：A．

[点睛]本题主要考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2． 4.下列运算正确的是( ) A. 325 C. (31)231 [答案]B [解析] [分析]

B. 326 D. 523253

根据二次根式的性质、运算法则及完全平方公式对各选项进行分析即可． [详解]解：A、32无法计算,故此选项不合题意； B、32C、(D、6,正确；

31)23231423,故此选项不合题意；

5232164,故此选项不合题意．

故选：B．

[点睛]此题主要考查了二次根式的性质、运算法则及完全平方公式的应用,正确化简二次根式是解题关键． 5.如图,在△ABC中,AB=3,BC=6,AC=4,点D,E分别是边AB,CB的中点,那么DE的长为( )

A. 1.5 [答案]B [解析]

B. 2 C. 3 D. 4

∵点,分别是边AB,CB的中点,

DE11AC42 .故选B. 226.如图,每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为( )

A. 90° [答案]C [解析]

B. 60° C. 45° D. 30°

试题分析：根据勾股定理即可得到AB,BC,AC的长度,进行判断即可． 试题解析：连接AC,如图：

根据勾股定理可以得到：AC=BC=5,AB=10． ∵(5)2+(5)2=(10)2． ∴AC2+BC2=AB2．

∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠ABC=45°． 故选C．

考点：勾股定理．

7.已知直角三角形ABC中,A30,∠C90,若AC23,则AB长为( ) A. 2 [答案]C [解析] [分析] 根据 cosAB. 3

C. 4

D. 43 AC计算． AB,∠C=90°,AC=23, [详解]解：∵∠A=30°∴ cosAcos30AC3, AB2∴

AB234. 32故选：．

[点睛]本题考查了三角函数,熟练运用三角函数关系是解题的关键

8.如图所示□ABCD,再添加下列某一个条件, 不能判定□ABCD是矩形的是( )

A. AC=BD C. 1=2 [答案]C [解析] [分析]

根据矩形的判定定理逐项排除即可解答．

B. AB⊥BC D. ABC=BCD

[详解]解：由对角线相等的平行四边形是矩形,可得当AC=BD时,能判定口ABCD是矩形； 由有一个角是直角的平行四边形是矩形,可得当AB⊥BC时,能判定口ABCD是矩形；

由平行四边形四边形对边平行,可得AD//BC,即可得∠1=∠2,所以当∠1=∠2时,不能判定口ABCD是矩形； 由有一个角是直角的平行四边形是矩形,可得当∠ABC=∠BCD时,能判定口ABCD是矩形． 故选答案为C．

[点睛]本题考查了平行四边形是矩形的判定方法,其方法有①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形．

9.如图,从一个大正方形中截去面积为30cm2和48cm2的两个正方形,则剩余部分的面积为( )

A. 78cm2 C. 1210cm2 [答案]D [解析] [分析]

B. 4330cm D. 2410cm2

2根据题意利用正方形的面积公式即可求得大正方形的边长,则可求得阴影部分的面积进而得出答案．

[详解]从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形, 大正方形的边长是30483043, 留下部分(即阴影部分)的面积是：

3043230483083034830482410(cm2)．

故选：D．

[点睛]本题主要考查了二次根式的应用、完全平方公式的应用,正确求出阴影部分面积是解题关键． 10.如图,在□ABCD中,ABAC,若AB=4,AC=6,则BD的长是( )

A. 11 [答案]B [解析] [分析]

B. 10 C. 9 D. 8

利用平行四边形的性质可知AO=3,在Rt△ABO中利用勾股定理可得BO=5,则BD=2BO=10． [详解]解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BD=2BO,AO=OC=3．

在Rt△ABO中,利用勾股定理可得：BO=32425 ∴BD=2BO=10． 故选B．

[点睛]本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．解题的技巧是平行四边形转化为三角形问题解决． 用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架11.为了研究特殊四边形,李老师制作了这样一个教具(如图1)：

ABCD,并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定,课上,李老师右手拿住木条BC,用左手向右推动框架至AB⊥BC(如图2)观察所得到的四边形,下列判断正确的是( )

