2015-2016学年广西来宾市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数1﹣i的实部和虚部分别为（ ） A．1，1 B．0，1 C．1，0 D．1，﹣1

2．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（ ） A．演绎推理 B．类比推理 C．合情推理 D．归纳推理 3．已知0＜a＜3，复数z=a+i（i是虚数单位），则|z|的取值范围是（ A．（1，） B．（1，） C．（1，3） D．（1，10） 4．若xlog23=1，则3x+3﹣x的值为（ ） A．2

B．6

C．

D．

5．不等式2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件是（ ） A．﹣3＜x＜

B．﹣1＜x＜6

C．﹣＜x＜0

D．﹣＜x＜3

6．函数f（x）=log

（x2﹣4）的单调递减区间是（ ）

A．（0，+∞） B．（﹣∞，﹣2） C．（2，+∞） D．（﹣∞，0）

7．用反证证明：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为（ A．a，b，c都是偶数 B．a，b，c都是奇数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中都是奇数或至少两个偶数

8．函数f（x）=sinx+x3+1，若f（1）=a，则f（﹣1）=（ ） A．﹣a B．0 C．a﹣2 D．2﹣a

9．某程序框如图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

10．下列函数中为相同函数的是（ ） A．f（x）=x0与f（x）=1 B．f（x）=与f（x）=x

C．f（x）=

与f（x）=|x| D．f（x）=x﹣2与f（x）=x2

第1页（共14页）

） ） 11．将正整数排成下表：

则数表中的数字2016出现的行数和列数是（ ）

A．第44行81列 B．第45行80列 C．第44行80列 D．第45行81列 12．已知函数f（x）定义域为R，对任意的x∈R都有f（x）=f（x+2），且当﹣1＜x＜0时，f（x）=（）x﹣1，当0≤x≤1时，f（x）=x，则函数g（x）=f（x）﹣log5x的零点个数为（ ） A．3 B．4

C．5

D．6

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知幂函数y=f（x）的图象过点

，则

的值为 ．

14．（如图所示）程序框图能判断任意输入的正整数x是奇数或是偶数．其中判断框内的条件是 ．

15．函数f（x）=log2（1﹣x）+

的定义域为 ．

16．给出下列类比推理：

①已知a，b∈R，若a﹣b=0，则a=b，类比得已知z1，z2∈C，若z1﹣z2=0，则z1=z2；

②已知a，b∈R，若a﹣b＞0，则a＞b，类比得已知z1，z2∈C，若z1﹣z2＞0，则z1＞z2；

③由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得复数z的性质|z|2=z2； 其中推理结论正确的是 ．

三、解答题：本大题共6小题。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=（an﹣1）（n∈N*）．

第2页（共14页）

（1）求a1，a2，a3，a4；

（2）由a1，a2，a3，a4的值猜想这个数列的通项公式（不用证明）． 18．已知复数z满足（1+2i）=4+3i． （1）求复数z；

（2）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

19．第12届全国四次会议于2016年3月5日至3月16日在北京召开．为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了16名男记者和14名女记者担任对外翻译工作，调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语．

（1）根据以上数据完成以下2×2列联表： 会俄语 不会俄语 总计 男 女 30 总计 （2）能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关？ 下面的临界值表供参考： P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 k （参考公式：K2=

，其中n=a+b+c+d）

20．若二次函数满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围． 21．某城市理论预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如下表所示 0 1 2 3 4 年201X（年） 5 7 8 11 19 人口数Y（十万） （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a； （2）据此估计2015年，该城市人口总数．

（参考数值：0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132）

22．已知函数f（x）=是奇函数．

（1）求实数m的值；

（2）若函数f（x）在区间[a，a+]上单调，求实数a的取值范围．

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2015-2016学年广西来宾市高二（下）期末数学试卷（文

科）

参与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数1﹣i的实部和虚部分别为（ ） A．1，1 B．0，1 C．1，0 D．1，﹣1 【考点】复数的基本概念．

【分析】直接由已知复数结合实部和虚部的概念得答案． 【解答】解：∵复数z=1﹣i，

∴该复数的实部和虚部分别为1，﹣1， 故选：D．

2．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（ ） A．演绎推理 B．类比推理 C．合情推理 D．归纳推理 【考点】演绎推理的基本方法．

