二元一次方程组
一、单选题
𝑦=𝑥−1①
1.（2021七下· 时，把①代入②正确的防城月考）用“代入消元法”解方程组 {
2𝑥−𝑦=8②是( )
A. 2x-x-1=8 B. 2x+x-1=8 C. 2x+x+1=8 D. 2x-x+1=8 2.（2020七下·奉化期中）下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. 𝑥+2𝑦=5 B. 𝑥𝑦=3 C. 3𝑥+𝑦2=5 D. 𝑥+𝑦=1 3.（2021七下·余杭期中）甲、乙两人从A地出发，沿同一方向练习跑步，如果甲让乙先跑10米，则甲跑5秒就可追上乙，如果甲让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就能追上乙，设甲、乙每秒钟分别跑x米和y米，则可列方程组为（ ） 5𝑥=5𝑦+105𝑥+10=5𝑦A. { B. {
4𝑥−2=4𝑦4𝑥−4𝑦=25(𝑥−𝑦)=105𝑥−5𝑦=10C. { D. {
4(𝑥−𝑦)=2𝑦4(𝑥−𝑦)=2
4.（2017七下·湖州期中）下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. xy﹣2x=1 B. 3x+1=y C. y=9 D. 6x+y2=7 𝑎+2𝑏=4
5.（2020七下· ,则a+b等于（ ） 镇平月考）已知 {
3𝑎+2𝑏=8A. 2 B. 3 C. 3 D. 1 6.小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用20分钟，他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的速度是70米/分，他家离学校的距离是3350米．设他骑自行车和步行的时间分别为x、y分钟，则列出的二元一次方程组是 A.
8
1
1xy3200x70y33501xy370x200y3350 B.
xy2070200y3350
C. D.
xy20200x70y3350
7.已知a、b、c满足3a+2b-4c=6,2a+b-3c=1,若a、b、c都为负数，设y=3a+b-2c,求y的取值范围（ ）
A.y≥-3 B.y≥3 C. 3≤y≤24 D. y≥0
2𝑥+𝑦=1+3𝑚
8.已知方程组 { 的解满足x+y＜0，则m的取值范围是（ ）
𝑥+2𝑦=1−𝑚A. m＞﹣1 B. m＞1 C. m＜﹣1 D. m＜1 9.某公司向银行申请了甲、乙两种贷款共计68万元，每年需付出8.42万元利息，已知甲种贷款每年的利率为12%，乙种贷款每年的利率为13%，则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为（ ）
A. 26万元，42万元 B. 40万元，28万元 C. 28万元，40万元 D. 42万元，26万元
10.（2021七下·硚口期末）某车间每天能生产甲种零件120个或者乙种零件100个.3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，要在27天内生产最多的成套产品，问甲、乙两种零件各生产几天？设甲种零件生产 𝑥 天，乙种零件生产 𝑦 天，下列方程组正确的是（ ） 𝑥+𝑦=27𝑥+𝑦=27A. { B. { 120𝑥=100𝑦2×120𝑥=3×100𝑦𝑥+𝑦=27𝑥+𝑦=27C. { D. { 3×120𝑥=2×100𝑦2𝑥=3𝑦
二、填空题
﹣
11.（2018七下·潮安期末）若方程 2xm1+y2n+m= 2 是二元一次方程，则mn=________．
1
12.方程组
xy3xy1的解是
13.若方程组
的解x、y的和为0，则k的值为 ．
3x5yk22x3yk14.（2020九下·宝山期中）《九章算术》记载了这样一个问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万，问善田几何?”意思是：当下良田1亩，价值300钱：薄田7亩，价值500钱．现在共买1顷，价值10000钱．根据条件，良田买了 亩． 15. 𝑦 定义一种新运算 𝐹 ， 𝐹(𝑥,𝑦)=(𝑚𝑥+𝑛𝑦)(3𝑥−（2021七下·奉化期末）对 𝑥 ，规定： 𝑛 均为非零常数）.例如： 𝐹(1,1)=2𝑚+2𝑛 ， 𝐹(−1,0)=3𝑚 .当 𝐹(1，𝑦) （其中 𝑚 ，
−1)=−8 ， 𝐹(1，2)=13 ，则 𝐹(𝑥,𝑦)= ；当 𝑥2≠𝑦2 时， 𝐹(𝑥,𝑦)=𝐹(𝑦,𝑥) 对
任意有理数 𝑥 ， 𝑦 都成立，则 𝑚 ， 𝑛 满足的关系式是 . 𝑦=3𝑥=416.如果方程组 { 的解与方程组 { 的解相同，则a+b=________．
𝑎𝑥+𝑏𝑦=5𝑏𝑥+𝑎𝑦=2
三、解答题
17.抗洪指挥部的一位驾驶员接到一个防洪的紧急任务，要在限定的时内把一批抗洪物质从物质局运到水库，这辆车如果按每小时30千米的速度行驶在限定的时间内赶到水库，还差
