平面向量测试题(卷)与详解

平面向量

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)

→

1．(文)(2011·北京西城区期末)已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若AB∥a，则实数y的值为( )

A．5 C．7 [答案] C

3y－1→→

[解析] AB＝(3，y－1)，∵AB∥a，∴＝，∴y＝7.

12

(理)(2011·福州期末)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值为( )

A．－2 C．1 [答案] D

[解析] a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)， 3x＋1

∵a＋b与4b－2a平行，∴＝，∴x＝2，故选D.

64x－2

→

2．(2011·蚌埠二中质检)已知点A(－1,0)，B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若AB⊥a，则实数k的值为( )

A．－2 C．1 [答案] B

→→

[解析] AB＝(2,3)，∵AB⊥a，∴2(2k－1)＋3×2＝0，∴k＝－1，∴选B.

3．(2011·北京丰台期末)如果向量a＝(k,1)与b＝(6，k＋1)共线且方向相反，那么k的值为( )

A．－3 1C．－

7[答案] A

[解析] 由条件知，存在实数λ<0，使a＝λb，∴(k,1)＝(6λ，(k＋1)λ)，∴

k＝6λ

k＋1

B．6 D．8

B．0 D．2

B．－1 D．2

B．2

λ＝1

，∴k＝－3，故选A.

1

平面向量测试题(卷)与详解

4．(文)(2011·北京朝阳区期末)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且→→→→→

满足AP＝2PM，则PA·(PB＋PC)等于( )

4A．－

9 [答案] A

→→→→→

[解析] 由条件知，PA·(PB＋PC)＝PA·(2PM) 4→→→22→2

＝PA·AP＝－|PA|＝－|MA|＝－.

93

4

B．－

3

(理)(2011·黄冈期末)在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF→→→

于H，记AB、BC分别为a、b，则AH＝( )

a－b

24C．－a＋b

55[答案] B

45

a＋b

24D．－a－b

55

45

1→11→→→→→→→

[解析] AF＝b＋a，DE＝a－b，设DH＝λDE，则DH＝λa－λb，∴AH＝AD＋DH＝λa222

1＋1－λb，

2

11－λ2λ2→→→24

∵AH与AF共线且a、b不共线，∴＝，∴λ＝，∴AH＝a＋b.

115552

5．(2011·山东潍坊一中期末)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，n)，若|a＋b|＝a·b，则n＝( )

A．－3 C．1

B．－1 D．3

2

平面向量测试题(卷)与详解

[答案] D

[解析] ∵a＋b＝(3,1＋n)， ∴|a＋b|＝9＋

n＋1

2

＝n＋2n＋10，

2

又a·b＝2＋n，∵|a＋b|＝a·b，

∴n＋2n＋10＝n＋2，解之得n＝3，故选D.

→→

6．(2011·烟台调研)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则AP·(AB＋→

2

AC)( )

A．最大值为8 C．最小值为2 [答案] B

[解析] 设BC边中点为D，则 →

B．是定值6 D．与P的位置有关

AP·(AB＋AC)＝AP·(2AD)

→→→2

＝2|AP|·|AD|·cos∠PAD＝2|AD|＝6.

7．(2011·河北冀州期末)设a，b都是非零向量，那么命题“a与b共线”是命题“|a→→→→

＋b|＝|a|＋|b|”的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件 [答案] B

[解析] |a＋b|＝|a|＋|b|⇔a与b方向相同，或a、b至少有一个为0；而a与b共线包括a与b方向相反的情形，

∵a、b都是非零向量，故选B.

8．(2011·甘肃天水一中期末)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a5

＋b)·c＝，则a与c的夹角为( )

2

A．30° C．120° [答案] C

[解析] 由条件知|a|＝5，|b|＝25，a＋b＝(－1，－2)，∴|a＋b|＝5，∵(a＋

B．60° D．150°

B．必要不充分条件 D．非充分非必要条件

b)·c＝，∴5×5·cosθ＝，其中θ为a＋b与c的夹角，∴θ＝60°.

∵a＋b＝－a，∴a＋b与a方向相反，∴a与c的夹角为120°.

→

9．(文)(2011·福建厦门期末)在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足BM＝→→→

2MA，则CM·CB等于( )

A．2

B．3

3

5252

平面向量测试题(卷)与详解

C．4 [答案] B

D．6

[解析] 解法1：如图以C为原点，CA、CB为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(3,0)，

B(0,3)，设M(x0，y0)，

x0＝23－x0→→

∵BM＝2MA，∴

y0－3＝2－y0

x0＝2

，∴

y0＝1

，

→→

∴CM·CB＝(2,1)·(0,3)＝3，故选B. →→→2→

解法2：∵BM＝2MA，∴BM＝BA，

3

→→→→→→2→2→∴CB·CM＝CB·(CB＋BM)＝|CB|＋CB·BA

322

＝9＋×3×32×－＝3.

