()第３７卷第１期 JournalofNanninormalUniversitNaturalScienceEditiongNy
Mar．２０２０Vol．３７No．１
:/DOI１０．１６６０１．cnkii．ssn２０９６Ｇ７３３０．２０２０．０１．００９j()文章编号:２０９６Ｇ７３３０２０２００１Ｇ００６０Ｇ０３
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关于丢番图方程x３＋１＝９４９y()南宁师范大学数学与统计学院,广西南宁５３０２９９
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摘 要:该文证明了丢番图方程x３＋１＝９４９０)．y仅有整数解(x,y)＝(－１,
张小凤,周 科
关键词:丢番图方程;整数解;同余式
中图分类号:O１５６ 文献标识码:A
２２设D＞０,且对任意的质数p,形如x３＋１＝Dp⫮D．y的丢番图方程是一类基本而又重要的三次不定方程,柯召等证明了,当D不含６方程的整数解仅有平凡解(k＋１型的素因子时,x,y)＝
[１]()但当D含有６其解的情况比较复杂,求解也较为困难,但是关于这方面０．k＋１型的素因子时,－１,
２
),的研究亦有非常丰富的成果:罗明证明了x３＋１＝７２００３年,x,０－１,y仅有整数解(y)＝([[２]２３]
())瞿云云等证明了x３＋１＝本文证明了丢番３,．２００９年,１１９x,０．±２＝(－１,y仅有整数解(y)
２
)图方程x３＋１＝９这里D＝９４９x,０．４９＝１３×７３为两个６k＋１型的素因＝(－１,y仅有整数解(y)
子之积．
２
２xnx２xn２＋３n＝n＝y２yn,yn,
２
xn－１＝２xn－３xn２－３yn－１＝－xn＋２yn,yn,yn＝１．
[]５２
引理２ 丢番图方程４x４－３±１)．y＝１仅有整数解(x,y)＝(±１,
[]５２
引理３ 丢番图方程x４－３０)．y＝１仅有整数解(x,y)＝(±１,
[]４２
)):引理１满足以下递推关系式( Pell方程x２－３xn,１~(４y＝１的通解(yn)
xn＋１＝２xn＋３x０＝１,x１＝２,yn,yn＋１＝xn＋２yn,y０＝０,y１＝１,
[]５４
引理４(±７,(±１, 丢番图方程x２－３０)．±１),±２),y＝１仅有整数解(x,y)＝(±２,定理１ 丢番图方程
２
x３＋１＝９４９y仅有整数解(x,０)．y)＝(－１,
证明 由于(x＋１,故原方程可分解成以下８种情形:x２－x＋１)＝１,３,
２
,情形Ⅰ:x＋１＝９４９a２,x２－x＋１＝bb;y＝a２,情形Ⅱ:x＋１＝７３a２,x２－x＋１＝１３bab;y＝２,情形Ⅲ:x＋１＝１３a２,x２－x＋１＝７３bb;y＝a()１
２,情形Ⅳ:x＋１＝a２,x２－x＋１＝９４９bab;y＝
２,情形Ⅴ:x＋１＝３a２,x２－x＋１＝２８４７bb;y＝a２,情形Ⅵ:x＋１＝３９a２,x２－x＋１＝２１９bab;y＝２,情形Ⅶ:x＋１＝２１９a２,x２－x＋１＝３９bb;y＝a２,情形Ⅷ:x＋１＝２８４７a２,x２－x＋１＝３bab,y＝
()２
收稿日期:２０１９Ｇ１０Ｇ２４
,通讯作者简介:周科(男,广西桂林人,副教授．１９６２—)
,作者简介:张小凤(女,硕士生．１９９７—)
２
第１期 张小凤,等:关于丢番图方程x３＋１＝９４９y这里a⩾０,且(b＞０,a,b)＝１．
２２２
)()由x２－x＋１＝得(解之得(x,显然不满足x＋b２x－１２b)３,b)＝(０,１,．－(＝±１),±１)因而在情形Ⅰ下方程(无整数解．１＝９４９a２,１
２２
(),()由此得:即b而模７１３b３×１１mod７３２mod７３．３的勒让德符号≡３＋７≡６
６１
２２
(),()由x＋１＝得x≡－１代入方程x２－x＋１＝得:７３a２两边模７３,mod７３１３b３≡１３bmod７３．
２２
(),由x＋１＝１得x≡－１代入方程x２－x＋１＝７得３≡７３a２两边模１３,mod１３３b３b≡
２２()()因而b而模１８bmod１３．mod１３．３的勒让德符号≡２
６２ö１ö１ö３ö１öææ３æ２öæ３æ７æ１æ９öç÷＝ç÷ç÷＝ç÷＝ç÷＝ç÷＝－ç÷＝－１．è７è１３øè７３øè７３øè７３øè３１øè３１ø１ø
)因而,在情形Ⅱ下方程(无整数解．１
２öæç÷＝－１．
è１３ø
)因而,在情形Ⅲ下方程(无整数解．１而模１３的勒让德符号
２
(),)由x２－x＋１＝两边模１得x≡４,代入方程x＋１＝９４９b３,１０mod１３a２得５,１１≡a２(mod１３．
２
(),由x２－x＋１＝２两边模１得x≡４,代入方程x＋１＝３８４７b３,１０mod１３a２得５,１１≡
)()因而a２≡６,而模１３a２(mod１３．８mod１３．３的勒让德符号
５ö３ö１öæ１３öæ２öææ１æ３öæ２öæ１ç÷＝ç÷＝ç÷＝ç÷＝－１,ç÷＝ç÷＝ç÷＝－１．
è１è１３øè５øè５øè３ø３øè１１øè１１ø
)因而,在情形Ⅳ下方程(无整数解．１６ö３öææ２öæ３öæ１æ８öæ２öç÷＝ç÷ç÷＝－ç÷＝－１,ç÷＝ç÷＝－１．
è１è３øè１３øè１３øè１３ø３øè１３ø
