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引 言

一、 必然现象与随机现象

在自然界和人的实践活动中经常遇到各种各样的现象，这些现象大体可分为

两类：一类是确定的，例如“在一个标准大气压下，纯水加热到100C时必然

沸腾。”“向上抛一块石头必然下落。”，“同性电荷相斥，异性电荷相吸。”等等，这种在一定条件下有确定结果的现象称为必然现象（确定性现象）；

另一类现象是随机的，例如：在相同的条件下，向上抛一枚质地均匀的硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，不论如何控制抛掷条件，在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么，这个试验多于一种可能结果，但是在试验之前不能肯定试验会出现哪一个结果。同样地同一门大炮对同一目标进行多次射击（同一型号的炮弹），各次弹着点可能不尽相同，并且每次射击之前无法肯定弹着点的确切位臵，以上所举的现象都具有随机性，即在一定条件下进行试验或观察会出现不同的结果（也就是说，多于一种可能的试验结果），而且在每次试验之前都无法预言会出现哪一个结果(不能肯定试验会出现哪一个结果），这种现象称为随机现象。 再看两个试验：

试验Ⅰ：一盒中有十个完全相同的白球，搅匀后从中摸出一球；

试验Ⅱ：一盒中有十个相同的球，其中5个白球，5个黑球，搅匀后从中任意摸取一球。

对于试验Ⅰ 而言，在球没有取出之前，我们就能确定取出的球必是白球，也就是说在试验之前就能判定它只有一个确定的结果这种现象就是必然现象（必然现象）。

对于试验Ⅱ来说，在球没有取出之前，不能确定试验的结果（取出的球）是白球还是黑球，也就是说一次试验的结果（取出的球）出现白球还是黑球，在试验之前无法肯定。对于这一类试验而言，骤然一看，似乎没有什么规律而言，但是实践告诉我们，如果我们从盒子中反复多次取球（每次取一球，记录球的颜色后仍把球放回盒子中搅匀），那么总可以观察到这样的事实，当试验次数n相当

n黑大时，出现白球的次数n白和出现黑球的次数n黑是很接近的，比值n（或n）

1会逐渐稳定于2，出现这个事实是完全可以理解的，因为盒子中的黑球数与白球

n白数相等，从中任意摸一球取得白球或黑球的“机会”相等。

试验Ⅱ所代表的类型，它有多于一种可能的结果，但在试验之前不能确定试验会出现哪一种结果，这类试验所代表的现象成为随机现象，对于试验而言，一次试验看不出什么规律，但是“大数次”地重复这个试验，试验的结果又遵循某些规律，这些规律称之为“统计规律”。在客观世界中，随机现象是极为普遍的，例如“某地区的年降雨量”，“某电话交换台在单位时间内收到的用户的呼唤次数”，“一年全省的经济总量”等等。

二、 随机试验

上面对随机试验做了描述性定义，下面进一步明确它的含义，一个试验如果满足下述条件：

（1）试验可以在相同的条件下重复进行；

（2）试验的所有可能结果是明确的，可知道的（在试验之前就可以知道的）

并且不止一个；

（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却

不能肯定这次试验出现哪一个结果。

称这样的试验是一个随机试验，为方便起见，也简称为试验，今后讨论的试验都是指随机试验。

三、 概率论与数理统计的研究对象

概率论是从数量侧面研究随机现象及其统计规律性的数学学科，它的理论严谨，应用广泛，并且有独特的概念和方法，同时与其它数学分支有着密切的联系它是近代数学的重要组成部分。

数理统计是对随机现象统计规律归纳的研究，就是利用概率论的结果，深入研究统计资料，观察这些随机现象并发现其内在的规律性，进而作出一定精确程度的判断，将这些研究结果加以归纳整理，形成一定的数学模型虽然概率论与数理统计在方法上如此不同，但做为一门学科，它们却相互渗透，互相联系。

概率论与数理统计这门学科的应用相当广泛，不仅在天文、气象、水文、

地质、物理、化学、生物、医学等学科有其应用，且在农业、工业、商业、军事、电讯等部门也有广泛的应用。

四、 概率论与数理统计发展简史

概率论被称为“赌博起家”的理论。

概率论产生于十七世纪中叶，是一门比较古老的数学学科，有趣的是：尽管任何一门的数学分支的产生与发展都不外乎是生产、科学或数学自身发展的推动，然而概率论的产生，却起始于对赌博的研究，当时两个赌徒约定赌若干局，并且谁先赢c局便是赢家，若一个赌徒赢a局(a1657年惠更斯也给出了一个与他们类似的解法。

在他们之后，对于研究这种随机（或称偶然）现象规律的概率论做出了贡献的是贝努里家族的几位成员，雅科布给出了赌徒输光问题的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理（贝努里定理）这是研究偶然事件的古典概率论中极其重要的结果，它表明在大量观察中，事件的频率与概率是极其接近的，历史上第一个发表有关概率论论文的人是贝努里，他于1713年发表了一篇关于极限定理的论文，概率论产生后的很长一段时间内都是将古典概型作为概率来研究的，直到1812年拉普拉斯在他的著作《分析概率论》中给出概率明确的定义，并且还建立了观察误差理论和最小二乘法估计法，从这时开始对概率的研究，实现了从古典概率论向近代概率论的转变。

概率论在二十世纪再度迅速发展起来，则是由于科学技术发展迫切地需要研究有关一个或多个连续变化着的参变量的随机变数理论即随机过程论，1906年俄国数学家马尔可夫（1856-1922）提出了所谓“马尔可夫链”的数学模型对发展这一理论做出贡献的还有柯尔莫哥洛夫（俄国）、费勒（美国）；1934年俄国数学家辛钦又提出了一种在时间中均匀进行着的平稳过程的理论。随机过程理论在科学技术有着重要的应用，开始建立了马尔可夫过程与随机微分方程之间的联系。

1960年，卡尔门（1930—英国）建立了数字滤波论，进一步发展了随机过程在制导系统中的应用。概率论的公理化体系是柯尔莫哥洛夫1933年在集合论

与测度论的基础上建立起来的，从而使概率论有了严格的理论基础。

我国的概率论研究起步较晚，从1957年开始，先驱者是许宝马录先生。1957年暑期许老师在北大举办了一个概率统计的讲习班，从此，我国对概率统计的研究有了较大的发展，现在概率与数理统计是数学系各专业的必修课之一，也是工科，经济类学科学生的公共课，许多高校都成立了统计学（特别是财经类高校）。今年来，我国科学家对概率统计也取得了较大的成果。

五、学习概率论与数理统计的方法

概率论与数理统计是一门处理随机现象的学科，初学者对概率论与数理统计的基本概念感到很抽象，基本方法难以掌握，习题难做。但是只要讲究学习方法，勤奋努力，不利因素就会转化为有利因素，概率论与数理统计之难恰好能培养大家分析问题和解决问题的能力，总之： 1、深刻理解，牢固掌握基本概念。 2、多做练习，很抓解题基本功。

六、主要参考书目：

1、复旦大学编 概率论 第一分册 概率论 第二分册 数理统计 （两册） 2、中山大学 梁之瞬 邓集贤 概率论与数理统计（上下册） 3、南开大学 周概容 概率论与数理统计 4、浙江大学 概率论与数理统计

第一章 事件与概率

本章是概率论部分的基本概念和基本知识，是学习以后各章所必不可少的。

一、 教学目的与要求

1、理解事件的概念，熟练掌握事件的运算法则，事件间的各种关系；

2、掌握概率的几种定义，熟悉并会用概率性质进行概率的有关计算；

3、掌握条件概率的定义，并能应用有关条件概率的公式（乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式）计算概率；

