2017-2018学年辽宁省丹东市高一(上)期末数学试卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(共60分)
1.(5分)已知tan60°=m,则cos120゜的值是( ) A.
B.
C.
D.﹣
2.(5分)用二分法研究函数f(x)=x3﹣2x﹣1的理念时,若零点所在的初始区间为(1,2),则下一个有解区间为( )
A.(1,2) B.(1.75,2) C.(1.5,2) D.(1,1.5)
3.(5分)已知x0是函数(fx)=lnx﹣6+2x的零点,则下列四个数中最小的是( ) A.lnx0 B.4.(5分)函数A.﹣2 B.
C. D.2
≤α≤kπ+
,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)
C.ln(lnx0) D.
的零点为1,则实数a的值为( )
5.(5分)集合{α|kπ+是( )
A.
6.(5分)函数
B. C. D.
,若f[f(﹣1)]=1,则a的值
是( ) A.2
B.﹣2 C.
D.
7.(5分)若sinα>0且tanα<0,则A.第一象限
B.第二象限
的终边在( )
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《创新设计》图书
C.第一象限或第三象限 D.第三象限或第四象限
8.(5分)若函数y=ax﹣x﹣a有两个零点,则a的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(0,1) C.(0,+∞) D.∅ 9.(5分)若
,化简
C.cosθ+sinθ
D.cosθ﹣sinθ
=( )
A.sinθ﹣cosθ B.sinθ+cosθ
10.(5分)已知函数f(x)=x2•sin(x﹣π),则其在区间[﹣π,π]上的大致图象是( )
A. B. C.
D.
11.(5分)已知奇函数f(x)在[﹣1,0]上为单调减函数,又α,β为锐角三角形内角,则( ) A.f(cosα)>f(cosβ)
B.f(sinα)>f(sinβ)
C.f(sinα)<f(cosβ)
D.f(sinα)>f(cosβ)
,若存在实数b,使函数g(x)=f
12.(5分)已知函数f(x)=
(x)﹣b有两个零点,则实数a的取值范围是( ) A.(0,2) B.(2,+∞) C.(2,4) D.(4,+∞)
二、填空题:本小题共4题,每小题5分(共20分)
13.(5分)工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式.高一某班级想用布料制作一 面如图所示的扇面参加元旦晚会.已知此扇面的中心角为60°,外圆半径为60cm,内圆半径为30cm. 则制作这样一面扇面需要的布料为 cm2.
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14.(5分)已知函数f(x)与g(x)的图象在R上连续不断,由下表知方程f(x)=g(x)有实数解的区间是 .
x f(x) g(x) ﹣1 ﹣0.677 ﹣0.530 0 3.011 3.451 1 5.432 4.0 2 5.980 5.241 3 7.651 6.2 15.(5分)16.(5分)f(x)=
= .
有零点,则实数m的取值范围是 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)计算:sin18.(12=
(1)化简f(α); (2)若f(α)=
,求tan(3π﹣α)的值. 分)已知
α
+tan(
)
f(α)
为第三象限角,且
.
19.(12分)计算:已知角α终边上的一点P(7m,﹣3m)(m≠0). (Ⅰ)求
(Ⅱ)求2+sinαcosα﹣cos2α的值.
20.(12分)共享单车是城市慢行系统的一种模式创新,对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效,由于停取方便、租用价格低廉,各色共享单车受到
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的值;
《创新设计》图书
人们的热捧.某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车,已知生产新样式单车的固定成本为20000元,每生产一件新样式单车需要增加投入100元.根据初步测算,自行车厂的总收益(单位:元)满足分段函数h(x),其中
x是新样式单车的月产量(单位:件),利润=总
收益﹣总成本.
(1)试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数;
(2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大?最大利润是多少? 21.(12分)已知函数f(x)=ax2+2x﹣2﹣a(a≤0). (1)若a=﹣1,求函数的零点;
(2)若函数在区间(0,1]上恰有一个零点,求a的取值范围. 22.(12分)已知函数(1)求常数k的值; (2)设
,证明函数y=h(x)在(2,+∞)上是减函数;
为奇函数.
(3)若函数g(x)=f(x)+2x+m,且g(x)在区间[3,4]上没有零点,求实数m的取值范围.
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参与试题解析
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(共60分)
1.(5分)已知tan60°=m,则cos120゜的值是( ) A.
B.
C.
D.﹣
【解答】解:∵tan60°=m, 则cos120゜=故选:B.