3千米，他决定以每小时40千米的速度前进，结果比限定时间早到18分钟，问限定时间是几小时？物质局仓库离水库有多远？
18.（2021·泰州）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工.实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工.甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？
19.（2020八上·丘北期末）某文具店销售甲、乙两种钢笔，甲钢笔每支进价6元，乙钢笔每支进价14元，该文具店同时进购甲、乙两种钢笔共50支，恰好用去540元．求该文具店购进了甲、乙两种钢笔各多少支？
20.已知代数式3ax—b，在x=0时，值为3；x=1时，值为9．试求a、b的值．
21.（2018·高安模拟）甲、乙同时出发前往A地，甲、乙两人运动的路程y（米）与运动时间x的函数图象如图所示，根据图象求出发多少分钟后甲追上乙？
𝑘𝑥+2𝑦=1022.（2019七下· 有南充期中）k为正整数，已知关于x，y的二元一次方程组 {
3𝑥−2𝑦=0整数解，求2k+x+y的平方根。
答案解析部分
一、单选题 1.【答案】 D
【考点】解二元一次方程组
【解析】【解答】把y=x-1代入2x-y=8得：2x-（x-1）=8 去括号得：2x-x+1=8, 故答案为：D.
【分析】根据去括号法则即可得出答案。 2.【答案】 A
【考点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：A、符合二元一次方程的定义，正确； B、未知数的最高次数是2，错误； C、未知数的最高次数是2，错误；
D、是分式方程，不符合二元一次方程的定义. 故答案为：A.
【分析】根据二元一次方程的定义，即只含有2个未知数，且含有未知数的项的最高次数是1的整式方程，直接进行判断. 3.【答案】 D
【考点】二元一次方程组的实际应用-行程问题 【解析】【解答】解：设甲、乙每秒分别跑x米，y米， 由题意知： 5𝑥−5𝑦=10
. {
4(𝑥−𝑦)=2𝑦故答案为：D.
【分析】根据题中的两个相等关系“ 甲跑5秒跑的路程-乙跑5秒跑的路程=10，甲跑4秒跑的路程-乙跑4秒跑的路程= 乙先跑2秒的路程”可列方程组. 4.【答案】 B
【考点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：A、是二元二次方程，故A不符合题意； B、是二元一次方程，故B符合题意； C、是一元一次方程，故C不符合题意； D、是二元二次方程，故D不符合题意； 故选：B．
【分析】根据二元一次方程的定义求解即可． 5.【答案】 C
【考点】解二元一次方程组
𝑎+2𝑏=4,① 【解析】【解答】解： {
3𝑎+2𝑏=8,②由①＋②得4a＋4b＝12， ∴a＋b＝3. 故答案为：C.
【分析】根据等式的性质用①＋②得出一个新等式，再在等式的两边都除以4即可得出答案.
6.【答案】 D
【考点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】由他骑自行车和步行的时间分别为x、y分钟，根据关键语句“到学校共用时20分钟”可得方程：x+y=20，根据关键语句“骑自行车的平均速度是200米/分，步行的平均速度是70米/分．他家离学校的距离是3350米”可得方程：200x+70y=3350，两个方程组𝑥+𝑦=20
)。故选D。 合可得方程组：{
200𝑥+70𝑦=3350
7.【答案】 C
【考点】二元一次方程组的其他应用 【解析】【解答】解：∵3a+2b-4c=6,2a+b-3c=1, ∴
3a2b64c2ab13c∴
a2c4b9c∴y=3(2c-4)+9-c-2c=3c-3 ∵a、b、c都是非负数 ∴
2c409c0c0∴2≤c≤9 ∴3≤3c-3≤24 ∴3≤y≤24 故答案为：C
8.【答案】 C
【考点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：两式相加得：3x+3y=2+2m ∵x+y＜0
∴3（x+y）＜0 即2+2m＜0
m＜﹣1．故答案为：C．
÷3，【分析】观察x和y的系数，如果相加，它们的系数相同，得x+y=（2+2m）再让（2+2m）÷3＜0，解不等式得m＜﹣1 9.【答案】 D
【考点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设该公司甲、乙两种贷款的数额分别为x万元与y万元，则有 𝑥+𝑦=68𝑥=42
，解这个二元一次方程组得 { ，所以该公司甲、乙两种贷款{
𝑦=2612%𝑥+13%𝑦=8.42
的数额分别为42万元与26万元．故D符合题意. 故答案为：D.