4、掌握几种概型（古典概型、几何概型、贝努里概型）概率的计算；

5、理解事件独立性的概念，并会用独立性的性质进行概率的计算。 二、 教学重点与难点

重点是各种类型概率的计算； 难点是有关事件概率的计算。

§1.1 随机事件与样本空间

随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。 一、 基本事件与样本空间

对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。例如掷一枚硬币，我们关心的是出现正面还是出现反面这两个可能结果。若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。 1、 基本事件

通常，据我们研究的目的，将随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件。因为随机事件的所有可能结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反面”，“出现正面”是两个基本事件，又如在掷骰子试验中“出现一点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。 2、 样本空间

基本事件的全体，称为样本空间。也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常用大写的希腊字母表示，中的点即是基本事件，也称为样本点，常用表示，有时也用A,B,C等表示。

在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第一步。

例1、 一盒中有十个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取一球，

i， i1,2,3……10 观察其标号，令i取得球的标号为1,2,3,,10, i标号为i,i1,2,,10 则 1,2,,10为基本事件（样本点）

例2 在研究英文字母使用状况时，通常选用这样的样本空间：

空格，A,B,C,X,Y,Z 例 1 ， 例 2讨论的样本空间只有有限个样本点，是比较简单的样本空间。 例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果一定是非负整数而且很难制定一个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为0,1,2, 这样的样本空间含有无穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，

称它为可列样本空间。

例4讨论某地区的气温时，自然把样本空间取为 ,或a,b。

这样的样本空间含有无穷个样本点，它充满一个区间，称它为无穷样本空间。 从这些例子可以看出，随着问题的不同，样本空间可以相当简单，也可以相当复杂，在今后的讨论中，都认为样本空间是预先给出定的，当然对于一个实际问题或一个随机现象，考虑问题的角度不同，样本空间也可能选择得不同。

1,2,3，4，5，6；例如：掷骰子这个随机试验，若考虑出现的点数，则样本空间。 若考虑的是出现奇数点还是出现偶数点，则样本空间奇数、偶数由此说明，同一个随机试验可以有不同的样本空间。

在实际问题中，选择恰当的样本空间来研究随机现象是概率中值得研究的问题。

二、 随机事件

1,2,3，,10下面研究这些问题。 再看例1样本空间 ， c球的标号不大于3 ， B球的标号为偶数5 A球的标号为其中A为一个基本事件，而B与C则由基本事件所组成。

例如：B 发生（出现）必须而且只须下列样本点之一发生2、4、6、8、10， 它由五个基本事件组成。

同样地，C发生必须而且只须下列样本点之一发生1、2、3、4、5。 无论基本事件还是复杂事件，它们在试验中发生与否，都带有随机性，所以叫做随机事件或简称为事件，习惯上用大写英文字母A,B,C 等表示，在试验中如果出现A中包含了某一个基本事件，则称作A发生，并记作A。

我们知道，样本空间包含了全体基本事件，而随机事件不过是由某些特征的基本事件组成的，从集合论的角度来看，一个随机事件不过是样本空间的一个子集而已。

1,2,3，,10。 如例1中显然A,B,C都是的子集，它们可以简单的表示为

A3， B2,4,6,8,10 ， C1，3，5，7，9

因为是所有基本事件所组成，因而在一次试验中，必然要出现中的某一基本事件，也就是在试验中必然要发生，今后用表示一个必然事件，可以看成的子集。

相应地空集，在任意一次试验中不能有，也就是说永远不可能发生，所以是不可能事件，实质上必然事件就是在每次试验中都发生的事件，不可能事件就是在每次试验中都不发生的事件，必然事件与不可能事件的发生与否，已经失去了“不确定性”即随机性，因而本质上不是随机事件，但为了讨论问题的方便，还是将它看作随机事件。

例3一批产品共10件，其中2件次品，其余为正品，从中任取3件则

， B恰有两件正品 ， C至少有两件正品 A恰有一件正品D={ 三件中至少有一件次品}这些都是随机事件

为必然事件 而三件中有正品为不可能事件， 3件都是正品3C10对于这个随机试验来说，基本事件总数为个。

三、 事件的关系与运算

对于随机试验而言，它的样本空间可以包含很多随机事件，概率论的任务之一就是研究随机事件的规律，通过对较简单事件规律的研究在掌握更复杂事件的规律，为此需要研究事件之间和事件之间的关系与运算。

若没有特殊说明，认为样本空间是给定的，且还定义了中的一些事件，A,B，Aii1,2等，由于随机事件是样本空间的子集，从而事件的关系与运算和集合的关系与运算完全相类似。 1 事件的包含关系

定义：若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含了A，或称A是B的特款， 记作AB或BA。

6，这一事件就导致了事件比如前面提到过的A球的标号为的发生，因为摸到标号为6的球意味着偶数的球出现了，B球的标号为偶数所以AB可以给上述含义一个几何解释，设样本空间是一个正方体， A,B是两个事件，也就是说，它们是的子集，“ A发生必然导致B发生”意味着属于A 的样本点在B中由此可见，事件AB的含义与集合论是一致的。

特别地，对任何事件A Ω A A

BA

例3 设某种动物从出生生活至20岁记为A，从出生到25记为B,则BA。 2 事件的相等

设A,B,若AB，同时有BA，称A与B相等，记为A=B，易知相等的两个事件A,B总是同时发生或同时不发生，在同一样本空间中两个事件想等意味着它们含有相同的样本点。 3 并(和)事件与积(交)事件

定义： 设A,B,称事件“A与B中至少有一个发生”为A和B的和事件或并事件。记作AB

Ω A B 实质上 AB“A或B发生” AA,A,AAA AB 若AB，则ABB,AAB,BAB 例3、

设某种圆柱形产品，若底面直径和高都合格，则该产品合格。

令A={直径不合格}，B={高度不合格}，则AB={产品不合格}。

推广： 设n个事件A1,A2,,An，称“A1,A2,,Ann中至少有一个发生”这一事

AiA,A,,AAAAn的并，记作12n或i1件为 12

和事件的概念还可以推广到可列个事件的情形。

设A,B，称“A与B同时发生”这一事件为A和B的积事件或交事件。 记作AB或AB

显然A,AA,AAA,ABA,ABB

Ω B Ω A

若AB，则ABA

如例7中，若C={直径合格}，D={高度合格}，则CD={产品合格}。

n推广: 设n个事件A1,A2,,An，称“A1,A2,,An同时发生”这一事件为

AiA1,A2,,An的积事件。记作 A1A2An或A1A2An或i1

同样积事件的概念也可以推广为可列个事件的情形。 4 差事件

定义： 设A,B，称“A发生B不发生”这一事件为A与B的差事件，记作AB 如例7中 AB={该产品的ABAAB,AA

5 对立事件

定义：称“A”为A的对立事件或称为A的逆事件，记作A。 AAA AA

由此说明，在一次试验中A与A有且仅有一个发生。 即不是A发生就是A发生。

显然AA，由此说明A与A互为逆事件。   ABAB

例8、设有100件产品，其中5件产品为次品，从中任取50件产品。 记A={50件产品中至少有一件次品}

则A{50件产品中没有次品}={50件产品全是正品}

由此说明，若事件A比较复杂，往往它的对立事件比较简单，因此我们 在求复杂事件的概率时，往往可能转化为求它的对立事件的概率。 6 互不相容事件（互斥事件）

定义：若两个事件A与B不能同时发生，即AB，称A与B为互不相容事件（或互斥事件）。

注意：任意两个基本事件都是互斥的。

推广：设n个事件A1,A2,,An两两互斥，称A1,A2,,An互斥（互不相容） 若A，B为互斥事件，则A，B不一定为对立事件。但若A，B为对立事件，则 A，B互斥。 7 事件的运算法则

