2021年高考数学一轮总复习专题27平面向量的应用检测文

本专题专门注意： 1.平面向量的几何意义应用 2. 平面向量与三角形的心 3. 向量垂直的应用

4.向量的数量积问题等综合问题 5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题 6.向量数量积在解析几何中应用 7.向量数量积在三角形中的应用。 【学习目标】

1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题【方法总结】

1.用向量解决平面几何问题的步骤

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.

2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观看条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，假如题设条件中有向量，则能够联想性质直截了当使用，假如没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.

3.几点注意事项

(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合.

(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补. (3)证明垂直问题一样要通过向量的运算得到数量积a·b＝0，尽量用坐标运算.

【高考模拟】： 一、单选题 1．在直角梯形

中，

，同一平面内的两个动点

1 / 28

满足

，则

的取值范畴为

（ ） A. 【答案】B

【解析】分析：由题意中点，连接

，得点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，点是

，利用三点共线时取得最值，即可求解.

的中点，取

的

B.

C.

D.

当点在从而的

之间时，的取值范畴是

取最大值，

，

，故选B.

点睛：本题要紧考查了平面向量的运算，以及圆的最值问题，其中把

，得点是以点为圆心，半径为1

的圆上的一个动点，转化为圆的应用问题求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法以及分析问题、解答问题的能力.

2．在ABC中， BC边上的中线AD的长为2，点P是ABC所在平面上的任意一点，则PAPBPAPC的最小值为（ ）

A. 1 B. 2 C. -2 D. -1 【答案】C

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A0,2．

2 / 28

设点P的坐标为x,y，则PAx,2y,POx,y， 故PAPBPAPCPAPBPC2PAPO2xy2y

22x2y122，当且仅当x0,y1时等号成立．

22因此PAPBPAPC的最小值为2．选C．

3．设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足ABAC0， ACAD0， ADAB0，用S1、S2、S3分别表示ABC、ACD、ABD的面积，则S1S2S3的最大值是（ ） A.

1 B. 2 C. 4 D. 8 2【答案】B

【解析】设ABa， ACb， ADc ∵ABAC0， ACAD0， ADAB0

∴AB， AC， AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，即a2b2c24R24 ∵S1、S2、S3分别表示ABC、ACD、ABD的面积 ∴S1S2S311abacbca2b2c22，当且仅当abc时取等号 22∴S1S2S3的最大值是2 故选B

点睛：本题考查球的内接多面体及差不多不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解答本题的关键．

4．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则A. －2 B. －

3 / 28

的最小值是( )

C. － D. －1 【答案】B

【解析】分析：依照条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行运算即可. 详解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，

则设

，则

，

，

则当故选：B.

时，取得最小值

.

，

点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义． 5．已知是A.

B.

内部一点， C.

D.

，

且

，则

的面积为（ ）

【答案】A 【解析】由

，

【点睛】在

中，给出

可知点O是=

，选A.

，即已知是

的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点），

的重心，

，

，因此

重心分中线为比2:1，重心与三个项点连线三等分三角形面积。

6．已知A,B,C是圆O:xy1上的动点，且ACBC，若点M的坐标是1,1，则MAMBMC的最

22大值为

4 / 28

A. 3 B. 4 C. 321 D. 321 【答案】D

【点睛】本题考查圆的标准方程、圆的性质、向量的模、两直线的垂直关系，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、综合程度高，属于较难题型. 第一由

ACBC 可得 为圆的直径，再由圆的性质等价转化为

MAMBMCMOOAMOOBMC 2MOMC22MC ，当MC 与过圆心O 时222MC最大，现在C 为， ,MC2121， 22MC321 222*7．设数列xn的各项都为正数且x11. ABC内的点P均满足PnAB与PnAC的面积比为2:1，nnN2若PnA1xn1PnB2xn1PnC0，则x4的值为( ) 2A. 15 B. 17 C. 29 D. 31 【答案】A