【分析】设该公司甲、乙两种贷款的数额分别为x万元与y万元，根据甲、乙两种贷款共计68万元和每年需付出8.42万元利息来列方程组，求出解可得答案. 10.【答案】 B
【考点】二元一次方程组的实际应用-配套问题 【解析】【解答】解：由题意可知： 𝑥+𝑦=27
甲种零件生产 𝑥 天，乙种零件生产 𝑦 天，则甲种零件有 120𝑥 ，乙种零件有 100𝑦 ， 3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，则 故答案为：B.
【分析】 设甲种零件生产x天，乙种零件生产y天， 根据总时间为27天， 3个甲种零件与2个乙种零件配成一套， 列出二元一次方程组求解即可. 二、填空题 11.【答案】 -1
【考点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】由题意得：m-1=1，2n+m=1， 解得：m=2．n=- 2 ， mn=-1， 故答案为：-1．
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，未知项的次数为1的整式方程，进行求解即可。
1
120𝑥3
=
100𝑦2
，即 2×120𝑥=3×100𝑦
𝑥=2
12.【答案】 {)
𝑦=1
【考点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得：2x=4，即x=2， ①﹣②得：2y=2，即y=1，
，
𝑥=2
) 则方程组的解为{
𝑦=1．𝑥=2
) 故答案为：{
𝑦=1．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 13.【答案】 2
【考点】三元一次方程组解法及应用
3𝑥=5𝑦=𝑘+2𝑥=2𝑘−6
) ， 解得：{) ． ∵x、y的【解析】【解答】解：∵方程组{
𝑦=4−𝑘2𝑥+3𝑦=𝑘
和为0，则有：2k﹣6+4﹣k=0，解得：k=2．
【分析】先求出方程组的解，然后再根据x、y的和为0，得出方程2k﹣6+4﹣k=0，解出即可．
14.【答案】 12.5
【考点】二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：设良田买了x亩，薄田买了y亩，
𝑥+𝑦=100
500 ， 依题意得： {
300𝑥+𝑦=10000
7
𝑥=12.5
， 解得： {
𝑦=87.5
答：良田买了12.5亩，
故答案为：12.5．
【分析】根据当下良田1亩，价值300钱：薄田7亩，价值500钱．现在共买1顷，价值10000钱，列方程组计算求解即可。 15.【答案】 9𝑥2+12𝑥𝑦−5𝑦2；n=-3m 【考点】解二元一次方程组，定义新运算
【解析】【解答】解：①根据题意得， 𝐹(1，−1)=(𝑚−𝑛)(3×1+1)=−8 ，
𝐹(1，2)=(𝑚+2𝑛)(3×1−2)=13 ， 𝑚−𝑛=−2𝑚=3 ，解得： { ， 整理得：{
𝑚+2𝑛=13𝑛=5
则 𝐹(𝑥,𝑦)=(3𝑥+5𝑦)(3𝑥−𝑦)
=9𝑥2−3𝑥𝑦+15𝑥𝑦−5𝑦2
=9𝑥2+12𝑥𝑦−5𝑦2 ，
②由 𝐹(𝑥,𝑦)=𝐹(𝑦,𝑥) 得
(𝑚𝑥+𝑛𝑦)(3𝑥−𝑦)=(𝑚𝑦+𝑛𝑥)(3𝑦−𝑥) ，
整理得： (𝑥2−𝑦2)(3𝑚+𝑛)=0 ，
∵ 当 𝑥2≠𝑦2 时， 𝐹(𝑥,𝑦)=𝐹(𝑦,𝑥) 对任意有理数 𝑥 ， 𝑦 都成立， ∴3𝑚+𝑛=0， 即 𝑛=−3𝑚 ；
故答案为： 9𝑥2+12𝑥𝑦−5𝑦2 ； 𝑛=−3𝑚 . 【分析】根据新运算 𝐹的定义，可得方程组{
， 求出m、n的值，即得结
𝑚+2𝑛=13
论；由 𝐹(𝑥,𝑦)=𝐹(𝑦,𝑥) 得(𝑚𝑥+𝑛𝑦)(3𝑥−𝑦)=(𝑚𝑦+𝑛𝑥)(3𝑦−𝑥) ， 整理得 (𝑥2−
𝑚−𝑛=−2
𝑦2)(3𝑚+𝑛)=0 ，由于
当 𝑥2≠𝑦2 时， 𝐹(𝑥,𝑦)=𝐹(𝑦,𝑥) 对任意有理数 𝑥 ， 𝑦 都成立，可得3m+n=0，即得结论.