1）交换律 ABBA,ABBA

2）结合律 ABCABC,ABCABC 3）分配律 ABCACBC

直径不合格，高度合格}，明显地有

Ω A B Ω A

ABCACBC4） 对偶原则 i1

nAAii1nni i1AAii1ni

例9 设A,B,C为中的随机事件，试用A,B,C表示下列事件。 1） A 与B发生而C 不发生 ABC或ABC 2） A发生，B与C不发生 ABC或ABC 3） 恰有一个事件发生 ABCABCABC 4) 恰有两个事件发生 ABCABCABC 5) 三个事件都发生 ABC

6) 至少有一个事件发生 ABC或 3）4）5）之并 7) A,B,C都不发生 ABC 8) A,B,C不都发生 ABC

9) A,B,C不多于一个发生 ABCABCABCABC或ABBCCA 10) A,B,C不多于两个发生 ABC

例10：试验Ｅ：袋中有三个球编号为１.２.３，从中任意摸出一球，观察其号

 Ｃ＝球的号码为3 Ｂ＝球的号码为奇数3 码，记Ａ＝球的号码小于试问：１）Ｅ的样本空间为什么？

２）Ａ与Ｂ，Ａ与Ｃ，Ｂ与Ｃ是否互不相容？ ３）Ａ，Ｂ，Ｃ对立事件是什么？

4 ）A与B的和事件，积事件，差事件各是什么？

摸到球的号码为i,i1,2,3 解：设i1,2,3； 1） 则Ｅ的样本空间为1,3，C3 1,2，B2） AＡ与Ｂ，Ｂ与Ｃ是相容的，Ａ与Ｃ互不相容；

3，B2，C1,2； 3） A1，AB2。 4） AB，AB四 事件域

事件是的子集，如果事件的这些子集归在一起，则得到一个类，

称作事件域，记作F。即FA:A,A为事件

 ,为事件

∴ F，F

因为我们讨论了事件间的运算 “” “” 和 “-”, 如果A，B都是事件，即A, BF ，自然要求AB ,AB,A-B 也是事件，因此，若 AF， B

F 就要求AB F ，AB F ，A-BF 。

用集合论的语言来说，就是事件域 关于运算 “” “” 和 “-” 是封闭的，

事件域 应该满足如下要求： 1）F ；

2）若AF， 则AF ；

Ai 3）若 iF,=1,2,3…….n. 则i1nAiF 。

在集合论中，满足上述三条件的集合类称为布尔代数（代数）

所以事件域是一个布尔代数，对于样本空间 ，如果F是的一切子集的全体，那么显然F是一个布尔代数。

§1.2 概率与频率

一、 概率与频率的概念

对于随机试验中的随机事件，在一次试验中是否发生，虽然不能预先知道，但是它们在一次试验中发生的可能性是有大小之分的。比如掷一枚均匀的硬币，那么随机事件A（正面朝上）和随机事件B（正面朝下）发生的可能性是一样的（都为1/2）。又如袋中有8个白球，2个黑球，从中任取一球。当然取到白球的可能性要大于取道黑球的可能性。一般地，对于任何一个随机事件都可以找到一个数值与之对应，该数值作为发生的可能性大小的度量。

定义1.1:随机事件A发生的可能性大小的度量（数值），称为A发生的概率，记为P（A）。

对于一个随机试验来说，它发生可能性大小的度量是自身决定的，并且是客观存在的。概率是随机事件发生可能性大小的度量是自身的属性。一个根本问题是，对于一个给定的随机事件发生可能性大小的度量——概率，究竟有多大呢？

再来看，掷硬币的试验，做一次试验，事件A（正面朝上）是否发生是不确定的，然而这是问题的一个方面，当试验大量重复做的时候，事件A发生的次数，也称为频数，体现出一定的规律性，约占总试验次数的一半，也可写成

fn(A)=A发生的频率=频数/试验总次数 接近与1/2 一般的，设随机事件A在n次试验中出现nA次，比值 fn(A)= nA/n 称为事件A在这n次试验中出现的频率 历史上有人做过掷硬币的试验

实验者 蒲丰 n 4040 nA 2048 6019 12012 fn(A) 0.5070 0.5016 0.5005 K．皮尔逊 12000 K．皮尔逊 24000 从上表可以看，不管什么人去抛，当试验次数逐渐增多时，fn(A)总是在0.5附近摆动而逐渐稳定与0.5。从这个例子可以看出，一个随机试验的随机事件A，在n次试验中出现的频率fn(A)，当试验的次数n逐渐增多时，它在一个常数附近摆动，而逐渐稳定与这个常数。这个常数是客观存在的，“频率稳定性”的性质，不断地为人类的实践活动所证实，它揭示了隐藏在随机现象中的规律性。

试判断“频率的极限就是概率”这句话是否正确？即

limnAP(A)nn吗？

nAP(A)nn不正确 由-N定义，若成立

limnAP(A)0,N0,nNn则

nAP(A)而频率具有随机性，nN，并不能保证n恒成立。 例如，当nAn时，取1PA，上述不等式就不成立。

因此，在概率论与数理统计中不能沿用数学分析中的一般极限定义了。 二、频率的性质

nA由频率的定义 fn(A)=n，0nAn,很快可以得到频率的性质， 1、非负性： fn(A)0；

2、规范性： 若为必然事件，则fn()=1；

3、有限可加性： 若A,B互不相容即AB=,则fnAB=fn(A)+fn(B)。 nnAnB

由这三条基本性质，还可以推出频率的其它性质： 4、不可能事件的频率为0， fn()=0；

5、若AB，则fn(A)fn(B)，由此还可以推得fn(A)1；

6、对有限个两两互不相容的事件的频率具有可加性，即若AiAj（1i,jm

ij）, 则

fn(Ai)i1m=

fi1nn(Ai)。

三、概率的性质

由于概率是频率的稳定值，因此频率具有的性质，概率也应有相应的性质： 1、非负性:P(A)0；

2、规范性:P()1。 注意：性质2反过来不一定成立。就是说概率为1的事件不一定为必然事件。同样，概率为0的事件不一定为不可能事件，这方面的例子在下一章再举。

3、有限可加性:若AiF，i1,2,3，…，n，且AiAj(ij)， 则

P()Aii1nP(A)ii1n

即有限个互不相容的事件的和事件的概率等于这些事件的概率之和。 因AA，AA，从而有P(A)P(A)=1。

由此可知，给定一个随机事件，也就确定了一个样本空间、事件域F和概率P其中F是一个 布尔代数，P是定义在F上的一个非空、规范的有限可加集函数。

§1.3 古典概型

先讨论一类最简单的随机试验，它具有下述特征：

1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个，不妨设为n个，记为1，2，…，

n；

2）每个基本事件出现的可能性是相等的，即有P(1)P(2)…=P(n)。

称这种数学模型为古典概型。

它在概率论中具有非常重要的地位，一方面它比较简单，既直观，又容易理解，另一方面它概括了许多实际内容，有很广泛的应用。

对上述古典概型，它的样本空间1，2，…，n，事件域F为n的所有子集的全体，这时连同，在内，F中含有2个事件，并且从概率论的有限可加性知1=P()P(1)P(2)…P(n)

于是 P(1)P(2)…=P(n)=

1n

AF，若A是k个基本事件之和，即

A=i1i2…ik 则 P(A)kA包含的基本事件数A包含的有利事件数 n基本事件总数基本事件总数所以在古典概型中，事件A的概率是一个分数，其分母是样本点（基本事件）总数n，而分子是事件A包含的基本事件数k。