【解析】由PnA

11xn1PnB2xn1PnC0得PnA2xn1PnCxn1PnB ， 22设P nD2xn1PCn以线段PnA、PnD 作出平行四边形AEDPn ，如图，

5 / 28

则PnAPnDPnEPE11xn1PnB,n， 2PnB2SSSSPnAEPnABPnCPnC1xn1 ，

2AE2x1PnDnSSPnACPnAE∴

PnACPnAD1,

12xn则

SSPnACPnABxn11

212xn2，xn11（2xn1），即xn12xn1 则xn1 构成以2为首项，以2为公比的等比数列，因此x4122316 ，因此x415； 故选A．

8．若O为ABC所在平面内任一点，且满足OBOC•OBOC2OA0，则ABC的形状为（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C

【解析】由题OBOC•OBOC2OACBABACABACABACAB2AC0则

2ABAC．三角形为等腰三角形．故本题答案选C．

29．已知在三角形ABC中， ABAC,BAC90，边AB,AC的长分别为方程x213x430的

两个实数根，若斜边BC上有异于端点的E,F两点，且EF1,EAF，则tan的取值范畴为 （ ）

A. 34333343323 B. C. D. ,,,933119119,11【答案】C

【解析】有题可知AB2，AC23,BCAB2AC24.

建立如图所示的坐标系，有点A0,0,B2,0,C0,23.

3133设BFBC(0,,BEBC，则F22?. ,23,E2,234422因此AEAF22?,?2333222,2334?34123 226 / 28

11111164316,9.

84422因为点A到BC边的距离dABAC3， BC33为定值. 2因此AEF的面积SAEF1EF21AESAEF因此2AEAF1AE234312SAEF3,tan，故tan，故选C. AEAFAEAF911AFcos2AFsin10．如图，正方形ABCD中， M、N分别是BC、CD的中点，若ACAMBN，则（ ）

A. 2 B. 【答案】D

【解析】试题分析：取向量AB,BC作为一组基底，则有

868 C. D. 355AMABBMAB11BC,BNBCCNBCAB，因此221111ACAMBNABBCBCABABBC

2222又ACABBC，因此116281,1，即,,. 2255511．已知对任意平面向量ABx,y，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量

叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P.设平面内曲线C上的APxcosysin,xsinycos，每一点绕原点沿逆时针方向旋转

22后得到点的轨迹是曲线xy2，则原先曲线C的方程是（ ） 42222A. xy1 B. xy1 C. yx2 D. yx1 【答案】A

7 / 28

12．若四边形满足则该四边形一定是（ ）

A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 直角梯形 【答案】A

【解析】分析：第一由详解：因为因此四边形又因为因此

，

为菱形. ，因此为平行四边形；

，

得到四边形为平行四边形，再由

，

得到四边形为菱形.

因此因此平行四边形

点睛：本题考查平面向量的应用等知识，意在考查学生的明白得、分析能力.

13．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知（DBDC2ADABAC0，则△ABC的形状是 A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 无法确定 【答案】C



点睛：依照向量条件判定三角形的性质问题，一样差不多上转化为垂直，相等，角平分线等信息，进而判定形状，当三角形中涉及的向量较多时，能够都统一用一组基底表示，简化运算. 14．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足

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ABAC,0,，则动点P的轨迹一定通过ABC的（ ） OPOAABACA. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 【答案】D 【解析】∵

ABAB、

ACAC分别表示向量AB、AC方向上的单位向量，

∴

ABAB+

ACAC的方向与∠BAC的角平分线重合，

ABAC可得到 OP﹣OA=AP=λ（AB+AC） 又∵OPOAABACABAC∴向量AP的方向与∠BAC的角平分线重合， ∴一定通过△ABC的内心 故选：D．

15．已知O是平面内一点，且OAOBOC，则O一定是ABC的（ ） A. 垂心 B. 外心 C. 重心 D. 内心 【答案】B

【解析】若OAOBOC，则OA|OB||OC|， OAOBOC，则O是△ABC的外心. 本题选择B选项.

16．已知正三角形ABC的边长为值是 A.

