一、选择题
1．设命题p：∃n∈N，n＞2，则￢p为（ ） A．∀n∈N，n＞2
2
n
2
n
B．∃n∈N，n≤2
2n
C．∀n∈N，n≤2
2n
D．∃n∈N，n=2
2n
2．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，28，则输出的a=（ ）
A．0 B．2 C．4 D．14
=7 ﹣2 x+
，若
=4.5，则x每增加1个单位，y就（ ）
3．根据如下样本数据得到的回归方程为x y 3 4 4 2.5 5 ﹣0.5 6 0.5 A．增加0.9个单位 B．减少0.9个单位 C．增加0.72个单位 D．减少0.72个单位
4．过点P（1，﹣2）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y+3）2=9交于A，B两点，当∠ACB最小时，直线l的方程为（ ） A．x﹣y﹣3=0
B．x+y+1=0 C．2x+y=0 D．2x﹣y﹣4=0
5．现有1名男同学和2名女同学参加演讲比赛，共有2道演讲备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行演讲，以下说法不正确的是（ ） A．三人都抽到同一题的概率为 B．只有两名女同学抽到同一题的概率为
C．其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为D．至少有两名同学抽到同一题的概率为
6．P为双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，且
，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆半径为（ ）
A．2
B．3
C．
D．
7．如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（ ）
A．k≤10 B．k≤16 C．k≤22 D．k≤34 +
+
=
，现将一粒黄豆随机撒在ABC
8．已知P是ABC所在平面内一点，
内，则黄豆落在PBC内的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
9．给出如下命题，其中所有正确命题的序号是（ ） ①将八进制数326（8）化为五进制数为1324（5）；
②用秦九韶算法求多项式f（x）=7x+4x+3x+2x+x，当x=3时的值．记v0=7，则v2=63； ③简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三者的共同特点是抽样过程中每个个体被抽到的机会均等；
④某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=72； ⑤某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为12．
7
4
3
2
A．①③⑤ B．③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤
10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若
A．35 B．
，则|QF|=（ ） C．20 D．3
11．直线y=x+b与曲线（θ为参数，且﹣≤θ≤）有
两个不同的交点，则实数b的取值范围是（ ） A．（﹣
D．（﹣
，，﹣1]
）
B．（﹣
，﹣
] C．（﹣
，
）
12．已知两定点A（﹣3，0）和B（3，0），动点P（x，y）在直线l：y=﹣x+5上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（ ） A． 二、填空题
13．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于 ．
14．过点A（﹣3，0）作直线l与圆x+y﹣6y﹣16=0交于M，N两点，若|MN|=8，则l的方程为 ． 15．已知椭圆C：
，点A，B，F分别为椭圆C
2
2
B． C． D．
的左顶点、上顶点、左焦点，若∠AFB=∠BAF+90°，则椭圆C的离心率是 ． 16．给出如下命题： ①“m∈（﹣1，2）”是“方程
为椭圆方程”的充要条件；
②命题“若动点P到两定点F1（﹣4，0），F2（4，0）的距离之差的绝对值为8，则动点P的轨迹为双曲线”的逆否命题为真命题； ③若p∧q为假命题，则p，q都是假命题；
④已知条件p：{x|x＜﹣3，或x＞1}，q：x＞a．若¬p是¬q的充分不必要条件，则实数a的
取值范围是a≥1；
其中所有正确命题的序号是 ． 三、解答题
17．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy，若将曲线C向左平移1个单位长度后就得到了曲线C1，再将曲线C1上每一点的横坐标伸长为原来的直线l：x﹣y﹣6=0．
（1）求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值；
（2）过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1交C2于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．
18．某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各等制划分标准如表所示： 分数 等级 A等 [70，85） [60，70） [0，60） B等 C等 D等 倍，纵坐标保持不变就得到了曲线C2，已知