A. ∠BCA＝45° C. BD的长度变小 [答案]B [解析] [分析]

根据矩形的性质即可判断；

[详解]解：∵四边形ABCD是平行四边形, 又∵AB⊥BC, ∴∠ABC＝90°, ∴四边形ABCD是矩形, ∴AC＝BD． 故选B．

B. AC＝BD D. AC⊥BD

矩形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常[点睛]本题考查平行四边形的性质．考题型．

12.如图,矩形ABCD中,是BC中点,作AEC的角平分线交AD于点,若AB3,AD8,则FD的长度为( )

A. [答案]B [解析] [分析]

B. C. D.

求出∠AFE=∠AEF,推出AE=AF,求出BE,根据勾股定理求出AE,即可求出AF,即可求出答案 [详解]∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC=8,AD∥BC, ∴∠AFE=∠FEC, ∵EF平分∠AEC, ∴∠AEF=∠FEC, ∴∠AFE=∠AEF, ∴AE=AF,

∵E为BC中点,BC=8, ∴BE=4,

在Rt△ABE中,AB=3,BE=4,由勾股定理得：AE=5, ∴AF=AE=5, ∴DF=AD−AF=8−5=3 故选：B

[点睛]本题考查了矩形的性质, 等腰三角形的判定与性质, 直角三角形中利用勾股定理求边长． 13.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,D90,AD8,BC6,分别以点A,C为圆心,大于

1AC长2为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O．若点O是AC的中点,则CD的长为( )

A. 42 [答案]A [解析] [分析]

B. 6

C. 210

D. 8

连接FC,根据基本作图,可得OE垂直平分AC,由垂直平分线的性质得出AF=FC．再根据ASA证明△FOA≌△BOC,那么AF=BC=3,等量代换得到FC=AF=3,利用线段的和差关系求出FD=AD-AF=1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长． [详解]解：如图,连接FC,

∵点O是AC的中点,由作法可知,OE垂直平分AC, ∴AF=FC．

∵AD∥BC, ∴∠FAO=∠BCO． 在△FOA与△BOC中,

FAO＝BCO , OA＝OCAOF＝COB∴△FOA≌△BOC(ASA), ∴AF=BC=6,

∴FC=AF=6,FD=AD-AF=8-6=2． 在△FDC中,∵∠D=90°, ∴CD2+DF2=FC2, ∴CD2+22=62, ∴CD=42． 故选：A．

[点睛]本题考查了作图-基本作图,勾股定理,线段垂直平分线的判定与性质,全等三角形的判定与性质,难度适中．求出CF与DF是解题的关键．

14.将四根长度相等的细木条首尾顺次相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形可以使它的形状改

变．当B60时,如图(1),测得AC3；当∠B90时,如图(2),此时AC的长为( )

A. 32 [答案]A [解析] [分析]

B. 23 C. 3

D. 22 图(1)中根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得BC,图2中根据勾股定理即可求得正方形的对角线的长．

[详解]如图(1)中,连接AC,

∵∠B=60°,AB=BC, ∴△ABC为等边三角形, ∴AC=AB=BC=3, 如图(2)中,连接AC,

∵AB=BC=CD=DA=3,∠B=90°, ∴四边形ABCD是正方形, ∴AC=AB2BC2323232．

故选：A．

[点睛]本题考查了正方形的性质和判定,菱形的性质,勾股定理以及等边三角形的判定和性质,利用等边三角形的判定确定边长是关键．

二、填空题

15.若a23,则a24a1的值为__________． [答案]0 [解析] [分析]

利用完全平方公式变形得：a24a1a23,再代入求值即可得到答案．

2[详解]解：a4a1a23,

222323330,

故答案为：

[点睛]本题考查是利用因式分解求代数式的值,同时考查了二次根式的乘法的运算,掌握完全平方公式的变形是解题的关键．

16.如图,在平行四边形ABCD中,A65,DCDB,则CDB__________．

2

[答案]50°[解析] [分析]