2.(5分)用二分法研究函数f(x)=x3﹣2x﹣1的理念时,若零点所在的初始区间为(1,2),则下一个有解区间为( )
A.(1,2) B.(1.75,2) C.(1.5,2) D.(1,1.5) 【解答】解:设函数f(x)=x3﹣2x﹣1,
∵f(1)=﹣2<0,f(2)=3>0,f(1.5)=﹣<0, ∴下一个有根区间是(1.5,2), 故选:C.
3.(5分)已知x0是函数(fx)=lnx﹣6+2x的零点,则下列四个数中最小的是( ) A.lnx0 B.
C.ln(lnx0) D.
===,
【解答】解:f(x)的定义域为(0,+∞), ∵f′(x)=
>0,
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,
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∴x0是f(x)的唯一零点,
∵f(2)=ln2﹣2<0,f(e)=﹣5+2e>0, ∴2<x0<e. ∴lnx0>ln
>ln
=ln2>0,
∵lnx0<lne=1, ∴ln(lnx0)<0, 又(lnx0)2>0, ∴ln(lnx0)最小. 故选:C.
4.(5分)函数A.﹣2 B.
C. D.2
的零点为1,即
的零点为1,则实数a的值为( )
【解答】解:∵函数解得a=﹣, 故选B.
5.(5分)集合{α|kπ+是( )
≤α≤kπ+
,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)
A. B. C.
≤α≤+
D.
,故角的终边在第一
【解答】解:当k取偶数时,比如k=0时,+象限.
当k取奇数时,比如k=1时,+
≤α≤+
,故角的终边在第三象限.
综上,角的终边在第一、或第三象限,故选 C.
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6.(5分)函数,若f[f(﹣1)]=1,则a的值
是( ) A.2
B.﹣2 C.
D.
【解答】解:∵函数,
∴f(﹣1)=2, ∴f[f(﹣1)]==
=1,
解得:a=﹣2, 故选:B
7.(5分)若sinα>0且tanα<0,则的终边在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第一象限或第三象限
D.第三象限或第四象限
【解答】解;∵sinα>0且tanα<0, ∴α位于第二象限. ∴+2kπ<α<2kπ+π,k∈Z, 则
+kπ<
<kπ+
k∈Z
当k为奇数时它是第三象限,当k为偶数时它是第一象限的角 ∴角
的终边在第一象限或第三象限,
故选:C.
8.(5分)若函数y=ax﹣x﹣a有两个零点,则a的取值范围是( A.(1,+∞) B.(0,1) C.(0,+∞) D.∅ 【解答】解:①当0<a<1时,
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) 《创新设计》图书
易知函数y=ax﹣x﹣a是减函数, 故最多有一个零点,故不成立; ②当a>1时,y′=lna•ax﹣1, 故当ax<当ax>
时,y′<0; 时,y′>0;
故y=ax﹣x﹣a在R上先减后增,
且当x→﹣∞时,y→+∞,当x→+∞时,y→+∞, 且当x=0时,y=1﹣0﹣a<0; 故函数y=ax﹣x﹣a有两个零点; 故成立; 故选A.
9.(5分)若
,化简
C.cosθ+sinθ ,∴sinθ<cosθ.
=
=
=cosθ﹣
D.cosθ﹣sinθ
=( )
A.sinθ﹣cosθ B.sinθ+cosθ 【解答】解:∵∴sinθ. 故选:D.
10.(5分)已知函数f(x)=x2•sin(x﹣π),则其在区间[﹣π,π]上的大致图象是( )
A. B. C.
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D.
【解答】解:f(x)=x2•sin(x﹣π)=﹣x2•sinx, ∴f(﹣x)=﹣(﹣x)2•sin(﹣x)=x2•sinx=﹣f(x), ∴f(x)奇函数, ∵当x=故选:D
11.(5分)已知奇函数f(x)在[﹣1,0]上为单调减函数,又α,β为锐角三角形内角,则( ) A.f(cosα)>f(cosβ)
B.f(sinα)>f(sinβ)
C.f(sinα)<f(cosβ)
时,f(
)=﹣
<0,
D.f(sinα)>f(cosβ)
【解答】解:∵奇函数y=f(x)在[﹣1,0]上为单调递减函数, ∴f(x)在[0,1]上为单调递减函数, ∴f(x)在[﹣1,1]上为单调递减函数, 又α、β为锐角三角形的两内角, ∴α+β>∴α>
, ﹣β,
﹣β)=cosβ>0,
∴sinα>sin(
∴f(sinα)<f(cosβ). 故选C.