同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取100名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据茎叶图如图2所示．
（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；
（2）在乙校的样本中，从成绩等级为C的学生中随机抽取2名学生，从成绩等级为D的学生中随机抽取1名学生进行调研，求抽出的3名学生中恰有1名学生成绩在65分以上的概率． 19．在某校趣味运动会的颁奖仪式上，为了活跃气氛，大会组委会决定在颁奖过程中进行抽奖活动，用分层抽样的方法从参加颁奖仪式的高一、高二、高三代表队中抽取20人前排就座，其中高二代表队有5人．
（1）把在前排就座的高二代表队5人分别记为a，b，c，d，e，现从中随机抽取3人上台抽奖，求a和b至少有一人上台抽奖的概率；
（2）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个之间的随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该代表中奖的概率．
20．三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC是等边三角形，BC的中点为O，A1O⊥底面ABC，AA1与底面ABC所成的角为
，点D在棱AA1上，且AD=
，AB=4．
（1）求证：OD⊥平面BB1C1C；
（2）求二面角B﹣B1C﹣A1的平面角的余弦值．
21．已知抛物线（1）若
的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
，求直线AB的斜率；
（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值． 22．椭圆C：
+
=1（a＞b＞0），作直线l交椭圆于P，Q两点，M为线段PQ的中
点，O为坐标原点，设直线l的斜率为k1，直线OM的斜率为k2，k1k2=﹣（1）求椭圆C的离心率； （2）设直线l与x轴交于点D（﹣求椭圆C的方程．
，0），且满足
=2
．
，当△OPQ的面积最大时，
2016-2017学年黑龙江省大庆实验中学高二（下）开学数学试卷（理科）
参与试题解析
一、选择题
1．设命题p：∃n∈N，n＞2，则￢p为（ ） A．∀n∈N，n2＞2n
B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n
D．∃n∈N，n2=2n
2
n
【考点】2J：命题的否定．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n， 故选：C．
2．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，28，则输出的a=（ ）
A．0 B．2 C．4 D．14
【考点】EF：程序框图．
【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论． 【解答】解：由a=16，b=28，不满足a＞b， 则b变为28﹣16=12， 由b＜a，则a变为16﹣12=4， 由a＜b，则，b=12﹣4=8， 由a＜b，则，b=8﹣4=4，
由a=b=4， 则输出的a=4． 故选：C．
3．根据如下样本数据得到的回归方程为位，y就（ ） x y 3 4 4 2.5 5 ﹣0.5 6 0.5 7 ﹣2 =
x+
，若
=4.5，则x每增加1个单
A．增加0.9个单位 B．减少0.9个单位 C．增加0.72个单位 D．减少0.72个单位 【考点】BK：线性回归方程． 【分析】根据题意计算
、
，利用回归方程过样本中心点求出回归系数
，即可得出x
每增加1个单位y的变化量． 【解答】解：根据题意，计算=
=
×（3+4+5+6+7）=5，
×（4+2.5﹣0.5+0.5﹣2）=0.9；
且
+4.5， =﹣0.72， =﹣0.72x+4.5，
，过样本中心点（5，0.9），
回归方程∴0.9=5解得即
∴x每增加1个单位，y就减少0.72个单位． 故选：D．
4．过点P（1，﹣2）的直线l与圆C：（x﹣2）+（y+3）=9交于A，B两点，当∠ACB最小时，直线l的方程为（ ） A．x﹣y﹣3=0
B．x+y+1=0 C．2x+y=0 D．2x﹣y﹣4=0
2
2
【考点】J8：直线与圆相交的性质．
【分析】利用当∠ACB最小时，CP和AB垂直，求出AB直线的斜率，用点斜式求得直线l的
方程．
【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y+3）2=9的圆心为C（2，﹣3）， 当∠ACB最小时，CP和AB垂直，∴AB直线的斜率等于
用点斜式写出直线l的方程为y+2=﹣（x﹣1），即x﹣y﹣3=0， 故选：A．
5．现有1名男同学和2名女同学参加演讲比赛，共有2道演讲备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行演讲，以下说法不正确的是（ ） A．三人都抽到同一题的概率为
=﹣1，
B．只有两名女同学抽到同一题的概率为
C．其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为D．至少有两名同学抽到同一题的概率为【考点】2K：命题的真假判断与应用．
【分析】由题意列出所有的抽取情况，然后逐一求出四个选项的概率得答案．
【解答】解：设两道题分别为A，B题，抽取情况共有：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1个表示男同学抽取的题目，第2个第三个分别是两个女同学抽取的题目，一共有8种；
三人都抽到同一题的事件为：AAA，BBB，概率为