例如：将一枚硬币连续掷两次就是这样的试验，也是古典概型，它有四个基本事件，（正、正）， （正、反）， （反、正），（反、反），每个基本事件出现的

1可能结果都是4。

但将两枚硬币一起掷，这时试验的可能结果为（正、反），（反、反），（正、

2正）但它们出现的可能性却是不相同的，（正、反）出现的可能性为4，而其它1的两个事件的可能性为4。

它不是古典概型，对此历史上曾经有过争论，达朗贝尔曾误为这三种结果的出现是等可能的。

判别一个概率模型是否为古典概型，关键是看“等可能性”条件满不满足。

而对此又通常根椐实际问题的某种对称性进行理论分析，而不是通过实验来判断。

由古典概型的计算公式可知，在古典概型中，若p(A)=1,则A=。同样，若

PA0，则A。

不难验证，古典概型具有非负性、规范性和有限可加性。

利用古典概型的公式计算事件的概率关键是要求基本事件总数和A的有利事件数，则需要利用数列和组合的有关知识，且有一定的技巧性。 （一）摸球问题

例1. 在盒子中有五个球（三个白球、二个黑球）从中任取两个。问取出的两个球都是白球的概率？一白、一黑的概率？

分析：说明它属于古典概型，从5个球中任取2个，共有C种不同取法，可以将每一种取法作为一个样点。则样本点总数C是有限的。由于摸球是随机的，因此样本点出现的可能性是相等的，因此这个问题是古典概型。

2525，B=取到的两个球一白一黑 解：设A=取到的两个球都是白球 基本事件总数为C

25C32PA22C5 A的有利事件数为C3,

11C3C2PA11C52。 B的有利事件数为C3C2，

由此例我们初步体会到解古典概型问题的两个要点：

1.首先要判断问题是属于古典概型，即要判断样本空间是否有限和等可能性； 2.计算古典概型的关键是“记数”，这主要利用排列与组合的知识。

在古典概型时常利用摸球模型，因为古典概型中的大部分问题都能形象化地用摸球模型来描述，若把黑球做为废品，白球看为正品，则这个模型就可以描述产品的抽样检查问题，假如产品分为更多等级，例如一等品，二等品，三等品，等外品等等，则可以用更多有多种颜色的摸球模型来描述。

例2：在盒子中有十个相同的球，分别标为号码1，2，3，……，9，10，从中任摸一球，求此球的号码为偶数的概率。

i i1,2,,10 解一：令i所取的球的号码为1,2.....10 故基本事件总数n=10 则 , 因而A含有5个基本事件 令 A=所取球的号码为偶数51P(A)102

， 则A=所取球的号码为奇数 解二：令 A=所取球的号码为偶数1p(A)2 因而 A,A,

此例说明了在古典概型问题中，选取适当的样本空间，可使我们的解题变的简洁。

例3：一套五册的选集，随机地放到书架上，求各册书自左至右恰好成1，2，3，4，5的顺序的概率。

解：将五本书看成五各球，这就是一个摸球模型， 基本事件总数5！

各册自左向右或成自右向左恰好构成1，2，3，4，5顺序 令 A=21P(A)5!60 A包含的基本事件数为2，

例4：从52张扑克牌中取出13张牌来，问有5张黑桃、三张红心、3张方块、2张草花的概率是多少？

13

C52解：基本事件数为：

令A表示13张牌中有5张黑桃、3张红心、3张方块、2张草花 A包含的基本事件数为：C13C13C13C13

5332P(A)C13C13C13C130.01293。

13C525332（二）分房问题

例5：设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住（n≤N），求下列事件的概率： 1）A=指定的n个房间各有一人住

；

。

2）B=恰好有n个房间，其中各有一人住

解：因为每一个人有N个房间可供选择（没有限制每间房住多少人），所以n个人住的方式共有N种，它们是等可能的。

n1）n个人都分到指定的n间房中去住，保证每间房中个有一人住；

第一人有n 分法，第二人有n-1种分法，……最后一人只能分到剩下的一间房中去住，共有 n(n-1)…….21种分法，即A含有n！个基本事件：

n! P(A)=Nn

2）n个人都分到的n间房中，保证每间只要一人，共有n!种分法，而n间房未

nnCCNN指定，故可以从N间房中任意选取，共有 种取法，故B包含了种取法。

nCNn!P(B)=Nn，又如在掷骰子试验中“出现一点”。

注意：分房问题中的人与房子一般都是有个性的，这类问题是将人一个个地往房间里分配，处理实际问题时要分清什么是“人”，什么是“房子”，一般不可颠倒，常遇到的分房问题有：

n个人相同生日问题，n封信装入n个信封的问题（配对问题），掷骰子问题等，分房问题也称为球在盒子中的分布问题。

从上述几个例子可以看出，求解古典概型问题的关键是在寻找基本事件总数和有利事件数，有时正面求较困难时，可以转化求它的对立方面，要讲究一些技巧。

例6：某班级有n个人（n<365）问至少有两个人的生日在同一天的概率是多大？ 解：假定一年按365天计算，将365天看成365个“房间”，那么问题就归结为摸球问题；

至少有两个人的生日在同一天 则A的情况比较复杂（两人、三人……令 A=在同一天），但A的对立事件 An个人的生日全不相同问题中的2）“恰有n个房间，其中各住一人”；

nN!CNn!P(A)Nn=Nn(Nn)! (N=365)

,这就相当于分房

 P(A)P(A)1

N!nN(Nn)!(N=365) P(A) ∴=1-

这个例子就是历史上有名的“生日问题”，对于不同的一些 n值，计算得相应的P(A) 如下表：

ｎ １０ ２０ 0.41 ２３ 0.51 ３０ 0.71 ４０ 0.89 ５０ 0.97 Ｐ（Ａ） 0.12 表所列出的答案足以引起大家的惊奇，因为“一个班级中至少有两个人生日相同”这个事件发生的概率并不如发多数人想象的那样小，而是足够大，从表中可以看出，当班级人数达到23时，就有半数以上的班级会发生这件事情，而当班级人数达到50人时，竟有97％ 的班级会发生上述事件，当然这里所讲的半数以上，有97％ 都是对概率而言的，只是在大数次的情况下（就要求班级数相当多），才可以理解为频率。从这个例子告诉我们“直觉”并不可靠，从而更有力的说明了研究随机现象统计规律的重要性。

例7：在电话号码簿中人取一个号码（电话号码由7个数字组成），求取到的号码是由完全不同的数字组成的概率？

解：此时将０－９这10个数子看成“房子”，电话号码看成“人”，这就可以归结为“分房问题（2）”。

令 Ａ＝取到的号码有由完全不同的数字组成

7P107则P(A)＝10



当然这个问题也可以看成摸球问题，将这十个数字看成10个球，从中有放回的取7次，要求7次取得的号码都不相同。 （三）随机取数问题

例8：从1，2，3，4，5这五个数中等可能地、有放回的连续抽取3个数字，试求下列事件的概率： A= 三个数字完全不相同

；

B= 三个数字中不含1和5；

C= 三个数字中5恰好出现了两次； D= 三个数字中至少有一次出现5。

P53333P55解：基本事件数为：， A的有利事件数为， 故P(A)＝5＝0.48 3333 B的有利事件数为3（三个数只能出现2，3，4），故P(B)＝5＝0.216