B.

C.

D.

，平面ABC内的动点P，M满足

222222222|AP|1， PMMC，则|BM|2的最大

【答案】B

【解析】试题分析：如图可得ADCADBBDC120,DADBDC2.以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，则A2,0,B1,3,C1,3.设Px,y,由已知AP1，得

x1y3x1y3322，又PMMC,M,,BM,, x2y122229 / 28

|BM|2x12y3342，它表示圆x2y21上的点x,y与点1,33的距离的平方的

221， 4BM2max13233449，故选B. 142【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题

【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时第一对条件进行化简变形，本题中得出ADCADBBDC120，且

DADBDC2，因此我们采纳解析法，即建立直角坐标系，写出点A,B,C,D的坐标，同时动点P的轨

2迹是圆，则BM想．

x12y3342，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思

17．如图，矩形ABCD中，AB2，AD1，P是对角线AC上一点，AP2AC，过点P的直线分别交DA5的延长线，AB,DC于M,E,N.若DMmDA，DNnDC(m0,n0)，则2m3n的最小值是（ ）

A．

6122448 B． C． D． 5555【答案】C 【解析】 试题分析：AP232ACDPDADC,设DPxDMyDN,则xy1，又DPmxDAynDC,因此55510 / 28

3232mx,ny1，因此

555m5n2m3n(2m3n)(3219n4m19n4m24， )(12)(122)5m5n5mn5mn5当且仅当2m3n时取等号，选C. 考点：向量表示，差不多不等式求最值

【易错点睛】在利用差不多不等式求最值时，要专门注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足差不多不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会显现错误.

18．平面向量的集合A到A的映射f由f(x)x2(xa)a确定，其中a为常向量．若映射f满足

f(x)f(y)xy对任意x、yA恒成立，则a的坐标可能是

A．(51132231,) B．() ,) C．(,) D．(,22 224444【答案】D

考点：向量的运算

【方法点睛】本题考查了向量的运算和任意性的问题，属于中档题型，假如给了一个抽象的式子，同时是对任意实数都成立时，那么就要考虑赋值法了，有时令其中一个变量为专门值，或是本题，令yx，如此就达到减少变量的目的了，代入条件后确实是一道向量运算的问题了，因此向量的数量积运算也要过关. 19．已知O是ABC所在平面上一点，满足OA|BC|OB|CA|，则点O ( ) A. 在过点C与AB垂直的直线上 B. 在A的平分线所在直线上 C. 在过点C边AB的中线所在直线上 D. 以上都不对 【答案】A

222211 / 28

【解析】由OA|BC|OB|CA|得， OA|OB|CA|BC|，

22222222OAOBCABC OAOBOAOB(CABC)(CABC)

BAOAOB(CACB)(CABC)(CACB)BA

2222BAOAOBCACB(OAACOBBC)BA2OCBA0 ABOC

故选A.

点睛：（1）向量的加法运算，有两个运算法则，一个是三角形法则，一个是平行四边形法则，三角形法则是要求首尾相接，起点指向终点即可；平行四边形法则要求两向量共起点； （2）向量的减法运算要求，共起点，连终点，箭头指被减. 20．在

中，角

所对的边分别为，则

A.

B. C. D.

，为

的外心，为

边上的中点，

，

，

（ ）

【答案】C

【解析】

∵D是BC的中点， ∴∴又

，即=（=（

2

， ）

=

+）=（

=﹣6，

）=（b﹣16），

2

）•（

∴﹣6=（b﹣16），解得b=2， ∵sinC+sinA﹣4sinB=0，∴c+a﹣4b=0， ∴a=4b﹣c=4，

由余弦定理得cosA=故选C．

=．

点睛：本题要紧考查的是数量积的运算以及四心中的外心，处理外心问题经常会与数量积的几何意义投影结合到

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一起，外心在边上的射影点恰好是中点，利用那个性质专门多问题都能够迎刃而解. 21．若向量a(1,2),b(2,1),c(4,2)，则下列说法中错误的是（ ） A．ab

