浙江大学城市学院 线性代数 期末试题

一．选择题：（每小题3分,共15分） （每一个小题后面有四个选项，其中只有一个选项是正确的，把正确的选项填写在后面的括号内）

1．已知4阶矩阵A,B的行列式A1,2,3,4k,B1,2,3,5m，则

矩阵A2B的行列式A2B是 【 】. (A).k2m, (B).9(k2m) (C).8 (k2m), (D).27(k2m).

2．设A是mn阶矩阵，b是m维列向量，x是n维列向量，线性方程组Axb对应的齐次线性方程组为Ax0,命题

①.齐次线性方程组为Ax0只有唯一零解,则线性方程组Axb只有唯一解， ②.齐次线性方程组为Ax0有无穷多解,则线性方程组Axb有非零解， ③.线性方程组Axb只有唯一解, 则齐次线性方程组为Ax0只有唯一零解 ④.线性方程组Axb有无穷多解，则齐次线性方程组为Ax0有无穷多解

则上面命题中正确的个数是 【 】(A).1个， (B).2个， (C).3个， (D).4个.

23．A是n阶矩阵,且EA0,则下面结论中正确的是 【 】.

(A).1是A的特征值, (B).1是A的特征值,

(C).1和1都是A的特征值, (D).1或者1中至少有一个是A的特征值.

4．A是n阶矩阵，是A的的特征值，,是A的属于特征值的线性无关的特征向量，则下面向量中是A的属于特征值的特征向量的是 【 】. (A).k1，（其中k1是任意数） (B).k2，（其中k2是任意数）

(C).k1k2，（其中k1,k2是任意不全为零的数）

(D).k1k2，（其中k1,k2是任意数）.

225．二次型f(x1,x2)2x1 x28x1x2，它的矩阵表示是 【 】

24x12, (B).(x,x)1241x20221x1(x,x)(C).(x1,x2), (D).12x7182(A).(x1,x2)8x1x, 120x1x. 12

二．简答题：（每小题5分，共25分）（本题必须写出简要的步骤，否则不给分）

**1． 设A是4阶实矩阵，且A8，求A，（其中A是A的伴随矩阵）.

11212． 设A是3阶矩阵，且A2325，决定参数a的值，使得矩阵A的秩最小. 124a

3． 设A是54矩阵，x是4维列向量，b是5维列向量，R(A)2，向量1,2,3是

线性方程组Axb的3个解，求线性方程组Axb的通解. （其中1(2,1,1,4)T,2(1,2,0,3)T,3(0,3,1,1)T）.

4． 设,都是n维向量，且

2,3，求：22.

22

25．设A是3阶矩阵，AE，且AE,AE，计算[R(AE)1][R(AE)1] （其中R(A)表示矩阵A的秩） 二．计算题：

1111x111x11．计算行列式. （本题10分）

11y111y111

2．已知矩阵A

3．已知向量组

22，计算A2,A3,An. （本题12分） 221(1,1,2,4),2(0,3,1,2),3(3,0,7,14),4(1,1,2,0),5(2,1,5,0)， 求出向量组1,2,3,4的秩和最大无关组，并用此最大无关组来表示其余的向量.

（本题12分）

5224．设3阶实矩阵A252, 225(1).求A的特征值， （2）分别求出A的属于各特征值的所有特征向量,

(3).求正交矩阵Q,使得Q1AQQTAQ为对角矩阵,并写出此对角矩阵. （本题12分）

****5．3阶矩阵A得特征值为12,22,33，A是A的伴随矩阵，1*,2是A的,3特征值，求：

**（1）1*,2， ,3A中元素a11,a22,a33的代数余子式）. （2）A（其中A11A22A33，11,A22,A33分别是矩阵

（本题8分）

四．证明题：（本题6分）

1．设A是n阶实反对称矩阵（AA），x是n维列向量，如果存在n维列向量y，使得Axy，求证：x与y正交.

22．设A是n阶矩阵，是n维列向量，且A0，而A0，求证,A线性无关.

T