2C3三个数字中5恰好出现两次，可以是三次中的任意两次，出现的方式为

1P4种，剩下的一个数只能从1，2，3，4中任意选一个数字，有种选法，故C的

C32P4112213C有利事件数为3P4，故 P(C)=5=125

事件D 包含了5出现了一次，5出现两次，5出现三次三种情况

11222133D 的有利事件数为：C31(P4)+C31P4+C31 133C31(P41)2C3212P41C310.48835 故P(D)=。

或可以转化为求D的对立事件D的概率

D=三个数字中5一次也不出现

说明三次抽取得都是在1，2，3，4中

4343任取一个数字，故含有4个基本事件P(D)=1-P(D)=1-5=0.488。

例9：在0,1,2,,9这十个数字中无重复地任取4个数字，试求取得的4个数字能组成四位偶数的概率。

解：设 A=取得的4个数字能组成四位偶数



44PP1010 从10个数中任取4个数字进行排列，共有种排列方式，所以共有个

基本事件。

3P9下面考虑A包含的基本事件数，分两种情况考虑一种是0排在个位上，有121PPP种选法，另一种是0不排在个位上，有488种，所以A包含的基本事件数为

P93P41P81P82414P93+P41P81P82，故P(A)=P10=900.4556

1P5或先从0，2，4，6，8这5个偶数中任选一个排在个位上，有种排法，3P9然后从剩下的9 个数字中任取3个排在剩下的3个位臵上，有种排法,故个位

31上是偶数的排法共有P5P9种，但在这种四个数字的排列中包含了“0”排在首

位的情形，故应除去这种情况的排列数。

32111PPPPP598故A的有利场合数为：-41

例10：任取一个正整数，求该数的平方数的末位数字是1的概率。

分析：不能将正整数的全体取为样本空间，这样的样本空间是无限的，谈上不等可能的。

解：因为一个正整数的平方的末位数只能取决于该正整数的末位数，它们可以是0，1，2……，9这十个数字中的任一个，现任取一个正整数的含义，就是这十个数字等可能地出现的，换句话说，取样本空间0,1,2,,9。

记 A=该数的平方的末位数字是1

 ，

那么A包含的基本事件为2，A=1,9

21故P(A)=105；

该数的四次方的末位数字是1 , 则B=1,3,7,9

42105； P(B)=

，

C= 该数的立方后的最后两位数字都是1

一个正整数的立方的最后两位数字取决于该数的最后的两位数字，所以样本空间含有10个样本点。

则该数的最后一位数字必须是1，设最后的第二位数字是a,那么该数立方的最后两个数字为1和3a个个位数，要使3a的个位数为1，必须a=7，应而A包含

1的样本点只有71这一点，故P(C)=100。

2

§1.4 概率的公理化定义及概率的性质

一、几何概率

一个随机试验，如果数学模型是古典概型，那么描述这个实验的样本空间,文件域 F 和概率P已在前面得到解决。在古典概型中，试验的结果是有限的，受到了很大的限制。在实际问题中经常遇到试验结果是无限的情况的。例如，若我们在一个面积为S的区域中，等可能的任意投点，这里等可能的确切意义是这样的：在区域中有任意一个小区域A，若它的面积为SA, 则点A落在A中的可能性大小与SA成正比，而与A的位臵及形状无关。如果点A落在区域A

SA这个随机事件仍记为A，则由P()=1可得 P(A)=S, 这一类概率称为几何概率。

同样，如果在一条线段上投点，那么只需要将面积改为长度，如果在一个立方体内投点，则只需将面积改为体积。

例1：（会面问题）甲乙两人约定在6时到7时之间某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。 解：以x和y分别表示甲乙约会的时间，

则0x60,0y60。 两人能会面的充要条件是

xy15

在平面上建立直角坐标系（如教材图）

则（x,y）的所有可能结果是边长为60米的正方形，而可能会面的时间由图中阴影部分表示。这是一个几何概率问题，

SA60245272由等可能性 P(A)=S=60=16 。

例2 蒲丰（Buffon）投针问题。平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为a(a>0)，向平面任意投掷一枚长为l(l0xa2，0

由这两式可以确定x,平面上的一个矩形，

,x0,0xa2

xlsin2

这时为了针与平行线相交，其条件为

由这个不等式表示的区域A是图中的阴影部分

lA,xxsin,0x2a2

SA 由等可能性可知P(A)=S=

0lsind22la2=a

若l,a 为已知，则以值代入上式，即可计算得P（A）的值。反过来，若已知P（A）的值，也可以用上式去求，而关于P（A）的值，可以用频率去近

n2lNna。似它。如果投针N次，其中针与平行线相交n次，则频率为N， 于是 

这是一个颇为奇妙的方法，只要设计一个随机实验。使一个事件的概率与某一未知数有关，然后通过重复实验，以频率近似概率即可以求未知数的近似数。当然实验次数要相当多，随着计算机的发展。人们用计算机来模拟所设计的随机实验。使得这种方法得以广泛的应用。将这种计算方法称为随机模拟法，也称为蒙特—卡洛法。

几何概率的意义及计算，与几何图形的面积，长度和体积（刻度）密切相关，因此所考虑的事件应是某种可定义测度的集合，这类集合的并、交，也应该是事件。甚至对他们的可列次并，交也应该有这个要求。例如在[0，1]中投一点的随

1112n1,2nA机实验，若记A为该点落入[0，2]中这个事件 ，而以n记该点落在中这一 事件。N=1，2，3……则A=

Ai1ni。

如果所投点落入某区域的概论等于该区间的长度，则

P(A)=

P(A)ii1n

这里碰到事件及概率的可列运算

综上所述，几何概率应具有如下性质： i) ii)

对任何事件A，P（A）0

P（）=1

iii) 若A1，A2…….两两互不相容，则

P(Ai)i1n =

P(A)ii1n

前两个性质与古典概型相同，而有限可加性，则可推广到可列个事件成立，这个性质称为可列可加性。 二、概率的公理化定义

到二十世纪，概率论的各个领域已经得到了大量的成果，而人们对概率论在其他基础学科和工程技术上的应用已出现了越来越大的兴趣，但是直到那时为止，关于概率论的一些基本概念如事件，概率却没有明确的定义，这是一个很大的矛盾，这个矛盾使人们对概率客观含义甚至相关的结论的可应用性都产生了怀疑，由此可以说明到那时为止，概率论作为一个数学分支来说，还缺乏严格的理论基础，这就大大妨碍了它的进一步发展。

十九世纪末以来，数学的各个分支广泛流传着一股公理化潮流，这个流派主长将假定公理化，其他结论则由它演绎导出，在这种背景下，1933年俄国数学家柯尔莫哥洛夫在集合与测度论的基础上提出了概率的公理化定义这个结构综合了前人的结果，明确定义了基本概念，使概率论成为严谨的数学分支。对近几十年来概率论的迅速发展起了积极的作用，柯尔莫哥洛夫的公里已经广泛地被接受。

在公理化结构中，概率是针对事件定义，即对于事件域F中的每一个元素A有一个实数P（A）与之对应。一般的把这种从集合到实数的映射称为集合函数。因此，概率是定义在事件域F上的一个集合函数。此外在公理化结构中也规定概率应满足的性质，而不是具体给出它的计算公式或方法。

概率应具有什么样的性质呢？经过概率与频率之间的关系、古典概型，几何概型的分析可知，概率应具有非负性、规范性、可列可加性。

从而有如下定义：

定义：定义在事件域F上的一个集合函数P称为概率。如果它满足如下三个条件： 1． 非负性：AF，P(A)0； 2．规范性：P()=1；

3． 可列可加性：若AiF ，i1,2,且两两互不相容。有通过描述一个随机试验的数学模型，应该有几样东西

1）样本空间 ；2）事件域（-代数）F； 3）概率（F上的规范测度）P习惯上常将这三者写成（, F, P ），并称它是一个概率空间。由此，给出一个随机实验，数量就可以把它抽象成一个概率空间（,F , P）。 三、概率的性质

由概率的非负性、规范性和可列可加性，可以得出概率的其他一些性质： 1） 不可能事件的概率为0，即P（）=0；

2） 概率具有有限可加性： 即若AiAj= （1ijn），

P(Ai)i1nP(Ai)i1n= i1P(A)in

则=

P(A)ii1n；

3） 对任一随机事件A，有 P（A）=1-P（A）； 4） 若A B 则P(A-B)= P(A)-P(B)。 证：A B，则A=B+(A-B)