，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
只有两名女同学抽到同一题的事件为：ABB，BAA，概率为
其中恰有一男一女抽到同一道题的事件为：AAB，ABA，BAB，BBA，概率为至少有两名同学抽到同一题的事件为必然事件，概率为1，故D错误． 故选：D．
6．P为双曲线
右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，且
，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆半径为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得a的值，设△APF1的内切圆半径为r，由直角三角形的性质分析可得|PF1|+|PA|﹣|AF1|=2r，由双曲线的几何性质分析|AF2|﹣|AF1|=2r﹣6，由图形的对称性知2r﹣6=0，即可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线的方程，其中a=
=3，
设△APF1的内切圆半径为r，∵PF1⊥PF2， ∴|PF1|+|PA|﹣|AF1|=2r， ∴|PF2|+2a+|PA|﹣|AF1|=2r， ∴|AF2|﹣|AF1|=2r﹣6，
∵由图形的对称性知：|AF2|=|AF1|， 即2r﹣6=0，解可得r=3， 故选：B．
7．如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（
A．k≤10 B．k≤16 C．k≤22 D．k≤34
）
【考点】EF：程序框图．
【分析】由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次．运行5次后，k值变为33，即可得答案． 【解答】解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题， 第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值， 以后所乘的数依次为3，5，9，17，
2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33， 故判断框中应填k＜33，或者k≤22． 故选C．
8．已知P是ABC所在平面内一点，
+
+
=
，现将一粒黄豆随机撒在ABC
内，则黄豆落在PBC内的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】CF：几何概型．
【分析】根据平面向量的运算性质得出P在AD上的位置，从而得出两三角形的面积比，得出几何概型的概率．
【解答】解：取BC的中点D，连结PD，则∵∴2
+=﹣
+
=，即
，∴=﹣AD，
=﹣，
=2
， ，
∴A，P，D三点共线，PD=
∴=，
∴黄豆落在PBC内的概率为故选A．
．
9．给出如下命题，其中所有正确命题的序号是（ ） ①将八进制数326（8）化为五进制数为1324（5）；
②用秦九韶算法求多项式f（x）=7x+4x+3x+2x+x，当x=3时的值．记v0=7，则v2=63； ③简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三者的共同特点是抽样过程中每个个体被抽到的机会均等；
④某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=72； ⑤某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为12． A．①③⑤ B．③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【考点】2K：命题的真假判断与应用． 【分析】逐个分析各命题正误，得出结论．
【解答】解：（1）将八进制数326（8）化为十进制数为3×82+2×8+6=214， 将五进制数为1324（5）化为十进制数为1×5+3×5+2×5+4=214， 故①正确；
（2）f（x）=（（（（（（7x+0）x+0）x+4）x+3）x+2）x+1）x+0， 当x=3时，V0=7，V1=7×3+0=21，V2=21×3+0=63， 故②正确；
（3）由简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的特点可知每个个体被抽到的机会均等，故③正确；
（4）由分层抽样原理可知
（5）由系统抽样原理可知共分成42组，每组有
，解得n=72，故④正确；
=20人，每组选取1个人，
3
2
7
4
3
2
而编号落在区间的共有故选D．
=12组，故抽取12人，故⑤正确．
10．已知抛物线C：y=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若
A．35 B．
，则|QF|=（ ） C．20 D．3
2
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】抛物线C：y2=8x的焦点为F（2，0），设P（﹣2，t），Q（x，y）．利用
2
2
，
可得（﹣4）（﹣4，t）=4（x﹣2，y），解得（x，y），代入y=8x可得t=128，再利用两点之间的距离公式即可得出．
【解答】解：抛物线C：y=8x的焦点为F（2，0），设P（﹣2，t），Q（x，y）． ∵解得
，可得（﹣4）•（﹣4，t）=（x﹣2，y），
=18+2=20
2
由抛物线的定义知|QF|=x+故选：C
11．直线y=x+b与曲线（θ为参数，且﹣≤θ≤）有
两个不同的交点，则实数b的取值范围是（ ） A．（﹣
D．（﹣
，，﹣1]
）
B．（﹣
，﹣
] C．（﹣
，
