辽宁省丹东市高一(上)期末数学试卷

2017-2018学年辽宁省丹东市高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（共60分）

1．（5分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（ ） A．

B．

C．

D．﹣

2．（5分）用二分法研究函数f（x）=x3﹣2x﹣1的理念时，若零点所在的初始区间为（1，2），则下一个有解区间为（ ）

A．（1，2） B．（1.75，2） C．（1.5，2） D．（1，1.5）

3．（5分）已知x0是函数（fx）=lnx﹣6+2x的零点，则下列四个数中最小的是（ ） A．lnx0 B．4．（5分）函数A．﹣2 B．

C． D．2

≤α≤kπ+

，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）

C．ln（lnx0） D．

的零点为1，则实数a的值为（ ）

5．（5分）集合{α|kπ+是（ ）

A．

6．（5分）函数

B． C． D．

，若f[f（﹣1）]=1，则a的值

是（ ） A．2

B．﹣2 C．

D．

7．（5分）若sinα＞0且tanα＜0，则A．第一象限

B．第二象限

的终边在（ ）

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《创新设计》图书

C．第一象限或第三象限 D．第三象限或第四象限

8．（5分）若函数y=ax﹣x﹣a有两个零点，则a的取值范围是（ ） A．（1，+∞） B．（0，1） C．（0，+∞） D．∅ 9．（5分）若

，化简

C．cosθ+sinθ

D．cosθ﹣sinθ

=（ ）

A．sinθ﹣cosθ B．sinθ+cosθ

10．（5分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（ ）

A． B． C．

D．

11．（5分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ） A．f（cosα）＞f（cosβ）

B．f（sinα）＞f（sinβ）

C．f（sinα）＜f（cosβ）

D．f（sinα）＞f（cosβ）

，若存在实数b，使函数g（x）=f

12．（5分）已知函数f（x）=

（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A．（0，2） B．（2，+∞） C．（2，4） D．（4，+∞）

二、填空题：本小题共4题，每小题5分（共20分）

13．（5分）工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式．高一某班级想用布料制作一 面如图所示的扇面参加元旦晚会．已知此扇面的中心角为60°，外圆半径为60cm，内圆半径为30cm． 则制作这样一面扇面需要的布料为 cm2．

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《创新设计》图书

14．（5分）已知函数f（x）与g（x）的图象在R上连续不断，由下表知方程f（x）=g（x）有实数解的区间是 ．

x f（x） g（x） ﹣1 ﹣0.677 ﹣0.530 0 3.011 3.451 1 5.432 4.0 2 5.980 5.241 3 7.651 6.2 15．（5分）16．（5分）f（x）=

= ．

有零点，则实数m的取值范围是 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算：sin18．（12=

（1）化简f（α）； （2）若f（α）=

，求tan（3π﹣α）的值． 分）已知

α

+tan（

）

f（α）

为第三象限角，且

．

19．（12分）计算：已知角α终边上的一点P（7m，﹣3m）（m≠0）． （Ⅰ）求

（Ⅱ）求2+sinαcosα﹣cos2α的值．

20．（12分）共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到

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的值；

《创新设计》图书

人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数h（x），其中

x是新样式单车的月产量（单位：件），利润=总

收益﹣总成本．

（1）试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数；

（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？ 21．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x﹣2﹣a（a≤0）． （1）若a=﹣1，求函数的零点；

（2）若函数在区间（0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围． 22．（12分）已知函数（1）求常数k的值； （2）设

，证明函数y=h（x）在（2，+∞）上是减函数；

为奇函数．

（3）若函数g（x）=f（x）+2x+m，且g（x）在区间[3，4]上没有零点，求实数m的取值范围．

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2017-2018学年辽宁省丹东市高一（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（共60分）