B．向量a与向量c的夹角为900 C．b//c

D．对同一平面内的任意向量d，都存在一对实数k1,k2，使得dk1bk2c 【答案】D 【解析】

试题分析：ab12(2)10，A正确；ac1(4)(2)(2)0，B正确；c2b，C正确；因此D错误，故选D．

考点：向量的垂直，向量的共线，平面向量差不多定理．

22．设M为平行四边形ABCD对角线的交点， O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则

OAOBOCOD等于( )

A. OM B. 2OM C. 3OM D. 4OM 【答案】D

【解析】试题分析：由题可知OBOD2OM,OAOC2OM， OAOBOCOD4OM 考点：平面向量的加法

23．已知OA与OB不共线,若点C满足OCOA2OB,点C的轨迹是（ ） A．直线 B．圆 C．抛物线 D．以上都不对 【答案】A 【解析】

试题分析：不妨设OA,OB是两个相互垂直的单位向量，设Cx,y,OA0,1,OB1,0，由

x2，消去参数得xy20，故轨迹为直线. OCOA2OB，得y考点：向量运算、圆锥曲线定义．

24．已知圆C:xy1，点P(x0,y0)是直线l:3x2y40上的动点，若在圆C上总存在两个不同的点

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22A,B，使OAOBOP，则x0的取值范畴是

A．(0,24131324) B．(,0) C．(0,) D．(0,) 13241213【答案】A 【解析】

22x0y0试题分析：如图，∵OAOBOP；∴OP与AB互相垂直平分；∴圆心到直线AB的距离1；∴

232432xy4①；又3x02y040；∴y02x0，代入①得：x00x；解得；2x040213220202∴x0的取值范畴是(0,24)．故选：A． 13

考点：平面向量的差不多定理及其意义.

【思路点晴】考查向量加法的平行四边形法则，圆心和弦中点的连线垂直于弦，以及两点间的距离公式，一元二次不等式的解法，属中档题；依照条件可画出图形，依照图形便可看出OP的中点在圆内，从而可得到圆心到直

22x0y0线的距离小于半径即1，如此联立3x02y040，转化为关于x0的一元二次不等式，即可得出x02的取值范畴． 25．点

在,

所在平面内，且分别满足

,则点

，依次是

的（ ）

A. 重心，外心，内心 B. 重心，外心，垂心 C. 外心，重心，垂心 D. 外心，垂心，内心 【答案】B

【解析】分析：由三角形五心的性质即可判定出答案．

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详解：因为

,取AB的中点D，

,∴C，O，D三点共线，即O为△ABC的中线CD上的点，且

0C=20D．∴O为△ABC的重心． 因为因为

，因此PA=PB=PC,故P为外心.

，

同理可得：MA⊥BC,MC⊥AB，因此为垂心. 故选B.

点睛：本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题． 26．如图，在空间四边形

中，

分别是

的中点，则

等于（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】试题分析：

考点：向量加法的三角形法则 二、填空题 27．已知抛物线于点，且【答案】3

【解析】分析：画出图形后结合抛物线的定义和三角形的相似求解即可． 详解：画出图形如下图所示．由题意得抛物线的焦点

，准线为

．

的焦点为，则

是抛物线上一点，若

的延长线交轴的正半轴于点，交抛物线的准线

=__________．

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设抛物线的准线与y轴的交点为，过M作准线的垂线，垂足为，交x轴于点． 由题意得又∴∴∴又

，即为

， ， ．

， ， 的中点，

即，解得．

点睛：解答与抛物线有关的综合问题时，可利用抛物线的定义、标准方程、几何性质，并结合图形，利用形的直观性和数形结合，构建关于待求量的方程(组)或不等式(组)，然后再逐步求解可得结果． 28．已知在直角梯形__________． 【答案】