）
【考点】QH：参数方程化成普通方程．
【分析】由题意求出曲线的普通方程，结合直线与曲线的图形，求出满足题意的b的范围即可．
【解答】解：曲线（θ为参数，且﹣≤θ≤），化为：
x+y=
22
（x≥0），表示以原点为圆心，为半径的右半圆，
直线y=x+b与（θ为参数，且﹣≤θ≤）有两个不同
的交点， 过（0，﹣
）时，b=﹣
；直线与半圆相切时，b=﹣
，﹣
]．
所以实数b的取值范围是（﹣故选B．
12．已知两定点A（﹣3，0）和B（3，0），动点P（x，y）在直线l：y=﹣x+5上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】求出A的对称点的坐标，然后求解椭圆长轴长的最小值，然后求解离心率即可． 【解答】解：A（﹣3，0）关于直线l：y=﹣x+5的对称点为A′（5，8），连接A′B交直线l于点P，
则椭圆C的长轴长的最小值为|A′B|=2
，
所以椭圆C的离心率的最大值为：故选：A．
==．
二、填空题
13．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于
．
【考点】MI：直线与平面所成的角．
【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知，取A1C1的中点D1，∠B1AD1是所求的角，再由已知求出正弦值．
【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1， 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1， 则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，
∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等， ∴sin∠B1AD1=
=
=
，
故答案为：
．
14．过点A（﹣3，0）作直线l与圆x2+y2﹣6y﹣16=0交于M，N两点，若|MN|=8，则l的方程为 x=﹣3或y=0 ．
【考点】J8：直线与圆相交的性质．
【分析】先求出圆心和半径，由弦长公式求出圆心到直线的距离为d的值，检验直线l的斜率不存在时，满足条件；
当直线l的斜率存在时，k=0，方程为y=0，满足条件． 【解答】解：圆x+y﹣6y﹣16=0，即x+（y﹣3）=25， ∴圆心（0，3），半径等于5，设圆心到直线的距离为d， 由弦长公式得8=2
m∴d=3．
2
2
2
2
当直线l的斜率不存在时，方程为x=﹣3，满足条件． 当直线l的斜率存在时，k=0，方程为y=0，满足条件． 综上，满足条件的直线L的方程为x=﹣3或y=0， 故答案为x=﹣3或y=0．
15．已知椭圆C：，点A，B，F分别为椭圆C
的左顶点、上顶点、左焦点，若∠AFB=∠BAF+90°，则椭圆C的离心率是 【考点】K4：椭圆的简单性质．
．
【分析】由题意画出图形，结合已知可得a，b，c的关系，进一步结合隐含条件可得关于离心率e的方程求解． 【解答】解：如图，tan∠BAF=∵∠AFB=∠BAF+90°，
∴∠BFO=180°﹣∠AFB=90°﹣∠BAF， 即tan∠BFO=∴
2
，tan∠BFO=，
，
，
=，则b2=a2﹣c2=ac，由e=
∴e+e﹣1=0，由0＜e＜1， 解得：e=故答案为：
， ．
16．给出如下命题： ①“m∈（﹣1，2）”是“方程
为椭圆方程”的充要条件；
②命题“若动点P到两定点F1（﹣4，0），F2（4，0）的距离之差的绝对值为8，则动点P的轨迹为双曲线”的逆否命题为真命题； ③若p∧q为假命题，则p，q都是假命题；
④已知条件p：{x|x＜﹣3，或x＞1}，q：x＞a．若¬p是¬q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是a≥1；
其中所有正确命题的序号是 ④ ． 【考点】2K：命题的真假判断与应用． 【分析】在①中，“m∈（﹣1，2）”是“方程充分不必要条件；
在②中，原命题是假命题，从而它的逆否命题为假命题； 在③中，若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个是假命题； 在④中，﹣3≤x≤1⇒x≤a，且由x≤a推不出﹣3≤x≤1，从而a≥1． 【解答】解：在①中，∵m∈（﹣1，2），∴0＜m+1＜3，﹣3＜m﹣2＜0， 当m=
时，m+1=
，m﹣2=﹣
，方程
为圆；
为椭圆方程”的不
若为椭圆，则，即﹣1＜m＜2且
m．
∴“m∈（﹣1，2）”是“方程故①错误；
为椭圆方程”的不充分不必要条件，
在②中，若动点P到两定点F1（﹣4，0），F2（4，0）的距离之差的绝对值为8， 则动点P的轨迹为两条射线，
故命题“若动点P到两定点F1（﹣4，0），F2（4，0）的距离之差的绝对值为8，则动点P的轨迹为双曲线”是假命题，
所以它的逆否命题为假命题，故②错误；
在③中，若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个是假命题，故③错误；
在④中，∵条件p：{x|x＜﹣3，或x＞1}，q：x＞a．若¬p是¬q的充分不必要条件， ∴﹣3≤x≤1⇒x≤a，且由x≤a推不出﹣3≤x≤1，∴a≥1．故④正确． 故答案为：④． 三、解答题
17．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy，若将曲线C向左平移1个单位长度后就得到了曲线C1，再将曲线C1上每一点的横坐标伸长为原来的直线l：x﹣y﹣6=0．
（1）求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值；