由平行四边形ABCD中,易得∠C=∠A,又因为DB=DC,所以∠DBC=∠C,根据三角形内角和即可求出

CDB．

[详解]解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠C=∠A=65°, ∵DB=DC,

∴∠DBC=∠C=65°,

∴CDB1802C18026550, 故答案为：50°．

[点睛]此题是平行四边形的性质与等腰三角形的性质的综合,解题时注意特殊图形的性质应用． 17.如图,点P(－2,3),以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的坐标为__________．

[答案]13,0 [解析] [分析]

根据勾股定理求得PO的长度,从而确定点A的坐标． [详解]解：由题意可知：OPOA223213

0 ∴A点坐标为：13，0． 故答案：13，[点睛]本题考查实数与数轴,掌握勾股定理计算公式,利用数形结合思想解题是关键． 18.如图,在菱形ABCD中,过点C作CEBC交对角线BD于点,且DECE,若AB6,则

DE_________．

[答案]2 [解析] [分析]

根据菱形的性质及等腰三角形的性质可知∠BEC=2∠EDC=2∠EBC,从而可求∠EBC=30°,在Rt△BCE中可求EC值,由DE=EC可求DE的长．

[详解]∵四边形ABCD是菱形, ∴CD=BC=AB=6, ∴∠EDC=∠EBC, ∵DE=CE, ∴∠EDC=∠ECD,

∴∠BEC=2∠EDC=2∠EBC, 在Rt△BCE中,∠EBC+∠BEC=90°, ∴∠EBC=30°, ∴ECBCtan30∴DE=EC=2, 故答案为：2．

等腰三角形的判定和性质、解直角三角形的应用；熟练掌握菱形的性质,[点睛]本题主要考查了菱形的性质、得出∠EBC=30°是解题的关键．

如图1,将锐角三角形纸片ABC经过两次折叠,得到边AB,BC,CA上的19.在数学课上,老师提出如下问题：

点D,E,F．折叠方法如下：如图2,(1)AC边向BC边折叠,使AC边落在BC边上,得到折痕交AB于D；(2)C点向AB边折叠,使C点与D点重合,得到折痕交BC边于E,交AC边于F．则下列结论：①四边形DECF一定是矩形,②四边形DECF一定是菱形,③四边形DECF一定是正方形．其中错误的是__________(填序号)

632, 3

[答案]①③ [解析] [分析]

根据折叠的性质可知,CD和EF互相垂直且平分,即可得到结论． 详解]解：连接DF、DE,DC、EF相交于点O,

根据折叠的性质得,CD⊥EF,且OD=OC,OE=OF, ∴四边形DECF是菱形．

菱形DECF因条件不足,无法证明是正方形． 故答案为：①③

[点睛]本题考察了菱形的判定以及折叠的性质,灵活运用即可．

三、解答题

20.计算： (1)48(121) 3(2)(221)2243 [答案](1)[解析] [分析]

(1)先化简成最简二次根式,再根据二次根式加减法法则计算即可；

(2)先利用完全平方公式展开,再根据二次根式混合运算法则计算即可得答案．

53；(2)922 3[详解](1)48(12=43233 31) 3=

53； 3(2)(221)2243． =842+1+8 =942+22 =922．

[点睛]本题考查了二次根式的运算,熟练掌握运算法则是解题关键． 21.(1)如图1,在RtABC中,∠C90,BC2,AC4,求AB的长． (2)如图2,在ABC中,AB3,AC6,A120,求BC的长．

[答案](1)25；(2)37 [解析] [分析]

(1)根据勾股定理计算,得到答案；

(2)作CD⊥AB交BA的延长线于点D,根据直角三角形的性质求出AD,根据勾股定理求出CD,再根据勾股定理计算即可．

, [详解]解：(1)在Rt△ABC中,∠C＝90°∴AB＝AC2BC24222＝25；

(2)作CD⊥AB交BA的延长线于点D,

∵∠BAC＝120°, ∴∠DCA＝30°, ∴AD＝

1AC＝3, 2∴CD＝AC2AD2＝623233, ∵BD＝AD+AB＝6,

∴在Rt△CDB中,BC＝CD2BD237．

[点睛]本题考查的是勾股定理、含30°的直角三角形的性质,解题关键在于正确做出辅助线,求线段长度． 22.在平行四边形ABCD中,用尺规作图ABC的角平分线(不用写过程,留下作图痕迹),交DC边于点H,若BC6,DH1HC,求平行四边形ABCD的周长． 2