中，

，

，若点在线段

上，则

的取值范畴为

【解析】分析：建立平面直角坐标系，把问题代数化，利用二次函数的图象与性质求范畴即可. 详解：建立如图所示的平面直角坐标系，

则故

,设

，则

，则

， ，

16 / 28

，

当∴

时，取得最大值为

，当时，取得最小值为，

故答案为：

点睛：处理平面向量问题常用手段有：（1）建立平面坐标系，转化为代数问题；（2）利用平面向量的几何意义即几何法处理问题；（3）利用基底思想处理问题. 29．已知腰长为2的等腰直角

中，为斜边

的中点，点为该平面内一动点，若

，则

的最小值为__________．

【答案】

【解析】

如图建立平面直角坐标系，∴

,

，

当sin故答案为：

时，得到最小值为

x2y230．设双曲线C： 221(a0,b0)的左焦点为F1，过F1的左焦点作x轴的垂线交双曲线C于M，N两

ab点，其中M位于第二象限，B（0，b），若BMN是锐角，则双曲线C的离心率的取值范畴是__________. 【答案】

2,

b2b2【解析】由题意得Mc,,Nc,，

aa17 / 28

b2b2∴MBc,b,MN0,．

aa∵BMN是锐角，

b2b2∴MBMNb0，

aa整理得ba．

cc2a2b22a2∴e2．

aa2a2a2故双曲线C的离心率的取值范畴是答案： 点睛：

求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线差不多量a,b,c的方程或不等式，利用

2,．

2,

b2＝c2－a2和ec转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范畴． a31．已知|a|=|b|=2， a与b的夹角为60°，则a+b在a方向上的投影为 ______ ． 【答案】3

【解析】∵|a|=|b|=2， a与b的夹角为60° ∴ababcos602 ∴aabaab6

2∴a+b在a方向上的投影为

aaba3，故答案为3

32．设OA1,OB2， OAOB0， OPOAOB，且1，则OA在OP上的投影的取值范畴是 .

5【答案】5,1

【解析】试题分析：设OA在OP上的投影为x,xOAOPOPOAOAOB2OAOAOB2OB222422

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24121482.当0时x0；当0时521，故当22x584221481121时， 取最小值为，即1， 0x1；当0时， 2521

xxx415， 55x0；综上可得x,1.

55考点：平面向量数量积的运算.

【易错点睛】由条件可得

的值，可得OA在OP上的投影为

，分类讨论，求得

的范畴，要得的取值范畴.本题的考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练把握向量的相关公式是关键，是中档题.

33．在ABC中， AB3,AC2,A60， AGmABAC，则AG的最小值为______ ， 又若AGBC，则m________. 【答案】 3 1 634．已知O为ABC的外心，且BOBABC. ①若C90，则_______；

②若ABC60，则的最大值为_______． 【答案】

12 23【解析】①若C90，则O为AB边的中点, BO111BA,即,0,故填; ②设ABC的三边长222分别为a,b,c,因为O为ABC的外心，且BOBABC,因此{BO•BABABA•BC22,即

BO•BCBA•BCBC19 / 28

12111cc2accac2222,解得:

,化简得: {{{12111aaca2caa22222a33c, 则

2c33a4ac4222,故填. 33c3a3333中，

，若

分别是线段

和

上的动点，

35．如图，在直角梯形则

的取值范畴是 __________．

【答案】

=2m-3n-4，

【解析】以AB为x轴，BC为y轴建立直角坐标系，则A(-3,0),C(0,2),设F(0,m)，E(n，2)故由图可知：

，因此2m-3n-4

点睛：关于向量问题，最容易解答的方法确实是将问题的点转化为坐标求解写表达式，然后再依照题意范畴求解结果

36．已知单位向量【答案】

满足

，向量使得

，则

的最小值为______，

的最大值为_______．

【解析】分析：建立平面直角坐标系，利用数形结合将问题转化为数的运算来处理． 详解：设

，建立如图所示的平面直角坐标系，则点A,B的坐标分别为

．

设∵

，则

，

．

20 / 28

∴整理得

∴点C的轨迹是以

，

为圆心，半径为的圆．

∴∵

．

表示圆上的点到原点的距离，

∴又

的最小值为．

，表示圆上的点的横坐标， 的最大值为

．

结合图形可得故答案为

，．

点睛：数量积的运算有两种方式，一是用定义运算，二是用坐标运算．向量的坐标运算实质上确实是数的运算，同时借助数形结合使运算变得简单、直观形象，这点要通过建立平面直角坐标系来实现．