（2）过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1交C2于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（1）化极坐标方程为 普通方程，利用点到直线的距离公式求出曲线C1上的点到直线l的距离的最大值；
（2）求出曲线C2的直角坐标方程，直线的参数方程，代入x2+3y2=3化简得：
倍，纵坐标保持不变就得到了曲线C2，已知
，利用参数的几何意义，求解点M到A，B两点的距离之积．
【解答】解：（1）曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）+y=1，
曲线C1的直角坐标方程为x+y=1，则曲线C1上的点到直线l的距离的最大值
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）设曲线C2上任意一点的坐标为（x′，y′），曲线C1上任意一点的坐标为（x，y），
2
2
2
2
由题意可得伸缩变换为，解得，
代入曲线C1的直角坐标方程为x+y=1，可得曲线C2的直角坐标方程为即x2+3y2=3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
22
，
直线l1的参数方程为（t为参数），
代入x2+3y2=3化简得：，得t1t2=﹣1，
∴|MA|•|MB|=|t1t2|=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
18．某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各等制划分标准如表所示： 分数 等级 A等 [70，85） [60，70） [0，60） B等 C等 D等 同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取100名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据茎叶图如图2所示．
（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；
（2）在乙校的样本中，从成绩等级为C的学生中随机抽取2名学生，从成绩等级为D的学生中随机抽取1名学生进行调研，求抽出的3名学生中恰有1名学生成绩在65分以上的概率． 【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）由频率分布直方图的性质，能出x，从而能求出甲学校的合格率和乙学校的合格率．
（2）将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生分别记为C1，C2，C3，C4，D1，D2（其中C3，C4代表成绩在65分以上的2名同学），利用列举法能求出抽出的3名学生中恰有1名学生成绩在65分以上的概率． 【解答】
解：（1）由题意，可知10×（x+0.012+0.056+0.018+0.010）=1，∴x=0.004 ∴甲学校的合格率为1﹣10×0.004=0.96，而乙学校的合格率为﹣﹣﹣
（2）将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生分别记为C1，C2，C3，C4，D1，D2（其中C3，C4 代表成绩在6以上的2名同学），则由题意抽取3名学生的基本事件有：
{C1，C2，D1}，{C1，C2，D2}，{C1，C3，D1}，{C1，C3，D2}，{C1，C4，D1}，{C1，C4，D2}， {C2，C3，D1}，{C2，C3，D2}，{C2，C4，D1}，{C2，C4，D1}，{C3，C4，D1}，{C3，C4，D2}，
共12个，
其中“至少有一名学生成绩在6以上”包含：
{C1，C3，D1}，{C1，C3，D2}，{C1，C4，D1}，{C1，C4，D2}，{C2，C3，D1}，{C2，C3，D2}，{C2，C4，D1}，{C2，C4，D2}， 共8个基本事件．
∴抽出的3名学生中恰有1名学生成绩在6以上的概率为
19．在某校趣味运动会的颁奖仪式上，为了活跃气氛，大会组委会决定在颁奖过程中进行抽奖活动，用分层抽样的方法从参加颁奖仪式的高一、高二、高三代表队中抽取20人前排就座，其中高二代表队有5人．
（1）把在前排就座的高二代表队5人分别记为a，b，c，d，e，现从中随机抽取3人上台抽奖，求a和b至少有一人上台抽奖的概率；
（2）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个之间的随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该代表中奖的概率．
﹣﹣
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）由题意得，从高二代表队5人中随机抽取3人的所有基本事件，确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率；
（2）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由
得到的区域为图中
的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．
【解答】解：（1）由题意得，从高二代表队5人中随机抽取3人的所有基本事件有{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，c，d}，{a，c，e}，{a，d，e}，{b，c，d}，{b，c，e}，{b，d，e}，共10种，
设“高二代表队中a和b至少有一人上台抽奖”为事件A，