[答案]30 [解析] [分析]

利用基本作图作BH平分∠ABC,则∠ABH=∠CBH,再利用平行四边形的性质得到CD∥AB,AB=CD,AD=BC=6,接着证明∠CBH=∠BHC得到CH=BC=6,所以DH=3,然后计算平行四边形ABCD的周长． [详解]如图,BH为所作．

∵BH平分∠ABC, ∴∠ABH=∠CBH,

∵四边形ABCD为平行四边形, ∴CD∥AB,AB=CD,AD=BC=6, ∴∠ABH=∠BHC, ∴∠CBH=∠BHC, ∴CH=BC=6,

∵DH=

1CH, 2∴DH=3,

∴平行四边形ABCD周长=2(BC+CD)=2×(6+9)=30．

[点睛]本题考查了作图-基本作图和平行四边形的性质,等腰三角形的判定和性质．解决本题的关键是熟记平行四边形的性质．

23.如图,是ABC的边AC上一点,BE//AC,DE交BC于点,若FBFC． (1)求证：四边形CDBE是平行四边形；

(2)若BDAC,EFEB5,求四边形CDBE的面积．

[答案](1)见解析；(2)253 [解析] [分析]

(1)首先利用ASA得出△DCF≌△EBF,进而利用全等三角形的性质得出CD=BE,即可得出四边形CDBE是平行四边形；

(2)由BD⊥AC,四边形CDBE是平行四边形,可推出四边形CDBE是矩形,由F为BC的中点,求出BC,根据勾股定理即可求得CE,由矩形面积公式即可求得结论． [详解](1)证明：∵BE∥AC, ∴∠ACB=∠CBE, 在△DCF和△EBF中,

DCF＝EBF, FCFBCFD＝BFE∴△DCF≌△EBF(ASA), ∴CD=BE,

∵BE∥CD,

∴四边形CDBE是平行四边形；

(2)∵BD⊥AC,四边形CDBE是平行四边形, ∴四边形CDBE是矩形, 在Rt△CEB中,F为BC的中点, ∴BC=DE=2EF=10, ∴CE2=BC2BE2=10252=75, ∴CE=53,

∴四边形CDBE的面积=BEEC=253．

[点睛]本题主要考查了平行四边形的判定,全等三角形的判定与性质,矩形的判定和性质,勾股定理的应用,得出△DCF≌△EBF是解题关键． 24.(1)填空：(只填写符号：,,) ①当m2,n2时,mn 2mn； ②当m3,n3时,mn 2mn； ③当m11,n时,mn 2mn； 22④当m4,n1时,mn 2mn； ⑤当m5,n3时,mn 2mn；

11⑥当m,n时,mn 2mn；

32

则关于mn与2mn之间数量关系的猜想是 ． (2)请证明你的猜想；

(3)实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框,直接利用探究得出的结论,求出镜框周长的最小值． [答案](1)①=,②=,③=,④＞,⑤＞,⑥＞, mn≥2mn(≥,≥)；(2)见解析；(3)4 [解析] [分析]

(1)①-⑥分别代入数据进行计算即可得解；

(2)根据非负数的性质,(mn)2≥0,再利用完全平方公式展开整理即可得证； (3)镜框为正方形时,周长最小,然后根据正方形的面积求出边长,即可得解． 探究证明：根据非负数的性质,

