实用文库汇编之柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析

分方程的* 推导及分析

哈尔滨工业大学市政学院

摘要：运用热力学第一定律，建立温度场，利用微分方程在不同坐标系的不同形式进行分析问题 关键词：柱坐标 球坐标 导热微分方程

1.柱坐标系下导热微分方程

假定所研究的物体是各向同性的连续介质，其导热率λ，比热容c和密度ρ均为已知，并假设物体内具有内热源。用单位体积单位时间内所发出的热量 qv(w/m *3)表示内热源的强度。基于上述各项假定，再从进行导热过程的物体中分割出一个微元体，如图。根据热力学第一定律，对微元体进行热平衡分析，那么在dτ时间内导入和导出微元体的净热量，加上内热源的发热量，应等于微元体热力学能的增加，即

导入与导出微元体的净热量（Ⅰ）＋微元体内热源的发热量（Ⅱ）＝微元体中热力学能 的增加（Ⅲ）

下面分别计算式中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三项： 在 dτ时间内，沿 r 轴方向：

rqrrddzd

tqrrddzdr tdrrddzdrdrdrdrrdrr○1

tdrdrdr(r)drddzdrr在 dτ时间内，沿 轴方向：

qdrdzd1tq

r1tdrdzdrdd1td()drddzd○2 r在 dτ时间内，沿 z轴方向：

zqzrddrdt qzztzrddrdzzdzzzdzz○3

tzzdz(r)drddzdzz将 r、Φ、z 三个方向导入和导出微元体的净热量相加得到 :

I=○1+○2+○3

在 dτ时间内，微元体中内热源的发热量为 Ⅱ=qvrdrddzdr

在 dτ时间内，微元体中热力学能的增量为

trdrddzd Ⅲ=c联立I，III，II可得导热微分方程在圆柱坐标下的公式：

c

t1t1ttqvr(r)2()() rrrrzz2.球坐标系下导热微分方程

在球坐标系中，从进行导热过程的物体中分割出一个微元体。 在 dτ时间内，沿 r 方向导入和导出微元体的净热量 ：

rqrr2sindddtqrr○1 rdrrr且drrtrrdr(r2sin)drdddrr在 dτ时间内，沿 方向导入和导出微元体的净热量 ：

qrdrddz1trsind且d○2

1td()drdddsinq在 dτ时间内，沿 方向导入和导出微元体的净热量 ：

qrsindrdd1tr○3 d且dtd(sin)drdddq将 r、、三个方向导入和导出微元体的净热量相加得到 : I=○1+○2+○3

在 dτ时间内，微元体中内热源的发热量为 Ⅱ= qvr2sindrddd

在 dτ时间内，微元体中热力学能的增量为

t2rsindrddd Ⅲ=c联立I，II，III可得导热微分方程在圆球坐标下的公式：

ct1t1t1tqv2(r2)22()2(sin) rrrsinrsin3.总结

得出当分析同一个问题时，有多种不同的分析方法。使用不同的分析方法会使我们分析问题的过程不一样，但是不会影响问题分析的结果。遇到不同的情况就要选择不同的分析方法。就上述问题而言，当分析的对象是一般平面物体，选择直角坐标系比较方便。但是当所分析的对象为轴对称物体（圆柱，圆筒或圆球），采用柱坐标系或球坐标系更为方便。

参考文献

1.传热学（第六版） 章熙民 朱彤 中国建筑工业出版社

2.工科数学分析 哈尔滨工业大学数学系分析教研室 高等教育出版社