则事件A的基本事件有{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，c，d}，{a，c，e}，{a，d，e}，{b，c，d}，{b，c，e}，{b，d，e}，{c，d，e}共9种，所以P（A）=（2）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内， 由
得到的区域如图中阴影部分所示．
．﹣﹣﹣﹣
所以阴影部分的面积为×（+）×1=．设“该代表中奖”为事件B，
则P（B）
=
=．﹣﹣﹣﹣
20．三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC是等边三角形，BC的中点为O，A1O⊥底面ABC，AA1与底面ABC所成的角为
，点D在棱AA1上，且AD=
，AB=4．
（1）求证：OD⊥平面BB1C1C；
（2）求二面角B﹣B1C﹣A1的平面角的余弦值．
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）连接AO，说明BC，推出OD⊥平面BB1C1C．
（2）以O为原点，分别以OA，OB，OA1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面BB1C1C的一个法向量，平面A1B1C的法向量，通过向量的数量积求解二面角B﹣B1C﹣A1的平面角的余弦角值．
【解答】解：（1）连接AO，∵A1O⊥底面ABC，AO，BC⊂底面ABC， ∴BC⊥A1O，A1O⊥AO，且AA1与底面ABC所成的角为∠A1AO，即在等边△ABC中，易求得在
△
AOD
中
，
． 由
余
弦
定
理，
∴OD+AD=12=OA，即OD⊥AA1．
又∵AA1∥BB1，∴OD⊥BB1．∵AB=AC，OB=OC，∴AO⊥BC， 又∵BC⊥A1O，AO∩A1O=O，∴BC⊥平面AA1O， 又∵OD⊂平面AA1O，∴OD⊥BC，又BC∩BB1=B， ∴OD⊥平面BB1C1C．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）如下图所示，以O为原点，分别以OA，OB，OA1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
2
2
2
．证明OD⊥AA1．OD⊥BB1，证明OD⊥
．
，得
则
故
由（1）可知
∴平面BB1C1C的一个法向量是
，∴可得点D的坐标为
．
，
设平面A1B1C的法向量，由得
令
，
∴
角为钝二面角，
∴二面角B﹣B1C﹣A1的平面角的余弦角值是
21．已知抛物线（1）若
，则y=3，z=﹣1，则
易知所求的二面
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
，求直线AB的斜率；
（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值． 【考点】KN：直线与抛物线的位置关系． 【分析】（1）设直线
，将直线AB与抛物线联立，设A（x1，y1），
B（x2，y2），由韦达定理业绩向量关系，求解直线的斜率即可．
（2）利用三角形的面积公式以及弦长公式，结合二次函数的性质求解函数的最小值即可． 【解答】解：（1）依题意可设直线
，
将直线AB与抛物线联立⇒9y2﹣6my﹣1=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得
∵∴斜率为（
或
，
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2
，
）
当m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值为
22．椭圆C：
+
=1（a＞b＞0），作直线l交椭圆于P，Q两点，M为线段PQ的中
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
点，O为坐标原点，设直线l的斜率为k1，直线OM的斜率为k2，k1k2=﹣（1）求椭圆C的离心率； （2）设直线l与x轴交于点D（﹣求椭圆C的方程．
【考点】K4：椭圆的简单性质．
，0），且满足
=2
．
，当△OPQ的面积最大时，
【分析】（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程，作差，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，即可得到b2=
2
a2，运用离心率公式可得所求；
2
2
（2）椭圆C的方程为：2x+3y=6c，设直线l的方程为：，代入椭圆方
程，运用韦达定理，再由向量共线的坐标表示，求得三角形的面积，化简运用基本不等式可得最大值，即可得到所求椭圆方程．
【解答】解：（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 代入椭圆C的方程有：
，
两式相减：，
即
，
直线l的斜率为k1，直线OM的斜率为k2， 可得k1=
，k2=
，
即有，
即b2=a2，c2=a2﹣b2=a2， 可得
；
（2）由（1）知
，得a2=3c2，b2=2c2，
可设椭圆C的方程为：2x2
+3y2
=6c2
， 设直线l的方程为：，
代入椭圆C的方程有
因为直线l与椭圆C相交，所以△=48m2
﹣4（2m2
+3）（6﹣6c2
）＞0， 由韦达定理：
，
又，所以y1=﹣2y2，代入上述两式有：
，
，
．=，
当且仅当时，等号成立，此时c2=5，代入△，有△＞0成立，
所以所求椭圆C的方程为：
．
2017年6月6日
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