[详解](1)①当m=2,n=2时,由于224,2224,所以mn=2mn； ②当m=3,n=3时,由于336,2336,所以mn=2mn；

③当m=

11111111,n=时,由于,2,所以mn=2mn；

44244442④当m=4,n=1时,由于415,2414,所以mn＞2mn； ⑤当m=5,n=

11111时,由于5,2510,所以mn＞2mn； 2222⑥当m=

11191,n=6时,由于6,2622,所以mn＞2mn；

3333则关于

mn与mn之间数量关系的猜想是mn≥2mn(≥,≥)； 2(2)证明：根据非负数的性质(mn)2≥0, ∴m2mn+n≥0, 整理得,mn≥2mn；

(3)面积为1平方米的长方形镜框长与宽相等,即为正方形时,周长最小, 所以,边长为1, 周长为1×4=4．

[点睛]本题考查了二次根式的应用,完全平方公式的应用,准确进行运算判断出两个算式的大小关系是解题的关键．

25.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,连接AC,过B点作AC的平行线BM,过C点作AB的平行线CN,BM,CN交于点E,连接DE交BC于F．

(1)补全图形； (2)求证：DFEF． [答案](1)见解析；(2)见解析． [解析] [分析]

(1)根据题目连接AC,按要求分别作出BM、CN即可解答；

(2)过点D作DG//AB,由平行四边形判定和性质可得CE＝CE,DG//CE,再证明△GDF≌△CEF(ASA)即可得出结论．

如图所示：连接AC,过B点作AC的平行线BM,过C点作AB的平行线CN,BM,CN交于点E,[详解](1)解：连接DE交BC于F．

(2)证明：过点D作DG//AB, ∵AD//BC,DG//AB,

∴四边形ADGB是平行四边形, ∴AB＝DG, ∵BE//AC,AB//CE,

∴四边形BACE是平行四边形, ∴CE＝AB,DG//CE

∴DG＝CE ,∠GDF＝∠CEF, ∵在△GDF和△CEF中,

GDF＝CEFGFD＝CFE, DG＝CE∴△GDF≌△CEF(AAS), ∴DF＝EF．

[点睛]此题主要考查了平行四边形的判定和性质,关键是掌握平行四边形对边平行且相等．

26.如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A、B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH． (1)求证：GF=GC；

(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明．

[答案](1)证明见解析；(2)BH=2AE,理由见解析. [解析] [分析]

(1)连接DF．根据对称的性质可得ADFD．AEFE．证明△ADE≌△FDE,根据全等三角形的性质得到DAEDFE．进而证明Rt△DCG≌Rt△DFG,即可证明.

(2)在AD上取点M使得AMAE,连接ME．证明DME≌△EBH,根据等腰直角三角形的性质即可得到线段BH与AE的数量关系. [详解](1)证明：连接DF． ∵,关于DE对称．

∴ADFD．AEFE．

ADFD在ADE和FDE中．AEFE

DEDE∴△ADE≌△FDE ∴DAEDFE． ∵四边形ABCD是正方形 ∴AC90．ADCD ∴DFEA90

∴DFG180DFE90 ∴DFGC ∵ADDF．ADCD ∴DFCD

在Rt△DCG和Rt△DFG．∴Rt△DCG≌Rt△DFG ∴CGFG． (2)BH2AE．

证明：在AD上取点M使得AMAE,连接ME． ∵四这形ABCD是正方形． ∴ADAB．AADC90．

DCDF

DGDG

∵△DAE≌△DFE ∴ADEFDE 同理：CDGFDG ∴EDGEDFGDF111ADFCDFADC45 222∵DEEH ∴DEH90

∴EHD180DEHEDH45 ∴EHDEDH ∴DEEH． ∵A90

∴ADEAED90 ∵DEH90 ∴AEDBEH90 ∴ADEBEH ∵ADAB．AMAE ∴DMEB

DMEB在DME和△EBH中MDEBEH

DEEH∴DME≌△EBH ∴MEBH

在Rt△AME中,A90,AEAM． ∴MEAE2AM22AE ∴BH2AE．

[点睛]本题是四边形的综合题,考查了正方形的性质,轴对称的性质,全等三角形的性质与判定,等腰直角三角形的性质与判定等知识此题综合性较强,难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用．