16.【答案】 1
【考点】解二元一次方程组
𝑎𝑥+𝑏𝑦=5𝑥=3
是方程组 { 的解， 【解析】【解答】解：依题意，知 {
𝑦=4𝑏𝑥+𝑎𝑦=24𝑎+3𝑏=5①∴ {
4𝑏+3𝑎=2②①+②，得7a+7b=7， 方程两边都除以7，得a+b=1．
【分析】把ax+by=5和b x + a y = 2组成有4个未知数的方程组，把x=3 y=4代入组成方程组中，方程组由4元化为2元，然后求得a+b的值。 三、解答题
17.【答案】解：设限定时间是x小时，物资局仓库离水库y千米．
30𝑥=𝑦−3
18 ， 则 {
40(𝑥−60)=𝑦𝑥=1.5
． 解得 {
𝑦=48
答：限定时间是1.5小时，物资局仓库离水库有48千米 【考点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设限定时间是x小时，物资局仓库离水库y千米，根据30×限定时间=两地距离﹣3和40×（限定时间﹣ 60 ）=两地距离，列出方程组，再进行求解即可． 18.【答案】 解：设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据题意得，
18
30
{150 (1+50%)𝑥+𝑦=30−5
𝑥+𝑦=
150
𝑥=2
解得， {
𝑦=3
答：甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米。 【考点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
设甲工程队原计划每月修建x千米，【解析】【分析】乙甲工程队原计划每月修建y千米 ，根据甲每月独干效率+乙每月独干的效率=甲乙每月合干的效率和，列出方程组并解之即可. 19.【答案】 解：设购进甲钢笔x支，乙钢笔y支，则
𝑥=20𝑥+𝑦=50
，解得：{6𝑥+14𝑦=540{𝑦=30 ， 答：购进甲钢笔20支，乙钢笔30支．
【考点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
𝑥+𝑦=50 设购进甲钢笔x支， 根据题意列出方程组{【解析】【分析】乙钢笔y支，
6𝑥+14𝑦=540
求解即可。
20.【答案】 解：依题可得： 3𝑎×0−𝑏=3{) ， 3𝑎×1−𝑏=9解得： 𝑎=2{). 𝑏=−3
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】依题可得一个关于a、b的二元一次方程组，解之即可得出a、b的值. 21.【答案】 解：由题意设甲的解析式为：y=k1x，则有：120=8k1 ， 解得:k1=15， 所以甲的函数解析式为y=15x，
𝑏=10𝑘=11
，解得： {2 ， 设乙的解析式为：y=k2x+b，则有： {
10𝑘2+𝑏=120𝑏=10所以乙的函数解析式为y=11x+10，
𝑦=15𝑥𝑥=2.5
，解得： { ， 联立得： {
𝑦=37.5𝑦=11𝑥+10答：2.5分钟后甲追上乙．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【分析】首先根据图像，利用待定系数法，分别求出甲、乙两人运动的路程y（米）与运动时间x的函数解析式，再解联立两函数解析式的方程组，即可得出答案。 22.【答案】 解：①+② 得 （3+ 𝑘 ） 𝑥 =10 𝑥 = 3+𝑘 ∵ 𝑥 为正整数，∴3+ 𝑘 =±1,±2,±5,±10 ∴ 𝑘 为7或2
10
当 𝑘 =2时， 𝑥 = 3+2 =2 y = 2𝑥 =3 当 𝑘 =7时， 𝑥 =1 y = 2 （舍） ∴± √2𝑘+𝑥+𝑦 =±3
【考点】平方根，解二元一次方程组
【解析】【分析】根据二元一次方程组的解法，求出x关于k的代数式，由x为正整数，求出k的值；求出代数式的值.
3
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