【分析】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分． 【解答】解：在推理过程“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”中 所有金属都能导电，是大前提 铁是金属，是小前提 所以铁能导电，是结论 故此推理为演绎推理 故选A

3．已知0＜a＜3，复数z=a+i（i是虚数单位），则|z|的取值范围是（ ） A．C．（1，） B．（1，） （1，3） D．（1，10） 【考点】复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】利用复数的模列出关系式，然后利用二次函数的最值求解即可． 【解答】解：0＜a＜3，复数z=a+i（i是虚数单位），则|z|=故选：A．

4．若xlog23=1，则3x+3﹣x的值为（ ） A．2

B．6

C．

D．

∈（1，

）．

【考点】对数的运算性质．

【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可． 【解答】解：xlog23=1，可得：x=log32，

第4页（共14页）

则3x+3﹣x=

+=2=．

故选：C．

5．不等式2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件是（ ） A．﹣3＜x＜

B．﹣1＜x＜6

C．﹣＜x＜0

D．﹣＜x＜3

【考点】充要条件；一元二次不等式的解法．

【分析】先通过解二次不等式化简条件2x2﹣5x﹣3＜0，再利用充要条件的定义判断出A是既不充分也不必要条件；B是必要不充分条件 【解答】解：∵2x2﹣5x﹣3＜0的解集为

对于A，是2x2﹣5x﹣3＜0既不充分也不必要条件 对于B，∵{x|

}⊆{x|﹣1＜x＜6}∴﹣1＜x＜6是2x2﹣5x﹣3＜0的必要不充分

条件

对于C，是2x2﹣5x﹣3＜0充分条件 对于D，是2x2﹣5x﹣3＜0充要条件 故选B

6．函数f（x）=logA．（0，+∞）

（x2﹣4）的单调递减区间是（ ）

B．D．（﹣∞，﹣2） C．（2，+∞） （﹣∞，0） 【考点】复合函数的单调性．

【分析】先求函数的定义域，根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可． 【解答】解：由x2﹣4＞0得x＞2或x＜﹣2， 设t=x2﹣4，则y=log

t是减函数，

根据复合函数单调性的关系，要求函数f（x）的单调递减区间，即求函数t=x2﹣4，在x＞2或x＜﹣2上的增区间，

∵当x＞2时，函数t=x2﹣4为增函数， ∴f（x）=log

（x2﹣4）的单调递减区间是（2，+∞），

故选：C．

7．用反证证明：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为（ ） A．a，b，c都是偶数 B．a，b，c都是奇数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中都是奇数或至少两个偶数 【考点】反证法．

【分析】用反证法法证明数学命题时，假设命题的反面成立，写出要证的命题的否定形式，即为所求．

【解答】解：∵结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”

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可得题设为：a，b，c中恰有一个偶数

∴反设的内容是假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数． 故选：D．

8．函数f（x）=sinx+x3+1，若f（1）=a，则f（﹣1）=（ ） A．﹣a B．0 C．a﹣2 D．2﹣a 【考点】正弦函数的奇偶性．

【分析】由条件利用诱导公式求得sin1=a﹣2，可得f（﹣1）=﹣sin1 的值． 【解答】解：由题意可得，f（1）=sin1+2=a，可得sin1=a﹣2， 故f（﹣1）=﹣sin1=2﹣a， 故选：D．

9．某程序框如图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ）

A．4

C．6 D．7

【考点】程序框图．

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：模拟程序的运行，可得

当S=0时，满足继续循环的条件，故k=1，S=1； 当S=1时，满足继续循环的条件，故k=2，S=3； 当S=3时，满足继续循环的条件，故k=3，S=11； 当S=11时，满足继续循环的条件，故k=4，S=2059； 当S=2059时，不满足继续循环的条件，退出循环， 故输出的k值为4， 故选：A

10．下列函数中为相同函数的是（ ） A．f（x）=x0与f（x）=1 B．f（x）=C．f（x）=

与f（x）=x

B．5

与f（x）=|x| D．f（x）=x﹣2与f（x）=x2

【考点】判断两个函数是否为同一函数．

【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相同函数．

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【解答】解：对于A，f（x）=x0=1（x≠0），与f（x）=1（x∈R）的定义域不同，所以不是相同函数； 对于B，f（x）=对于C，f（x）=所以是相同函数； 对于D，f（x）=x﹣2=

（x≠0），与f（x）=x2（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，=x（x≠0） ，与f（x）=x（x∈R）的定义域不同，所以不是相同函数；=|x|（x∈R），与f（x）=x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，

