物理第三期第19天试题解析

【题目】

（1）一半顶角为的倒立圆锥面，内表面光滑，如图所示。内表面上一质点绕对称轴作半径为r的匀速圆周运动。求质点的速率。

（2）若此圆锥面以恒定角速度。绕对称轴旋转。在内表面光滑条件下，要使质点在离轴距离r处随锥面一起转动，求的大小。

（3）接（2），若质点与锥面间摩擦系数为，为使质点相对旋转锥面静止，求的最大值。

（4）接（2），若质点与锥面间摩擦系数为，为使质点相对旋转锥面静止，求的最小值。

【难度】 1

【问难度】 （1）0 （2）0 （3）1 （4）1 【分析】

（1）作受力分析，由牛顿第二定律容易得到；（2）与（1）类似；（3）（4）最大静摩擦力沿锥面向下（上）分别对应最大（小）角速度，列牛二定律方程容易求解。 【解答】 （1）tangrgrvgrcot ∴

tanv2vgcotrr （3）（4）最大静摩擦力沿锥面向下（上）分别对应最大（小）角速度，分别列牛二定律方程为：

（2）NsinNcosmg,2 NcosNsinmmaxr,及

NsinNcosmg, 2NcosNsinmr,min于是

max若tan，则max；

gcot，

r1cotmin若cot，则min0

gcot，

r1cot【答案】

（1）grcot （2）gcot r（3）gcot

r1cotgcot r1cot（4）

3-27

【题目】

质量分别为m1和m2的两个小球，分别系于一根细绳中的一点和一端，细绳的另一端悬挂于固定处（如图所示）。已知上、下两段绳的长度分别为a和b。开始时，两球静止，细绳处于竖直位置。现给小球m1一打击，使它突然在水平方向获得一速度。设小球获得速度后瞬时，绳仍处在竖直位置。试求小球m1获得速度前后瞬时，上、下两段绳子张力改变量的比值k。

【难度】

1

【分析】

设小球获得速度为v，上面绳子在小球获得速度前后的张力分别为T1和T1，相应地，下面绳子的张力为T2和T2。T1和T2易求，m1的加速度也可直接写出。对m1列牛二定律方程得到关于T1和T2的一个方程。取m1为参照系，对m2可列出另一个牛二定律方程。联立即得答案。 【解答】

设小球获得速度为v，上面绳子在小球获得速度前后的张力分别为T1和T1，相应地，下面绳子的张力为T2和T2。显然

T1(m1m2)g，T2m2g

v2设m1获得速度为v，则加速度为。

a取m1为参照系，对m2有

v2v2T2'm2gm2m2，

bav2其中m2为惯性力。

a于是

v2v2T1'(m1m2)g(m1m2)m2。

ab所以

T1v2(m2m1m2ab)，T2v2m2 baaabTT'Tbm1。 k1111T2T2'T2(ab)m2【答案】

1

bm1

(ab)m23-28

【题目】

长2b的轻绳两端各系一质量为m的小球，系一质量为M的小球。三球均静止于光滑水平桌面上，绳处于拉直状态。今给小球M以一冲击，使它获得水平速度v,v的方向与绳垂直，如图。求：在两端的小球发生互碰前瞬间绳中的张力。

【难度】 2

【分析】

小球m互碰前的速度包含沿绳子的分量和垂直绳子的分量，前者与小球M的速度相同。由动量守恒和动能守恒可求得这两个速度分量。进而由牛二定律可求得绳子的张力。 【解答】

沿绳子方向M与m速度相等，设为vn，由动量守恒和动能守恒

Mv(M2m)vn,11212 122MvMvn2mvn2mvt,2222解得

MMv,? vtv,M2mM2m

设绳子拉力为T，以M为参照系，绳子拉力T加上惯性力2mT/M提供了m的向心力

vnmvt2/b，即

vt22mTTm,

Mb解得

M2mv2T.

(M2m)2b【答案】 M2mv2

(M2m)2b 3-29

【题目】

如图所示，不可伸长的柔软细绳穿过光滑的、不动的竖直放置细管，两端分别拴着质量为m和M的小球。当小球m绕管子的几何轴转动时，m到管口的绳长为l，l与竖直的细管夹角为。细管半径可以忽略。求： （1）小球的速度；

（2）小球所受的向心力； （3）cos；

（4）小球的转动周期T。

【难度】 1

【问难度】 （1）1 （2）1 （3）1 （4）1 【分析】

稳定时绳子张力等于小球M的重力，其在小球m这端的水平分量提供了m作圆周运动的向心力，用牛二定律可很容易求得问题中的物理量。 【解答】

θθFlmM

小球作圆周运动的向心力

v2Frmgtanm，

lsin所以

vglsintan。

绳子张力TMgmg cos

所以cos于是有

m MM2m2vgl

mMFrM2m2g

T22lsinllm2cos2 vggM

【答案】

M2m2gl（1）mM （2）Mmg（3）

m M22

（4）2

lm gM3-30

【题目】

有两个相同的摆，把一个拴在另一个的下面，使它们各在一个平面内作匀速圆周运动。设两条摆线与竖直线所成的夹角都很小。已知在运动过程中两条摆线一直保持在同一个竖直平面内，求：