又BA(A-B)=

 P(A)=P(B)+P(A-B)

即 P(A-B)= P(A)-P(B) 推论1：若AB,则P(A)P(B)； 推论2：对任一事件A,P(A)1；

推论3：对A，BF,则P(A-B)= P(A)-P(AB)。

5）对任意两个事件A、B，有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

推论1：P(AB)P(A)+P(B)；

推论2：设A1，A2，An为n个随机事件，则有

P(Ai)i1n=

AP(AA)P(AAA)1innnn1ijijki11ijn1ijknnPAii1

此公式称为概率的一般加法公式。 特别地：

P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)- P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) 推论3：

P(Ai)i1nP(A1)+P(A2)+P(A3)+…… +P(An)。

从性质2可知，由可列可加性可以推出有限可加性，但是一般来说由有限可加性并不能推出可列可加性，这两者之间的差异可以用另一个形式来描述。

设AnF（n=1,2,3……） 且 AnAn1 则称{An}是F中的一个单调不减的集合序列。

定义：对于F上的集合函数P，若对F中的任一单调不减的集合序列{An}有

limP(An)P(limAn)limAnAnn=n，则称集合函数P在F上是下连续的，其中n=n1

类似可定义上连续性

定理1：若P是F上非负的、规范的集函数。则P具有可列可加性的充要条件是 1） 2）

P是有限可加的；

P在F上是下连续的，亦称为连续性公理 定理的证明可参见复旦大学概率论第一册P50

例1：设A，B互不相容，且P（A）=p，P（B）=q 试求P(AB),P(AB),P(AB),P(AB),P(AB) 解： P(AB)=P(A)+P(B)=p+q

P(AB)=P(A)=1-p P(AB)=0

P(AB)=P(B-A)= P(B)-P(AB)=q

P(AB)=1- P(AB)=1-p-q

例2：设P（A）=p，P（B）=q，P(AB)=r，求P（AB）、P(AB)、P(AB) 。 解： P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）=p+q-r

P(AB)=P(A)-P(AB)=p-(p+q-r)=r-q P(AB)=P(AB)=1-P(AB)=1-p-q+r

例3．设ABC为三个事件，且ABC。证明P（A）+P（B）-P（C）1 证： P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）

又ABC 所以P（AB）P（C）

所以P（A）+P（B）-P（C）P（AB）1

即P（A）+P（B）-P（C）1

11例4：设P（A）=P（B）=P（C）=8。P（AB）=4。P（BC）=P（AC）=0

求A，B，C至少有一个发生的概率。

解： P（ABC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）+P（ABC）

因为ABCBC 所以0P（ABC）P（BC） 所以P（ABC）=0

从而P（ABC）=1/8+1/8+1/8-1/4=1/8

例5：设A，B，C为任意三个事件，证明P（AB）+P（AC）-P（BC）P（A） 证： AA(BC)

所以P（A）P(A(BC))=P(ABAC) =P(AB)+P(AC)-P(ABC) 又P（ABC）P(BC)

所以P（AB）+P（AC）-P（BC）P（A）

例6：某人一次写了n封信，又写了n个信封，如果他任意将n张信纸装入n个信封中问至少有一封信的信纸和信封是一致的概率是多少？ 解： 令 Ai={第i张信纸恰好装进第i个信封},i=1，2，3…n

则P(Ai)=1/n i1P(Ai)=1

N112 P(AiAj)=1/n(n-1) i=1,2,.n 1ijnP(AiAj)=Ccn(n1)=2!

同理得1ijknP(AiAjAk)113=Cnn(n1)(n2)=3!

……

11n P（A1A2…An）=Cnn!=n!

由概率的一般加法公式有

P（

Ai1ni）=

P(A)P(AA)iiji11ijnn…（-1）

n1

P（A1A2…An）

111n1

=1-2!3!…+（-1）n!

当n充分大时，它近似于是1-e

这个例子就是历史上有名的“匹配问题”或“配对问题”。

1§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式

一． 条件概率

前面讨论了事件和概率这两个概念，对于给定的一个随机试验，要求出一个指定的随机事件AF 的概率P(A),需要花很大的力气，现在将讨论继续引入深入，设两个事件A，BF 则有加法公式 P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）。

特别地，当A，B为互不相容的两个事件时，有 P（AB）=P（A）+P（B）此时有P（A）及P（B）即可求得 P（AB），但在一般情形下，为求得P（AB）还应该知道P（AB）。因而很自然要问，能不能通过P（A），P（B）求得P（AB），先看一个简单的例子。

例1． 考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率一样，则两个孩子（依大小排列）的性别分别为（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）的可能性是一样的。

若记A=“随机抽取一个这样的家庭中有一男一女”，﹜

1则P（A）=2但如果我们事先知道这个家庭至少有 一个女孩，则上述事件

2的概率为3。

这两种情况下算出的概率不同，这也很容易理解，因为在第二种情况下我们多知道了一个条件。记B=“这个家庭中至少有一个女孩”，因此我们算得的概率是“在已知事件B发生的条件下，事件A发生”的概率，这个概率称为条件概率，记为P（A|B）。

2423P(AB)P（A|B）=3=4=P(B)

这虽然是一个特殊的例子，但是容易验证对一般的古典概型，只要P（B）>0上述等式总是成立的，同样对几何概率上述关系式也成立。 1．条件概率的定义

定义1.若（,F,）是一个概率空间ＢF， 且Ｐ（Ｂ）>0.

P(AB)对任意ＡF，称P（A|B）=P(B)为在已知事件Ｂ发生的条件下事件Ａ发生的

条件概率。

２．性质

不难验证条件概率Ｐ(.|B)具有概率的三个基本性质 １） 非负性：ＡF Ｐ（Ａ｜Ｂ）≥０ ２） ３）

规范性：Ｐ（｜Ｂ）＝１

可列可加性：AiF（i=1，2……），且A1,A2……互不相容，

PAiBPAiBi1有i1

由此可知，对给定的一个概率空间（,F,）和事件BF, 如果Ｐ（Ｂ）>０，则条件概率Ｐ(.|B) 也是(Ω，F)上的一个概率测度,特别，当B=Ω时，P(.|B)就是原来的概率测度P（〃）,所以不妨将原来的概率看成条件概率的极端情形，还可以验证 4）P(B)=0

(5)P(AB)=1- P(AB)

(6)P(A1A2B)=P(A1B)+P(A2B)-P(A1A2B) 二、乘法公式

由条件概率的定义可知，当P(A)>0时 P(AB)= P(A)P(BA)

同理当P(B)>0时, P(AB)= P(B)P(AB) 这个公式称为乘法公式

乘法公式可以推广到n个事件的情形，

P(A1A2An)=P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)P(AnA1A2...An1) (P(AnA1A2...An1)>0)

例2：甲、乙两市都位于长江下游，据一百多年来的气象记录，知道在一年中的雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%。

记 A= 甲市出现雨天

 B =乙市出现雨天



求：1）两市至少有一市是雨天的概率；

2）乙市出现雨天的条件下，甲市也出现雨天的概率； 3）甲市出现雨天的条件下，乙市也出现雨天的概率。

解：1）P(AB)0.26

2）P(AB)0.67 3）P(BA)0.60

例3：（抽签问题）有一张电影票，7个人抓阄决定谁得到它，问第i个人抓到票的概率是多少？ （i=1，2，…，7） 解：设Ai=“第i个人抓到票”， （i=1，2，…，7）