)因而,在情形Ⅴ下方程(无整数解．１
２２
(),(由x＋１＝３得x≡－１代入方程x２－x＋１＝２得３≡２９a２两边模１３,mod１３１９b１９bmod
２２２
)(),即b()由此得１≡７而模１１３．３bbmod１３mod１３．３的勒让德符号≡８≡５
２
(),由x＋１＝２得x≡－１代入第二个方程得x２－x＋１＝３１９a２两边模７３,mod２１９９b⇒３≡
２２２()(),即b()而模７３９bmod２１９⇒１≡１３bmod７３mod１３．３的勒让德符号≡５
)因而,在情形Ⅵ下方程(无整数解．１
５öææ３öæ２öç÷＝ç÷＝ç÷＝－１．
è１３øè５øè３ø
)３＝xn＋yn３＝(２＋３)n,令２b＋(１８９８a２－１n∈N,其中２＋３是Pell方程X２－３Y２＝
则有１的基本解,
２２２２
)由x２－x＋１＝３有,(因而又由x＝１b２x－１２b)．８９８a２－１得,(２b)－３＝３(－３
２
()１８９８a２－１＝１．
５ö３öææ７æ３öæ２öç÷＝ç÷＝ç÷＝ç÷＝－１．
è７３øè５øè５øè３ø
)因而,在情形Ⅶ下方程(无整数解．１
４２５,６４,７８０,２０９,５６,１５,４,１,０,９４８,９４５,９３４,８９３,７４０,１６９,８８５,５２４,２６２,５２４,８８５,１６９,７４０,８９３,９３４,
．()时,()当且仅当n≡１令n＝４则有９４５,９４８,０,１,９,３５mod３６４８≡－１mod９４９．k－１,yn≡９
２２
１８９８a２＝y４１＝－x４２１＝－x２３４x２x２３２２x２k１＋k＋k＋２k－k＋kk＋２k－k＝k(k－３k)＝y４y２y２y２y２y２－
２x２k１k由此得:y２－
() ９４９a２＝x２４k１k．y２－
() １８９８a２＝yn＋１,n∈Z．３
对P得到周期为３ell方程的解yn取模９４９,６的剩余系列:０,１,４,１５,５６,２０９,７８０,６４,４２５,６８７,
因而有以下方程:＝２．k)y２
))由(得:因而n⩾－１,故(中k⩾０．又由于(３４x２２x２３２x２＝(＝(k１,k)k－k,k)k,yn⩾－１．y２y２y２－
６２
自然科学版) 南宁师范大学学报( 第３７卷
２
, x２２c１８９８d２,a＝２cd;k１＝±k＝±y２－
２, x２１８９８c２d２,a＝２cd;k１＝±k＝±y２－２, x２２６c１４６d２,a＝２cd;k１＝±k＝±y２－
２, x２１４６c２６d２,a＝２cd,k１＝±k＝±y２－
()５
()６()７()８
这里c＞０,且(d⩾０,c,d)＝１．
２４２
)()由(及x２由引理２知,由此得y２５３１有:４c１．c,０．０．－３＝(±１,２k１－k１＝k１＝k１)k１＝y２y２y２－－－－－
但２|因而矛盾．k１,y２－ xk＝u２,v２,d＝uv,yk＝±这里u＞０,且(v⩾０,u,v)＝１．
２
)由(的第二个方程有xk因而有６yk＝±d,
()９
２)())由(第一个方程有u４－３由引理３知,的解为(由此９９u,０⇒k＝０．＝(±１,yk＝１．yk)yk＝０⇒
)))得yn＝进而得到方程(中x＝－由此得方程(的平凡解(１．２１,a＝０,０．１x,x)０．＝(－１,y－１＝－y＝
)由(的第二个方程有xk因而有７３d２,yk＝±７这里u＞０,且(v⩾０,u,v)＝１．
)()类似于(的讨论,无解．９１０
xk＝u２,３v２,d＝uv;yk＝±７
xk＝７３u２,v２,d＝uv,yk＝±
２
)由(有:由引理４知,此时方程无解．１１xkv４＝１．－３
)()类似于(的证明,无解．７８
()１０
()１１
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综上所述,丢番图方程x３＋１＝９４９０)．y仅有平凡解(x,y)＝(－１,
参考文献:
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[]柯召,],():孙琦．关于丢番方程x３＋１＝D四川大学学报(自然科学版)１J．１９８１,１８２１Ｇ６．y[２[]罗明．],():关于不定方程x３＋１＝７重庆师范大学学报(自然科学版)２J．２００３,２０１５Ｇ７．y[
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OntheDiohantineEuationx３＋１＝９４９pqy(,SchoolofMathematicsandStatisticsSciences
,)NanninormalUniversitNannin３０２９９,ChinagNyg５
２
:,AbstractInthispaerweproofthat,theDiohantineeuationx３＋１＝９４９nlasinteerppqyhgyo
solutions(x,０)．y)＝(－１,
:;;KeordsDiohantineeuationinteersolutionconruencepqggyw
,ZHANGXiaoＧfenZHOUKeg
[责任编辑:班秀和]
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