32

(理)(2011·安徽百校联考)设O为坐标原点，点A(1,1)，若点B(x，y)满足

x＋y－2x－2y＋1≥0，

1≤x≤2，1≤y≤2，

A．1 C．3 [答案] A

22

→→

则OA·OB取得最大值时，点B的个数是( )

B．2 D．无数

[解析] x＋y－2x－2y＋1≥0，即(x－1)＋(y－1)≥1，画出不等式组表示的平面区→→

域如图，OA·OB＝x＋y，设x＋y＝t，则当直线y＝－x平移到经过点C时，t取最大值，故这样的点B有1个，即C点．

2222

4

平面向量测试题(卷)与详解

→→

10．(2011·宁夏银川一中检测)a，b是不共线的向量，若AB＝λ1a＋b，AC＝a＋λ2b(λ1，

λ2∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件为( )

A．λ1＝λ2＝－1 C．λ1·λ2＋1＝0 [答案] D

→→→→

[分析] 由于向量AC，AB有公共起点，因此三点A、B、C共线只要AC，AB共线即可，根→→

据向量共线的条件可知存在实数λ使得AC＝λAB，然后根据平面向量基本定理得到两个方程，消去λ即得结论．

→→→

[解析] ∵A、B、C共线，∴AC，AB共线，根据向量共线的条件知存在实数λ使得AC＝

B．λ1＝λ2＝1 D．λ1λ2－1＝0

λAB，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由于a，b不共线，

1＝λλ1

根据平面向量基本定理得

λ2＝λ→

，消去λ得λ1λ2＝1.

11．(文)(2011·北京学普教育中心)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量

1π运算a⊕b＝(a1，a2)⊕(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m＝2，，n＝，0，点P(x，y)在

23

y＝sinx的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，且满足OQ＝m⊕OP＋n(其中O为坐标

原点)，则y＝f(x)的最大值及最小正周期分别为( )

A．2；π ；4π [答案] C

→

[解析] 设点Q(x′，y′)，则OQ＝(x′，y′)，由新定义的运算法则可得：

B．2；4π ；π

→

→

1π(x′，y′)＝2，⊕(x，y)＋，0 23

π1＝2x＋，y， 32

πx′＝2x＋3得1

y′＝2y

6

1πx＝x′－

6，∴2

y＝2y′

，

π11

代入y＝sinx，得y′＝sinx′－，则

622π11

f(x)＝sinx－，故选C.

2

2

(理)(2011·华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考)如图，在矩

5

平面向量测试题(卷)与详解

→→→

形OACB中，E和F分别是边AC和BC的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若OC＝λOE＋μOF其中λ，μ∈R，则λ＋μ是( )

[答案] B

→→→→1→

[解析] OF＝OB＋BF＝OB＋OA，

3→

D．1

OE＝OA＋AE＝OA＋OB，

→→4→→4→相加得OE＋OF＝(OA＋OB)＝OC，

33333→3→3→

∴OC＝OE＋OF，∴λ＋μ＝＋＝.

44442

→→ABAC→→→＋12．(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)已知非零向量AB与AC满足·BC＝0，

→|→

AB||AC|

→→→

1→3

且

AC1·＝－，则△ABC的形状为( ) →→2|AB||AC|

A．等腰非等边三角形 C．三边均不相等的三角形 [答案] A

→AB→

[分析] 根据平面向量的概念与运算知，表示AB方向上的单位向量，因此向量→→|AB||AB|

→

B．等边三角形 D．直角三角形

AB→→

AB→→ABAC→＋＋平行于角A的内角平分线．由·BC＝0可知，角A的内角平分线垂直于→|→→

|AC|AB||AC|

AC→

对边，再根据数量积的定义及

AC1

·＝－可求角A. →→2|AB||AC|

AB→→

→→ABAC→＋[解析] 根据·BC＝0知，角A的内角平分线与BC边垂直，说明三角形→|→

AB||AC|1

是等腰三角形，根据数量积的定义及·＝－可知A＝120°.故三角形是等腰非等

→→2|AB||AC|

6

→

ABAC→

平面向量测试题(卷)与详解

边的三角形．

[点评] 解答本题的关键是注意到向量

AC→→，分别是向量AB，AC方向上的单位向量，→→|AB||AC|

AB→→

两个单位向量的和一定与角A的内角平分线共线．

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(文)(2011·湖南长沙一中月考)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于________．

[答案]

5

[解析] 3a＋b＝(3,6)＋(－2，y)＝(1,6＋y)， －2y∵a∥b，∴＝，∴y＝－4，∴3a＋b＝(1,2)，

12∴|3a＋b|＝5.