所以不是相同函数．

故选：C．

11．将正整数排成下表：

则数表中的数字2016出现的行数和列数是（ ）

A．第44行81列 B．第45行80列 C．第44行80列 D．第45行81列 【考点】归纳推理．

【分析】根据图象可知第n行有2n﹣1个数字，前n行的数字个数为1+3+5++（2n﹣1）=n2

452与2016大小关系进而判断出2016所在的行数，个，进而根据442，进而根据2025﹣2016=9

和第45行的数字个数，进而求得2016所在的列．

【解答】解：依题意可知第n行有2n﹣1个数字，前n行的数字个数为1+3+5++（2n﹣1）=n2个，

∵442=1836，452=2025，且1836＜2016，2025＞2016， ∴2016在第45行，

又2025﹣2016=9，且第45行有2×45﹣1=个数字， ∴2016在第﹣9=80列． 故选：B．

12．已知函数f（x）定义域为R，对任意的x∈R都有f（x）=f（x+2），且当﹣1＜x＜0时，f（x）=（）x﹣1，当0≤x≤1时，f（x）=x，则函数g（x）=f（x）﹣log5x的零点个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分析】函数g（x）=f（x）﹣log5x的零点个数可化为函数f（x）与函数y=log5x的交点的个数；作出图象求解即可．

【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣log5x的零点个数可化为 函数f（x）与函数y=log5x的交点的个数； 作函数f（x）与函数y=log5x的图象如下，

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结合图象可知，

函数f（x）与函数y=log5x有四个不同的交点， 故函数g（x）=f（x）﹣log5x的零点个数为4； 故选：B．

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知幂函数y=f（x）的图象过点

，则

的值为 1 ．

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】利用待定系数法求出f（x）的表达式即可． 【解答】解：设f（x）=xα， 则f（3）=3α=，解得α=﹣1， 则f（x）=x﹣1，f（2）=， 则log

f（2）=log

=1，

故答案为：1； 14．（如图所示）程序框图能判断任意输入的正整数x是奇数或是偶数．其中判断框内的条件是 m=0？ ．

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【考点】程序框图．

【分析】根据偶数的定义“整数中，能够被2整除的数，叫做偶数偶数”即除以2后的余数为0的数，从而得到判断框中所填．

【解答】解：根据判断框正确的一支是输出偶数

以及偶数的定义可知，一个数除以2整除的余数为0是偶数‘ 则判定框中应填m=0？ 故答案为：m=0？

15．函数f（x）=log2（1﹣x）+

的定义域为 （﹣3，1） ．

【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】根据对数函数以及二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可． 【解答】解：由题意得：

，解得：﹣3＜x＜1，

∴函数f（x）的定义域是（﹣3，1）， 故答案为：（﹣3，1）．

16．给出下列类比推理：

①已知a，b∈R，若a﹣b=0，则a=b，类比得已知z1，z2∈C，若z1﹣z2=0，则z1=z2；

②已知a，b∈R，若a﹣b＞0，则a＞b，类比得已知z1，z2∈C，若z1﹣z2＞0，则z1＞z2；

③由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得复数z的性质|z|2=z2； 其中推理结论正确的是 ① ． 【考点】类比推理．

【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，

也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对4个结论逐一进行分析，不难解答．【解答】解：①在复数集C中，z1，z2∈C，若z1﹣z2=0，则它们的实部和虚部均相等，则

z1和z2相等．故①正确；

z2∈C，z2=i时，z1﹣z2=1＞0，z2 是两个虚数，②若z1，当z1=1+i，但z1，不能比较大小．故

②错误；

③由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2，这两个长度的求法不是通过类比得到的，故③不正确， 故结论中，①是正确的． 故答案为：①．

三、解答题：本大题共6小题。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=（an﹣1）（n∈N*）． （1）求a1，a2，a3，a4；