PA116,PA77，

显然

如果第二个人抓到票的话，必须第一个人没有抓到票。 这就是说A2A1，所以A2A2A1

于是可以利用概率的乘法公式，因为在第一个人没有抓到票的情况下，第二个人有希望在剩下的6个阄中抓到电影票，

1PA2A16， 所以

PA2PA2A1PA1PA2A1611767，

类似可得

PA3PA1A2A3PA1PA2A1PA3A1A265117657，

…

PA717。

三、全概率公式

例4：有外形相同的球分别装两个袋子，设甲袋有6只白球，4只红球，乙袋中有3只白球6只红球，现在先从每袋中各任取一球再从取出的二球中任取一球，求此球是白球的概率。

解：令B= 最后取出的球是白球

，

 ，i=0，1，2

显然导致B发生的“原因”可能是取出的二球中有0只或1只或2只白球，因此，如果令 Ai=先取出的二球有只白球

则B=BA0BA1BA2 由概率的有限可加性

P(B)=P (BA0)+ P(BA1)+ P(BA2)

在由乘法公式

7P(B)= P (A0)P (BA0)+ P(A1)P (BA1)+ P(A2)P (BA2)=15

上例中采用的方法是概率论中颇为有用的方法，为了求比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解为两个（或若干个）互不相容的较简单的事件的并，求出这些较简单事件的概率，再利用加法公式，即的所要求的复杂事件的概率，将这中方法一般化便得到下述定理：

nBB21定理1：设 ,…….是 一列互不相容的事件，且有i1有P(A)=

Bi=,对任何事件A，

P(B)P(ABi)ii1n

证明：见书

例5：某工厂有四条生产线生产同一中产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，又这四条流水线的不合格品率为5%，4%，3%，及2%，现在从出厂的产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？（0.0325）

一般地，能用全概率公式解决的问题都有以下特点：

１） 该随机变量可以分为两步，第一步试验有若干个可能结果，在第一步试验结果的基础上，再进行第二次试验，又有若干个结果；

２） 如果要求与第二步试验结果有关的概率，则用全概率公式。

例6：某保险公司认为，人可以分为两类，第一类是容易出事故的，另一类，则是比较谨慎，保险公司的统计数字表明，一个容易出事故的人在一年内出一次事故的概率为0.04，而对于比较谨慎的人这个概率为0.02，如果第一类人占总人数的30%，那么一客户在购买保险单后一年内出一次事故的概率为多少？（0.026）

已知一客户在购买保险单后一年内出一次事故，那么，他属于那一类型的人？

67BP (BA)= 13 ,P (A)=13

A=客户购买保险单后一年内出一次事故B= 他属于容易出事故的人





四、贝叶斯公式

在上面的计算中，事实上已经建立了一个极为有用的公式： 定理2：若B1,B2…….是一列互不相容的事件，且

Bi1ni=,P(Bi)>0, i1,2.......

P(Bi)P(ABi)BAi则对任一事件A,P(A)>0有P ()=j1P(Bj)P(ABj)

贝叶斯公式在概率论与数理统计中有着多方面的应用，假定B1,B2…… 是导致试验结果的“原因”,P(Bi)称为先验概率，它反映了各种“原因”发生的可能性的大小，一般是以往经验的总结，在这次试验前已经知道，现在若试验产生了事件A，这个信息将有助与探讨事件发生的“原因”，条件概率P(ABi)称为后验概率，它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能性大小的新知识，例如在医疗诊断中，有人为了诊断病人到底是患了B1,B2,中的那一种病，对病人进行观察与检查，确定了某个指标 （譬如体温、脉搏、转氨酶含量等）他想用这类指标来帮助诊断，这时可以用贝叶斯公式来计算有关概率，首先必须确定先验概率P(Bi)这实际上是确定患各种疾病的大小，以往的资料可以给出一些初步数据（称为发病率），其次要确定P(ABi)这当然要依靠医学知识，一般地，有经验的医生P(ABi)掌握得比较准，从概率论的角度P (BiA)的概率较大，病人患Bi种病的可能性较大，应多加考虑，在实际工作中检查指标A一般有多个，综合所有的后验概率，会对诊断有很大的帮助，在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这种方法是实用价值的。

例7：用甲胎蛋白法普查肝癌，令C=被检验者患肝癌

A=甲胎蛋白法检查结果为阳性则 C= 被检验者未患肝癌

A

 

AC

)=0.90

甲胎蛋白法检查结果为阴性

由过去资料 P(AC)=0.95, P(

又已知某地居民的肝癌发病率P(C)=0.0004，在普查中查出一批甲胎蛋白检查结

果为阴性的人，求这批人中患有肝癌的概率P(CA)。 解：由贝叶斯公式

0.00040.95P(C)P(AC)P(C)P(AC)0.00040.950.99960.10.0038CAP ()==

P(C)P(AC)由此例可知道，经甲胎蛋白法检查结果为阳性的人群中，其实真正患肝癌的人还是很少的，（只占0.38%），把P(C|A)=0.0038和已知的P(A|C)=0.95及 P(=0.90对比一下是很有意思的。

因此，虽然检验法相当可靠，但是被诊断为肝癌的人确实患肝癌的可能性并不大。

AC)

§1.6 独立性

一、 独立性概念 1、 两个事件的独立性

例1、 设袋中有五个球（三新两旧）每次从中取一个，有放回地取两次，记 A=｛第一次取得新球｝ B=｛第二次取得新球｝。 求：P(A), P(B), P(B|A)。

333解：显然 P(A)=5 P(B)= 5 P(B|A)= 5

P(B|A)= P(B) 由此可得P(AB)= P(A) P(B)。

定义：设 A、B F,若P(AB)= P(A) P(B) 则称事件A、B是相互独立的，简称为独立的。

依这个定义，必然事件与不可能事件与任何事件都相互独立的，因为必然事件与不可能事件的发生与否，的确不受任何事件的影响，也不影响其它事件是否发生。

例2：分别掷两枚均匀的硬币，另A=｛硬币甲出现正面｝, B=｛硬币乙出现正面｝ ,验证事件A,B是相互独立的。

验证： Ω=｛（正、正）（正、反）（反、正）（反、反）｝

A=｛（正、正）（正、反）｝ B=｛（反、正）（正、正）｝

AB=｛（正、正）｝

11P(A)=P(B)=2 P(AB)= 4= P(A)P(B)

所以A、B是相互独立的。

实质上，在实际问题中，人们常用直觉来判断事件间的”相互独立”性，事实上，分别掷两枚硬币，硬币甲出现正面与否和硬币乙出现正面与否，相互之间没有影响，因而它们是相互独立的，当然有时直觉并不可靠。

例3：一个家庭中有男孩，又有女孩，假定生男孩和生女孩是等可能的， 令A=｛一个家庭中有男孩，又有女孩｝， B=｛一个家庭中最多有一个女孩｝ 对下述两种情形，讨论A和B的独立性。

1）家庭中有两个小孩 ； 2）家庭中有三个小孩。

解：1）有两个小孩的家庭，这时样本空间为：

Ω=｛（男、男），（男、女），（女、男），（女、女）｝

A=｛（男、女），（女、男）｝ B=｛（男、男），（男、女），（女、男）｝ AB=｛（男、女），（女、男）｝

131于是P(A)=2, P(B)=4, P(AB)=2

由此可知P(AB)P(A) P(B) 所以 A与B 不独立。

2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、男、男），（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），（女、男、女），（女、女、女）｝。

1由等可能性可知，这8个基本事件的概率都是8， 这时A包含了6个基本

事件，B包含了4个基本事件，AB包含了3个基本事件

3634188482 P(AB)= P(A)= P(B)=

显然 P(AB)=P(A)P(B)，从而A与B相互独立。 2、 多个事件的独立性； 定义2、设三个事件A,B,C满足

P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 称A,B,C相互独立。

由三个事件的独立性可知，若A、B、C两两相互独立，反之不一定成立。

例4.一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色第四面上同时染上红、黑、白三色，以A、B、C分别记投一次四面体，出现