(理)(2011·北京朝阳区期末)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.

[答案] 23

1

[解析] a·b＝|a|·|b|cos60°＝2×1×＝1，

2|a＋2b|＝|a|＋4|b|＋4a·b＝4＋4＋4×1＝12， ∴|a＋2b|＝23.

14．(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知a＝(2＋λ，1)，b＝(3，λ)，若〈a，b〉为钝角，则λ的取值范围是________．

3

[答案] λ<－且λ≠－3

2

[解析] ∵〈a，b〉为钝角，∴a·b＝3(2＋λ)＋λ＝4λ＋6<0， 3

∴λ<－，当a与b方向相反时，λ＝－3，

23

∴λ<－且λ≠－3.

2

15．(2011·黄冈市期末)已知二次函数y＝f(x)的图像为开口向下的抛物线，且对任意

2

2

2

x∈R都有f(1＋x)＝f(1－x)．若向量a＝(m，－1)，b＝(m，－2)，则满足不等式f(a·b)>f(－1)的m的取值范围为________．

[答案] 0≤m<1

[解析] 由条件知f(x)的图象关于直线x＝1对称，

∴f(－1)＝f(3)，∵m≥0，∴a·b＝m＋2≥2，由f(a·b)>f(－1)得f(m＋2)>f(3)，

7

平面向量测试题(卷)与详解

∵f(x)在[1，＋∞)上为减函数，∴m＋2<3，∴m<1， ∵m≥0，∴0≤m<1.

116．(2011·河北冀州期末)已知向量a＝sinθ，，b＝(cosθ，1)，c＝(2，m)满足4

a⊥b且(a＋b)∥c，则实数m＝________.

52

[答案] ±

2

11

[解析] ∵a⊥b，∴sinθcosθ＋＝0，∴sin2θ＝－，

425又∵a＋b＝sinθ＋cosθ，，(a＋b)∥c， 45

∴m(sinθ＋cosθ)－＝0，

2∴m＝±

2

5

sinθ＋cosθ12

，∵(sinθ＋cosθ)＝1＋sin2θ＝，∴sinθ＋cosθ＝

2

252，∴m＝±. 22

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末)已知向量a＝(－cosx，sinx)，b＝(cosx，

3cosx)，函数f(x)＝a·b，x∈[0，π]． (1)求函数f(x)的最大值；

(2)当函数f(x)取得最大值时，求向量a与b夹角的大小． [解析] (1)f(x)＝a·b＝－cosx＋3sinxcosx ＝

π1311sin2x－cos2x－＝sin2x－－.

62222

2

π11

∵x∈[0，π]，∴当x＝时，f(x)max＝1－＝.

322

π3311

(2)由(1)知x＝，a＝－，，b＝，，设向量a与b夹角为α，则cosα3222212a·b1

＝＝＝， |a|·|b|1×12

ππ∴α＝.因此，两向量a与b的夹角为.

33

18．(本小题满分12分)(2011·呼和浩特模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2

在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．

(1)求双曲线方程；

→→

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证MF1·MF2＝0.

8

平面向量测试题(卷)与详解

[解析] (1)解：∵e＝2，∴可设双曲线方程为x－y＝λ， ∵过(4，－10)点，∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴双曲线方程为x－y＝6.

→→

(2)证明：F1(－23，0)，F2(23，0)，MF1＝(－3－23，－m)，MF2＝(－3＋23，－

2

2

22

m)，

→→2

∴MF1·MF2＝－3＋m，

又∵M点在双曲线上，∴9－m＝6，即m－3＝0， →→→→∴MF1·MF2＝0，即MF1⊥MF2.

19．(本小题满分12分)(2011·宁夏银川一中月考，辽宁沈阳二中检测)△ABC中，a、πBb、c分别是角A、B、C的对边，向量m＝(2sinB,2－cos2B)，n＝(2sin2(＋)，－1)，m4

2

⊥n.