（2）由a1，a2，a3，a4的值猜想这个数列的通项公式（不用证明）． 【考点】数列的概念及简单表示法． 【分析】（1）根据数列的递推公式即可求出，

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（2）由（1）的结果猜想即可．

【解答】解：（1）∵S1=a1，Sn=（an﹣1）， ∴a1=（a1﹣1）， ∴a1=﹣，

∴S2=（a2﹣1）=a1+a2， ∴a2=，

同理可得：a3=﹣，a4=

，

（2）由a1，a2，a3，a4的值猜想这个数列的通项公式 ：an=（﹣）n．

18．已知复数z满足（1+2i）=4+3i． （1）求复数z；

（2）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算． 【分析】（1）由（1+2i）=4+3i，得

，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，

则复数z可求；

（2）把复数z代入（z+ai）2，然后利用复数代数形式的乘法运算化简，又已知复数（z+ai）2

在复平面上对应的点在第一象限，列出不等式组求解即可得答案． 【解答】解：∵（1+2i）=4+3i， ∴

=

．

∴z=2+i； （2）（z+ai）2=（2+i+ai）2=[2+（a+1）i]2=4﹣（a+1）2+4（a+1）i， ∵复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限， ∴

，

解得﹣1＜a＜1．

即实数a的取值范围为：（﹣1，1）．

19．第12届全国四次会议于2016年3月5日至3月16日在北京召开．为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了16名男记者和14名女记者担任对外翻译工作，调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语．

（1）根据以上数据完成以下2×2列联表： 会俄语 不会俄语 总计 男 第10页（共14页）

女 30 总计 （2）能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关？ 下面的临界值表供参考：

P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 k （参考公式：K2=

，其中n=a+b+c+d）

【考点】性检验的应用．

【分析】（1）根据数据即可完成以下2×2列联表：

（2）计算出K2的值，结合性检验的结论进行判断． 【解答】解：（1）对应的2×2列联表为： 会俄语 不会俄语 总计 10 6 16 男 6 8 14 女 16 14 30 总计 （2）假设：是否会俄语与性别无关， 由已知数据得K2=

=

=1.1575＜

2.706，

∴在犯错的概率不超过0.10的前提下不能认为性别与会俄语有关．

20．若二次函数满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1． （1）求f（x）的解析式；

（2）若在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围． 【考点】二次函数的性质． 【分析】（1）利用待定系数法求解．由二次函数可设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c值，由f（x+1）﹣f（x）=2x可得a，b的值，从而问题解决；

（2）欲使在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只须x2﹣3x+1﹣m＞0，也就是

要x2﹣3x+1﹣m的最小值大于0即可，最后求出x2﹣3x+1﹣m的最小值后大于0解之即得．

【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1， ∴c=1，∴f（x）=ax2+bx+1

∵f（x+1）﹣f（x）=2x，∴2ax+a+b=2x， ∴

∴f（x）=x2﹣x+1

（2）由题意：x2﹣x+1＞2x+m在[﹣1，1]上恒成立， 即x2﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立其对称轴为

，∴g（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，

∴g（x）min=g（1）=1﹣3+1﹣m＞0，

第11页（共14页）

∴m＜﹣1．

21．某城市理论预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如下表所示 0 1 2 3 4 年201X（年） 5 7 8 11 19 人口数Y（十万） （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a； （2）据此估计2015年，该城市人口总数．

（参考数值：0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132） 【考点】回归分析的初步应用． 【分析】（1）先求出五对数据的平均数，求出年份和人口数的平均数，得到样本中心点，把所给的数据代入公式，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，再求出a的值，从而得到线性回归方程．

（2）把x=5代入线性回归方程，得到y=19.6，即2015年该城市人口数大约为19.6（十万）

【解答】解：（1）由题意，∵b=

∴10=3.2×2+a，

∴a=3.6

∴回归直线方程为y=3.2x+3.6

（3）把x=5代入线性回归方程，得到y=3.2×5+3.6=19.6 答：据此估计2015年，该城市人口数大约为19.6（十万

=3.2

22．已知函数f（x）=是奇函数．

（1）求实数m的值；

（2）若函数f（x）在区间[a，a+]上单调，求实数a的取值范围． 【考点】分段函数的应用． 【分析】（1）利用奇函数的定义，求出函数的解析式，即可得出m的值； （2）分类讨论，可得不等式，解不等式，即可求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0， ∴f（﹣x）=﹣x2﹣2x，

∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）， ∴f（x）=﹣f（﹣x）=x2+2x， ∴m=2；

（2）f（x）在[a，a+]上单调递增，∴

，∴﹣1≤a≤﹣；

f（x）在[a，a+]上单调递减，∴a+≤﹣1或a≥1，∴a≤或a≥1 综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[﹣1，﹣]∪[1，+∞）．

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2016年8月11日

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