1．（5分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（ ） A．

B．

C．

D．﹣

【解答】解：∵tan60°=m， 则cos120゜=故选：B．

2．（5分）用二分法研究函数f（x）=x3﹣2x﹣1的理念时，若零点所在的初始区间为（1，2），则下一个有解区间为（ ）

A．（1，2） B．（1.75，2） C．（1.5，2） D．（1，1.5） 【解答】解：设函数f（x）=x3﹣2x﹣1，

∵f（1）=﹣2＜0，f（2）=3＞0，f（1.5）=﹣＜0， ∴下一个有根区间是（1.5，2）， 故选：C．

3．（5分）已知x0是函数（fx）=lnx﹣6+2x的零点，则下列四个数中最小的是（ ） A．lnx0 B．

C．ln（lnx0） D．

===，

【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞）， ∵f′（x）=

＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，

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《创新设计》图书

∴x0是f（x）的唯一零点，

∵f（2）=ln2﹣2＜0，f（e）=﹣5+2e＞0， ∴2＜x0＜e． ∴lnx0＞ln

＞ln

=ln2＞0，

∵lnx0＜lne=1， ∴ln（lnx0）＜0， 又（lnx0）2＞0， ∴ln（lnx0）最小． 故选：C．

4．（5分）函数A．﹣2 B．

C． D．2

的零点为1，即

的零点为1，则实数a的值为（ ）

【解答】解：∵函数解得a=﹣， 故选B．

5．（5分）集合{α|kπ+是（ ）

≤α≤kπ+

，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）

A． B． C．

≤α≤+

D．

，故角的终边在第一

【解答】解：当k取偶数时，比如k=0时，+象限．

当k取奇数时，比如k=1时，+

≤α≤+

，故角的终边在第三象限．

综上，角的终边在第一、或第三象限，故选 C．

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《创新设计》图书

6．（5分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值

是（ ） A．2

B．﹣2 C．

D．

【解答】解：∵函数，

∴f（﹣1）=2， ∴f[f（﹣1）]==

=1，

解得：a=﹣2， 故选：B

7．（5分）若sinα＞0且tanα＜0，则的终边在（ ）

A．第一象限

B．第二象限

C．第一象限或第三象限

D．第三象限或第四象限

【解答】解；∵sinα＞0且tanα＜0， ∴α位于第二象限． ∴+2kπ＜α＜2kπ+π，k∈Z， 则

+kπ＜

＜kπ+

k∈Z

当k为奇数时它是第三象限，当k为偶数时它是第一象限的角 ∴角

的终边在第一象限或第三象限，

故选：C．

8．（5分）若函数y=ax﹣x﹣a有两个零点，则a的取值范围是（ A．（1，+∞） B．（0，1） C．（0，+∞） D．∅ 【解答】解：①当0＜a＜1时，

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） 《创新设计》图书

易知函数y=ax﹣x﹣a是减函数， 故最多有一个零点，故不成立； ②当a＞1时，y′=lna•ax﹣1， 故当ax＜当ax＞

时，y′＜0； 时，y′＞0；

故y=ax﹣x﹣a在R上先减后增，

且当x→﹣∞时，y→+∞，当x→+∞时，y→+∞， 且当x=0时，y=1﹣0﹣a＜0； 故函数y=ax﹣x﹣a有两个零点； 故成立； 故选A．

9．（5分）若

，化简

C．cosθ+sinθ ，∴sinθ＜cosθ．

=

=

=cosθ﹣

D．cosθ﹣sinθ

=（ ）

A．sinθ﹣cosθ B．sinθ+cosθ 【解答】解：∵∴sinθ． 故选：D．

10．（5分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（ ）

A． B． C．

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D．

【解答】解：f（x）=x2•sin（x﹣π）=﹣x2•sinx， ∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2•sin（﹣x）=x2•sinx=﹣f（x）， ∴f（x）奇函数， ∵当x=故选：D

11．（5分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ） A．f（cosα）＞f（cosβ）

B．f（sinα）＞f（sinβ）

C．f（sinα）＜f（cosβ）

时，f（

）=﹣

＜0，

D．f（sinα）＞f（cosβ）

【解答】解：∵奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数， ∴f（x）在[0，1]上为单调递减函数， ∴f（x）在[﹣1，1]上为单调递减函数， 又α、β为锐角三角形的两内角， ∴α+β＞∴α＞

， ﹣β，

﹣β）=cosβ＞0，

∴sinα＞sin（

∴f（sinα）＜f（cosβ）． 故选C．

12．（5分）已知函数f（x）=

，若存在实数b，使函数g（x）=f

（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）

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《创新设计》图书

A．（0，2） B．（2，+∞） C．（2，4） D．（4，+∞） 【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点

∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点， 由于y=x2在[0，a）递增，y=2x在[a，+∞）递增， 要使函数f（x）在[0，+∞）不单调，

即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0， 可得2＜a＜4． 故选C．

二、填空题：本小题共4题，每小题5分（共20分）

13．（5分）工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式．高一某班级想用布料制作一 面如图所示的扇面参加元旦晚会．已知此扇面的中心角为60°，外圆半径为60cm，内圆半径为30cm． 则制作这样一面扇面需要的布料为 450π cm2．

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【解答】解：由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料为×60×60﹣×