(1)求角B的大小；

(2)若a＝3，b＝1，求c的值．

[分析] 根据向量关系式得到角B的三角函数的方程，解这个方程即可求出角B，根据余弦定理列出关于c的方程，解这个方程即可．

[解析] (1)∵m⊥n，∴m·n＝0，

2

2

B2π

∴4sinB·sin＋＋cos2B－2＝0，

42

∴2sinB[1－cos

2

π＋B]＋cos2B－2＝0，

2

2

∴2sinB＋2sinB＋1－2sinB－2＝0， 1

∴sinB＝，

2

π5

∵066

π

(2)∵a＝3，b＝1，∴a>b，∴此时B＝，

6方法一：由余弦定理得：b＝a＋c－2accosB， ∴c－3c＋2＝0，∴c＝2或c＝1. 方法二：由正弦定理得＝，

sinBsinA133π2∴＝，∴sinA＝，∵0若A＝，因为B＝，所以角C＝，∴边c＝2；

362

9

2

2

2

2

ba平面向量测试题(卷)与详解

22ππ若A＝π，则角C＝π－π－＝，

3366∴边c＝b，∴c＝1. 综上c＝2或c＝1.

3x3x20．(本小题满分12分)(2011·山东济南一中期末)已知向量a＝cos，sin，b＝

22

cosx，－sinx，且x∈[π，π]．

222

(1)求a·b及|a＋b|；

(2)求函数f(x)＝a·b＋|a＋b|的最大值，并求使函数取得最大值时x的值． 3xx3xx[解析] (1)a·b＝coscos－sinsin＝cos2x，

2222|a＋b|＝＝cos3x＋cosx2＋sin3x－sinx2

2222

3xx3xx2＋2coscos－sinsin

2222

＝2＋2cos2x＝2|cosx|， π

∵x∈[，π]，∴cosx<0，

2∴|a＋b|＝－2cosx.

(2)f(x)＝a·b＋|a＋b|＝cos2x－2cosx 1232

＝2cosx－2cosx－1＝2cosx－－ 22π

∵x∈[，π]，∴－1≤cosx≤0，

2∴当cosx＝－1，即x＝π时fmax(x)＝3.

→→2

21．(本小题满分12分)(2011·河南豫南九校联考)已知OA＝(2asinx，a)，OB＝(－→→

1,23sinxcosx＋1)，O为坐标原点，a≠0，设f(x)＝OA·OB＋b，b>a.

(1)若a>0，写出函数y＝f(x)的单调递增区间；

π

(2)若函数y＝f(x)的定义域为[，π]，值域为[2,5]，求实数a与b的值．

2π2

[解析] (1)f(x)＝－2asinx＋23asinxcosx＋a＋b＝2asin2x＋＋b，

6πππ

∵a>0，∴由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得，

262

kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

π

3π6

10

平面向量测试题(卷)与详解

ππ

∴函数y＝f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)

36ππ7π13π

(2)x∈[，π]时，2x＋∈[，]，

2666π1sin2x＋∈[－1，] 62

当a>0时，f(x)∈[－2a＋b，a＋b]

－2a＋b＝2

∴a＋b＝5

a＝1

，得

b＝4

，

当a<0时，f(x)∈[a＋b，－2a＋b]

a＋b＝2

∴

－2a＋b＝5

a＝－1综上知，

b＝3

a＝－1，得

b＝3a＝1或

b＝4

22．(本小题满分12分)(2011·北京朝阳区模拟)已知点M(4,0)，N(1,0)，若动点P满→→→足MN·MP＝6|PN|.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

18→→12

(2)设过点N的直线l交轨迹C于A，B两点，若－≤NA·NB≤－，求直线l的斜率

75的取值范围．

→→→

[解析] 设动点P(x，y)，则MP＝(x－4，y)，MN＝(－3,0)，PN＝(1－x，－y)． 由已知得－3(x－4)＝6

2

2

1－x2

＋－y2

，

化简得3x＋4y＝12，得＋＝1.

43

所以点P的轨迹C是椭圆，C的方程为＋＝1.

43(2)由题意知，直线l的斜率必存在， 不妨设过N的直线l的方程为y＝k(x－1)， 设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．

x2y2

x2y2

y＝kx－1，22由xy＋＝143

2

2

消去y得(4k＋3)x－8kx＋4k－12＝0. 因为N在椭圆内，所以Δ>0.

22

11

平面向量测试题(卷)与详解

所以4k－12

xx＝.3＋4k2

12

2

2

8kx1＋x2＝2，

3＋4k2

→→

因为NA·NB＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2 ＝(1＋k)(x1－1)(x2－1) ＝(1＋k)[x1x2－(x1＋x2)＋1]

4k－12－8k＋3＋4k－91＋k＝(1＋k)＝22

3＋4k3＋4k2

2

2

2

2

2

，

18－91＋k所以－≤2

73＋4k2

122

≤－.解得1≤k≤3.

5

所以－3≤k≤－1或1≤k≤3.

12