（1）若两个摆球在竖直方向对侧，求此平面转动的角速度； （2）此时求两质点轨道半径之比。

（3）若两个摆球在竖直方向同侧，求此平面转动的角速度； （4）此时求两质点轨道半径之比。 【难度】 1

【问难度】 （1）1 （2）1 （3）1 （4）1

【分析】 【解答】

设第一个单摆和竖直方向的夹角为1，第二个单摆和竖直方向的夹角为2， 2和1可能在竖直方向的同一边，也可能在两边，如图所示。 根据两摆在竖直方向的受力平衡和水平方向的圆周运动， 对第一种情况有

T12mg,Tmg,2 2TTml,111222T22ml(12),由此可得

22对第二种情况有

gr11,0.414. lr212T12mg,Tmg,22 TTml,112212T22ml(21),由此可得

22【答案】 （1）22（2）2.414 （3）22（4）0.414

gr1,lr212.414. 21gl g l3-31

【题目】

一根绳的一端系于A点，绳上距A端距离为a处系一质量为m的质点B，绳的另一端通过固定的C点的滑轮，A、C位于同一水平线上。某人握住绳的自由端以恒定速率v收绳，当绳收至图所示位置时，质点B两边的绳与水平线夹角分别为和，求这时人收绳的力。忽略绳与滑轮的质量，以及滑轮轴承处的摩擦。

【难度】 2

【分析】

由左边绳子ABa长度不变，可知B的速度vB方向垂直AB，由人拉绳的速度可得vB的大小。于是，由vB垂直绳子AB的分量（也即vB本身）可得其沿AB的加速度（即法向加速度），并有相应的牛二定律方程；由vB垂直绳子BC的分量可得其沿BC的加速度，并有相应的牛二定律方程（vB沿绳子BC的分量即为v，大小不变，所以该分量不带来沿BC的加速度）。联立可求得拉力大小。 【解答】

垂直AB方向和绳子BC方向的夹角为

22

由左边绳子ABa长度不变，可知质点B的速度vB方向垂直AB，由人拉绳的速度v可得

vB其垂直绳子BC的分量为

vv， cos(/2)sin(+)vtan()

vBCvBsin(/2)=vBcos()考虑沿AB的法向加速度有相应的牛二定律方程

2vBTmgsinFcos()m

a其中T为绳子AB的拉力，F为绳子BC的拉力也即人拉绳子的力。

考虑沿BC的法向加速度有相应的牛二定律方程（vB沿绳子BC的分量即为v，大小不变，所以该分量不带来沿BC的加速度）

2vBCFmgsinTcos()m

c消去T解得：

22vBCvBFmgsinmgsincos()Fcos()mcos()m

acca利用正弦定理sinsin

2v2cos()cos2()sinmg[sinsincos()]m(2)asin()sin2()sinFsin2()sin]2cos()[1cos()mgcosvsinmsin()asin4()

2mgcosvcos()cosmsin()asin3()sin【答案】

mgcosv2cos()cos msin()asin3()sin 3-32

【题目】

有两条在同一水平面内的传送带，传送带1和2的传送速度分别为v1和v2，传送方向相互垂直。传送带2的宽度为l。如图所示。设v2v0时，物体被送入传送带2后，将停于离传送

1带2右边缘l处，而后被传送。问v2该调整到多大速度值时，由传送带1送入的物体可以

31停在传送带中间（l处）被传送？

2

【难度】 1

【分析】

摩擦力和物体相对传送带2的速度相反，于是摩擦力在横向和纵向的分量与相对速度在横向和纵向的分量成正比。考虑摩擦力和速度的横向分量即可得到该方向的加速度进而列出运动学方程，解此方程即得答案。 【解答】

v2v0时，摩擦力的横向分量为mgv1vv2021，

于是

lv12 v132g2v0v121若要使物体可停在传送带中间（l处），则有

2lv12v122g 2v2v12两式相除得

2v0v122 223v2v1解得

v212 5v129v02【答案】

12 5v129v02

3-34

【题目】

质量为M、长度为d的均匀细棒AC，放在旋转圆盘ED上，如图所示，盘的旋转角速度为。棒AC的轴和盘的半径方向相重合。棒的A端连着一根拴有小锤的绳子，质量m的小锤正好悬在盘的旋转轴O上，棒和盘之间的摩擦系数为。若要求此棒不沿盘的半径移动。求棒的A端距转动轴O的 （1）最大距离； （2）最小距离。

【难度】 1

【问难度】 （1）1 （2）1 【分析】

棒所需的向心力由摩擦力和小锤重力导致的绳子张力共同提供，最大静摩擦力和绳子张力同向时对应最大距离，反向时对应最小距离。 【解答】

棒所需的向心力为

MM22rdM22dFrdrr|r(d2rd)M2(r)

rd2d2d2此向心力由绳子张力和圆盘对它的静摩擦力共同提供，于是

mgMgFmgMg

即

rd2mggdmggd2r2 22M2M2另有r0（这要求

mggd2(mgMg)即），于是 0MdM222max(0,mggdmggd)r 2222M2M2【答案】 （1）

mggd2 2M2mggd} M222（2）max{0,