×30×30=450π．

×

故答案为：450π．

14．（5分）已知函数f（x）与g（x）的图象在R上连续不断，由下表知方程f（x）=g（x）有实数解的区间是 （0，1） ．

x f（x） g（x） ﹣1 ﹣0.677 ﹣0.530 0 3.011 3.451 1 5.432 4.0 2 5.980 5.241 3 7.651 6.2 【解答】解：设h（x）=f（x）﹣g（x），则

∵h（0）=f（0）﹣g（0）=﹣0.44＜0，h（1）=f（1）﹣g（1）=0.532＞0， ∴h（x）的零点在区间（0，1）， 故答案为：（0，1）

15．（5分）

= ﹣1 ．

【解答】解：=

故答案为：﹣1．

16．（5分）f（x）=【解答】解：函数f（x）=

=﹣1，

=

有零点，则实数m的取值范围是 （﹣1，1） ．

有零点，

可得函数y==的图象和直线y=m有交点，如图所示：

数形结合可得﹣1＜m＜1，

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∴实数m的取值范围是（﹣1，1）， 故答案为：（﹣1，1）．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算：sin【解答】解：sin==

18．（12=

（1）化简f（α）； （2）若f（α）=【

解

答

，求tan（3π﹣α）的值． 】

解

：

（

1

）

f

（

α

）

分）已知

α

为第三象限角，且

．

f（α）

． +tan（+tan（

）

）

==；

（2）由，得，

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又α为第三象限角，∴∴

．

，

19．（12分）计算：已知角α终边上的一点P（7m，﹣3m）（m≠0）． （Ⅰ）求

（Ⅱ）求2+sinαcosα﹣cos2α的值． 【解答】解：依题意有（1）原式=（2）原式=2+

20．（12分）共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数h（x），其中

x是新样式单车的月产量（单位：件），利润=总

收益﹣总成本．

（1）试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数；

（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）依题设，总成本为20000+100x， 则

（2）当0≤x≤400时，

的值；

； =

（5分） =2+

=2﹣

=

（5分）

； ，

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则当x=300时，ymax=25000；

当x＞400时，y=60000﹣100x是减函数， 则y＜60000﹣100×400=20000，

∴当月产量x=300件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元．

21．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x﹣2﹣a（a≤0）． （1）若a=﹣1，求函数的零点；

（2）若函数在区间（0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围． 【解答】解：（1）若a=﹣1，则f（x）=﹣x2+2x﹣1， 由f（x）=﹣x2+2x﹣1=0，得x2﹣2x+1=0，解得x=1， ∴当a=﹣1时，函数f（x）的零点是1．…（4分） （2）已知函数f（x）=ax2+2x﹣2﹣a，且a≤0

①当a=0时，f（x）=2x﹣2，由2x﹣2=0，得x=1，且1∈（0，1]， ∴当a=0时，函数f（x）在区间（0，1]上恰有一个零点．…（6分） ②当a≠0时，由 f（x）=ax2+2x﹣2﹣a=0易得f（1）=0 ∴f（x）=0必有一个零点 1∈（0，1]…（7分） 设另一个零点为x0，则即

…（8分）

∵函数f（x）在区间（0，1]上恰有一个零点．从而 x0≤0，或x0≥1

解得a≤﹣2或﹣1≤a＜0…（11分）

综合①②得，a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，0]． …（12分）

22．（12分）已知函数（1）求常数k的值； （2）设

，证明函数y=h（x）在（2，+∞）上是减函数；

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为奇函数．

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（3）若函数g（x）=f（x）+2x+m，且g（x）在区间[3，4]上没有零点，求实数m的取值范围．

【解答】解：（1）∵f（x）为奇函数 ∴f（﹣x）=﹣f（x）， 即

=﹣

，

∴4﹣k2x2=4﹣x2，整理得k2=1．

∴k=﹣1（k=1使f（x）无意义而舍去）． （2）由（1）k=﹣1，故h（x）=设a＞b＞2， ∴h（a）﹣h（b）=

﹣

=

，

∵a＞b＞2时，b﹣a＜0，a﹣2＞0，b﹣2＞0， ∴h（a）﹣h（b）＜0， ∴h（x）在（2，+∞）递减，

（3）由（2）知，f（x）在（2，+∞）递增， ∴g（x）=f（x）+2x+m在[3，4]递增． ∵g（x）在区间[3，4]上没有零点， ∴g（3）＞0或g（4）＜0， ∴m＞log35+8或m＜﹣15．

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