37．已知椭圆一点，满足【答案】

【解析】分析：由题意得为的纵坐标与相同，然后利用而可得离心率． 详解：设∵∴∴G为

， 的重心，

，

， ,

，为其左、右焦点,为椭圆上除长轴端点外的任一点，为

（其中为实数），则椭圆的离心率=_____

内

的内心为，且有

的重心，设，由重心坐标公式可得的纵坐标，由可得内心的等式，从

的面积等于被内心分割而成的三个小三角形的面积之和建立

∴G点坐标为．

21 / 28

∵∴

， 轴，

∴I的纵坐标为． 在

中，

，

∴又I为

的内心，

．

∴I的纵坐标即为内切圆半径．

由于I把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形，

∴，

∴

即∴

，

，

∴椭圆C的离心率．

点睛：解答本题时注意两点：（1）读明白向量式的含义，正确地将向量式转化为几何关系，这是解题的基础．（2）求椭圆的离心率时，要把条件中给出的几何关系转化为关于率或其范畴． 38．已知向量

满足

，

，

，

，则

的等式或不等式，通过解方程或不等式可得离心

的最大值是_______. 【答案】

22 / 28

点睛：此题要紧考查向量数量积、加减法则及其几何意，以及坐标法、数形结合法在解决此类问题中的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是常考考点.在解决此类问题中，依照所给条件，建立合理科学的平面直角坐标系，将向量问题转化为解析几何问题，通坐标的运算，再将结论翻译为向量结果，从而问题可得解. 39．若点O在ABC内，且满足2BA6BC9OC0，设SBOC为BOC的面积， SABC为ABC的面积，则

SBOC＝________. SABC【答案】

2 9【解析】由2BA6BC9OC0，可得： 2OAOB6OCOB9OC2OA4OB3OC 延长OA，OB，OC，使OD=2OA，OE=4OB，OF=3OC， 如图所示：

23 / 28

∵2OA+3OB+4OC=0， ∴ODOEOF0， 即O是△DEF的重心，

故△DOE，△EOF，△DOF的面积相等， 不妨令它们的面积均为1，

111，△BOC的面积为，△AOC的面积为， 8126111故三角形△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为： ： ： =3：2：4，

8126则△AOB的面积为

SBOC2. SABC9故答案为：

2． 9点睛：本题考查的知识点是三角形面积公式，三角形重心的性质，平面向量在几何中的应用，注意重要结论：点O在ABC内，且满足mOAnOBtOC0， m，n，t0则三角形△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为： t：m：n. 40．有下列命题： ①等比数列

中，前n项和为，公比为，则，

，

仍旧是等比数列,其公比为； cm；

3

②一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的体积是

③若数列④在

是正项数列，且中，

，则

D是边BC上的一点（包括端点），则

的取值范畴是

； .

其中正确命题的序号是_____（填番号） 【答案】②③④

24 / 28

【解析】①错,=

. ③

,,不符合等比数列. ②

中n用n-1代得

,

,两式

做差得,,符合.,因此.

④如下图建立 平面直角坐标系

,

,

,因此

,

,符合.填②③④.

,

0 ， OB1 ， 1 ， x ， yOAOB.若012时，z41．已知OA1 ，xym0 ， n0的最mn大值为2，则mn的最小值为 .