21红、白、黑颜色的事件，则P(A)=P(B)=P(C)=42 1P(AB)=P(BC)=P(AC)=4

1P(ABC)=4

故A、B、C两两相互独立

但不能推出P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

同样地 由P（ABC）=P（A）P（B）P（C）不能推出A、B、C两两相互独立。 定义3.对n个事件A1,A2,，An若对于所有可能的组合1ijkn

有 P(AiAj)=P(Ai)p(Aj) P(AiAjAk)=P(Ai)p(Aj)p(Ak)

……

P(A1A2An)=P(A1)p(A2)p(An) 则称A1,A2An相互独立。

nn个事件相互独立，则必须满足2n1个等式。

显然n个事件相互独立，则它们中的任意m（2mn）个事件也相互独立。 二、独立性的性质

定理1四对事件{A、B}，{A,B}，{A，B}、{A、B}中有一对相互独立，则其它三对也相互独立。

定理2 设A1,A2,,An相互独立，则将其中任意m个（1mn）换成其对立事件，则所得n个事件也相互独立。特别地，若A1,A2An相互独立，则A1,A2,An也相互独立。 三、独立性的应用

1、相互独立事件至少发生其一的概率的计算 设A1,A2An相互独立，则

P(A1A2An)=

1-P(A1A2An)=1-P(A1A2An)=1-P(A1)P(A2)P(An) 这个公式比起独立的场合，要简便的多，它简便的多，它经常用的到

例6.假若每个人血清中含有肝炎病的概率为0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率？

解：设Ai={第I个人血清中含有肝炎病毒} i1,2,,100

可以认为A1,A2A100相互独立，所求的概率为

P(A1A2A100)=1-P(A1)P(A2)P(A100)=1-0.996100=0.33

虽然每个人有病毒的概率都是很小，但是混合后，则有很大的概率，在实际工作中，这类效应值得充分重视。

例7.张、王、赵三同学各自独立地去解一道数学题，他们的解出的概率为1/5，1/3，1/4，试求（1）恰有一人解出的概率；（2）难题被解出的概率。 解：设Ai（i=1，2，3）分别表示张、王、赵三同学解出难题这三个事件， 由题设知A1,A2,A3相互独立。

（1） 令A={三人中恰有一人解出难题}

则A=A1A2A3A1A2A3A1A2A3

P(A)=

P(A1A2A3)=P(A1A2A3)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)+

11111111113(1)(1)(1)(1)(1)(1)P(A1)P(A2)P(A3)=53453453430。

(2)令B={难题解出}

11131(1)(1)(1)P(B)P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3)=5345 。

2、在可靠性理论中的应用

对于一个电子元件，它能正常工作的概率p，称为它的可靠性，元件组成系统，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性，随着近代电子技术组成迅猛发展，关于元件和系统可靠性的研究已发展成为一门新的学科------可靠性理论.概率论是研究可靠性理论的重要工具。

例8.如果构成系统的每个元件的可靠性均为r,0图1 1 2 n

1 2 n

图2 1 2

1 2

解:1)每条道路要能正常工作当且仅当该通路上各元件正常工作故其可靠性为

Rcrn也即通路发生故障的概率为1rn.由于系统是由两通路并联而成的，两

2n1r通路同时发生故障的概率为，因此上述系统的可靠性为

Rs1(1rn)2=rn(2rn)。

2(1r)r(2r) ‘R2)每对并联元件的可靠性为=1-

系统由对并联元件串联而成，故其可靠性为

’(R‘)nrn(2r)nRs

’显然 RsRc因此用附近元件的方法以增加系统的可能性 nn利用数学归纳法可以证明n2时.(2r)2r

‘所以RsRs.因此虽然上面两个系统同样由2n个元件构成作用也相同，但

是第二种构成方式比第一种方式可靠来得大，寻找可靠性较大的构成方式也是可靠理论的研究课题之一。

§1.7 贝努里概型

一、 试验的独立性

如果两次试验的结果是相互独立的，称两次试验是相互独立的。当然，两次试验是相互独立的，由此产生的事件也是相互独立。 二、贝努里概型 1. 贝努里试验

若试验E只有两个可能的结果：A及A，称这个试验为贝努里试验。 2. 贝努里概型

设随机试验E具有如下特征： 1）每次试验是相互独立的；

2）每次试验有且仅有两种结果：事件A和事件A；

3）每次试验的结果发生的概率相同即P（A）=p， P（A）=1-p=q。 称试验E表示的数学模型为贝努里概型。若将试验做了n次，则这个试验也称为n重贝努里试验。记为E。

由此可知“一次抛掷n枚相同的硬币”的试验可以看作是一个 n重贝努里试验。

一个贝努里试验的结果可以记作

n(1,2,…n）

nin)i其中（1或者为A 或者为A，因而这样的共有2个,它们的全体

就是贝努里试验的样本空间。

(1,2,…n)

in)i如果（1中有 k个A，则必有n-k个A。于是由独立性即得P（）

knkp=q。

如果要求“n重贝努里试验中事件A出现k次”这一事件的概率 记Bk{ n重贝努里试验中事件A出现k次}。 由概率的可加性P（Bk）=

P()CBkknpkqnk k=0.1.2…n

nq在n贝努里试验。事件A至少发生一次的概率为1-。

例1. 金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电功率为10千瓦，已知

每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的，现因当地电力供紧张，供电部门只提供50千瓦的电力给这10台机床。问这10台机床能够正常工作的概率为多大？

解：50千瓦电力可用时供给5台机床开动，因而10台机床中同时开动的台数为不超过5台时都可以正常工作，而每台机床只有“开动”与“不开动”的两种情况，且开动的概率为12/60=1/5。不开动的概率为4/5。设10台机床中正在开动

14kP(k)C10()k()10k55着的机床台数为，则 0k10于是同时开动

着的机床台数不超过5台的概率为

P(5)p(k)k05k1k410kC0.99410()()55=k0 5由此可知，这10台机床能正常工作的概率为0.994，也就是说这10台机床的工作基本上不受电力供应紧张的影响。

例2. 某人有一串m把外形相同的钥匙其中只有一把能打开家门。有一天该人酒醉后回家，下意识地每次从m把钥匙中随便拿一把去开门，问该人第k次才把门打开的概率为多少？

解：因为该人每次从m把钥匙中任取一把（试用后不做记号又放回）所以能打开门的一把钥匙在每次试用中恰被选种的概率为1/m，易知，这是一个贝努里试验，在第k次才把门打开，意味着前面k-1次都没有打开，于是由独立性即得 111111(1)(1)(1)(1)k1mm…mm=mm P（第k次才把门打开）= 例3.（巴拿赫火柴问题）某数学家常带有两盒火柴（左、右袋中各放一盒）每次使用时，他在两盒中任抓一盒，问他首次发现一盒空时另一盒有r根的概率是多少？（r=0.1.2.…，N

1解：设选取左边衣袋为“成功”，于是相继选取衣袋，就构成了P=2的贝努里试

，N为最初盒子中的火柴数）

验。当某一时刻为先发现左袋中没有火柴而右袋中恰有r根火柴的事件相当于恰有N-r次失败发生在第2N-r根火柴，其中从左袋中取了N根，并且在2N-r+1次取火柴还要从左袋中取，才能发现左袋已经取完，因此

1N12NrN11WC2C2NNr()2Nr1Nr()()2222P（发现左袋空而右袋室而右袋还有r根）=

1C2NNr()2Nr12由对称性 首次发现右袋中没有火柴而左袋中恰有r根的概率为

1C2NNr()2Nr12故所求的概率为P=2。