562【答案】 【解析】 试题分析：

yOAOB(,)xy,yx ，，因此0xy1y2，可行域为一个平行四边

形及其内部，由直线

32()13n2m13n2m53n2mmn(mn)mn(5)(52)622mn2mn2mn时取等号 ，当且仅当考点：线性规划，差不多不等式求最值

zxyxy32z2mn斜率小于零知直线mn过点(3,2)取最大值，即mn，因此

【易错点睛】在利用差不多不等式求最值时，要专门注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足差不多不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会显现错误. 42．在下列五个命题中：

①已知大小分别为1N与2N的两个力，要使合力大小恰为6N，则它们的夹角为②已知; 32， ，则sincos； 5725 / 28

③若A,B,C是斜ABC的三个内角，则恒有tanAtanBtanCtanAtanBtanC成立； ④计算式子sin50013tan100的结果是1； 22; 33cosx1）sinx 且x⑤已知（，则x的大小为（0，）32其中错误的命题有_________.（写出所有错误命题的序号） ．．．．．．．．．．．【答案】①②④⑤

【解析】①由三角形法则F14212不符。③tanAtanBC④sin5013tan10052122，不符。②coscossinsin714572tanBtanC，因此tanAtanBtanCtanAtanBtanC成立，对。

1tanBtanC000000sin600sin1000cos60cos10sin60sin10sin50 sin501= 0000cos60cos10cos60cos10sin1000sin600sin100cos5000sin501sin501，错。00000cos60cos10cos60cos10cos100⑤32cos2xxxxx22sincos,3tan或，因此或x，错。填①②④⑤。 cos0x22222343．如图，在ABC中，N为线段AC上靠近A点的四等分点，若AP(m11则m ． )ABBC，1010

【答案】3 5【解析】

试题分析：由已知,AN111AC,BCACAB4ANAB,又AP(m)ABBC，因此1010411223AP(m)AB(4ANAB)mABAN，由于B,P,N三点共线，因此m1,m．

10105551AC,4考点：1．向量减法；2．平面向量差不多定理；3．三点共线的条件．

【易错点晴】本题要紧考查了平面向量差不多定理,三点共线的条件,属于中档题．由已知条件得出AN26 / 28

211)ABBC,化简得APmABAN,依照三点共线的条件:若A,B,C三点为1010523直线l上的点,点O为直线l外一点，且OAmOBnOC,则mn1．如此得出m1,m．

55代入已知式子AP(m44．设a，b为单位向量，若向量c满足|c(ab)||ab|，则|c|的最大值是____________． 【答案】22 考点：1、平面向量模的运算性质；2、平面向量的运算． 45．已知圆：为_____________． 【答案】

分别交轴正半轴及轴负半轴于、两点，点为圆上任意一点，则

的最大值

【解析】分析：利用向量的数量积及三角函数性质的应用，即可求解. 详解：令令设点则

，

当

时，现在

取得最大值，最大值为

.

，得

，得

，解得

，取，

，取

，

，

，解得

点睛：本题要紧考查了向量的数量积的运算和三角函数性质的应用，解答中依照向量的数量积的运算，得到向量数量积的表达式，再利用三角函数的差不多性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.

46．已知命题：“平面内OA与OB是一组不平行向量，且OAOB1,OAOB，则任一非零向量OP，

OP1OA2OB1,2R，若点P在过点O（不与OA重合）的直线l上，则

1k（定值），反之也成227 / 28

立，我们称直线l为以OA与OB为基底的等商线，其中定值k为直线l的等商比．”为真命题，则下列结论中成立的是______（填上所有真命题的序号）． ①当k1时，直线l通过线段AB中点； ②当k1时，直线l与AB的延长线相交； ③当k1时，直线l与AB平行；

④l1l2时，对应的等商比满足k1k21； ⑤直线l1与l2的夹角记为【答案】①③④⑤ 【解析】

试题分析：等商比的意义为该直线斜率的倒数，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立直角坐标系，由此可知AB:yx1,A(1,0),B(0,1)，①直线l：yx通过线段AB中点(,)；②当k1时，直线l与BA的延长线相交;③当k1时，直线l：yx与AB平行；④l1l2时，对应的等商比满足

2对应的等商比为k1、k2，则tank1k21k1k2；

1122k1k21；⑤由直线夹角公式得tan11k1k2111k1k2k1k21k1k2．

考点：新定义

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