12.(5分)已知函数f(x)=
,若存在实数b,使函数g(x)=f
(x)﹣b有两个零点,则实数a的取值范围是( )
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A.(0,2) B.(2,+∞) C.(2,4) D.(4,+∞) 【解答】解:∵g(x)=f(x)﹣b有两个零点
∴f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点, 由于y=x2在[0,a)递增,y=2x在[a,+∞)递增, 要使函数f(x)在[0,+∞)不单调,
即有a2>2a,由g(a)=a2﹣2a,g(2)=g(4)=0, 可得2<a<4. 故选C.
二、填空题:本小题共4题,每小题5分(共20分)
13.(5分)工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式.高一某班级想用布料制作一 面如图所示的扇面参加元旦晚会.已知此扇面的中心角为60°,外圆半径为60cm,内圆半径为30cm. 则制作这样一面扇面需要的布料为 450π cm2.
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【解答】解:由扇形的面积公式,可得制作这样一面扇面需要的布料为×60×60﹣×
×30×30=450π.
×
故答案为:450π.
14.(5分)已知函数f(x)与g(x)的图象在R上连续不断,由下表知方程f(x)=g(x)有实数解的区间是 (0,1) .
x f(x) g(x) ﹣1 ﹣0.677 ﹣0.530 0 3.011 3.451 1 5.432 4.0 2 5.980 5.241 3 7.651 6.2 【解答】解:设h(x)=f(x)﹣g(x),则
∵h(0)=f(0)﹣g(0)=﹣0.44<0,h(1)=f(1)﹣g(1)=0.532>0, ∴h(x)的零点在区间(0,1), 故答案为:(0,1)
15.(5分)
= ﹣1 .
【解答】解:=
故答案为:﹣1.
16.(5分)f(x)=【解答】解:函数f(x)=
=﹣1,
=
有零点,则实数m的取值范围是 (﹣1,1) .
有零点,
可得函数y==的图象和直线y=m有交点,如图所示:
数形结合可得﹣1<m<1,
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∴实数m的取值范围是(﹣1,1), 故答案为:(﹣1,1).
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)计算:sin【解答】解:sin==
18.(12=
(1)化简f(α); (2)若f(α)=【
解
答
,求tan(3π﹣α)的值. 】
解
:
(
1
)
f
(
α
)
分)已知
α
为第三象限角,且
.
f(α)
. +tan(+tan(
)
)
==;
(2)由,得,
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又α为第三象限角,∴∴
.
,
19.(12分)计算:已知角α终边上的一点P(7m,﹣3m)(m≠0). (Ⅰ)求
(Ⅱ)求2+sinαcosα﹣cos2α的值. 【解答】解:依题意有(1)原式=(2)原式=2+
20.(12分)共享单车是城市慢行系统的一种模式创新,对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效,由于停取方便、租用价格低廉,各色共享单车受到人们的热捧.某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车,已知生产新样式单车的固定成本为20000元,每生产一件新样式单车需要增加投入100元.根据初步测算,自行车厂的总收益(单位:元)满足分段函数h(x),其中
x是新样式单车的月产量(单位:件),利润=总
收益﹣总成本.
(1)试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数;
(2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大?最大利润是多少? 【解答】解:(1)依题设,总成本为20000+100x, 则
(2)当0≤x≤400时,
的值;
; =
(5分) =2+
=2﹣
=
(5分)
; ,
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则当x=300时,ymax=25000;
当x>400时,y=60000﹣100x是减函数, 则y<60000﹣100×400=20000,
∴当月产量x=300件时,自行车厂的利润最大,最大利润为25000元.
21.(12分)已知函数f(x)=ax2+2x﹣2﹣a(a≤0). (1)若a=﹣1,求函数的零点;
(2)若函数在区间(0,1]上恰有一个零点,求a的取值范围. 【解答】解:(1)若a=﹣1,则f(x)=﹣x2+2x﹣1, 由f(x)=﹣x2+2x﹣1=0,得x2﹣2x+1=0,解得x=1, ∴当a=﹣1时,函数f(x)的零点是1.…(4分) (2)已知函数f(x)=ax2+2x﹣2﹣a,且a≤0
①当a=0时,f(x)=2x﹣2,由2x﹣2=0,得x=1,且1∈(0,1], ∴当a=0时,函数f(x)在区间(0,1]上恰有一个零点.…(6分) ②当a≠0时,由 f(x)=ax2+2x﹣2﹣a=0易得f(1)=0 ∴f(x)=0必有一个零点 1∈(0,1]…(7分) 设另一个零点为x0,则即
…(8分)
∵函数f(x)在区间(0,1]上恰有一个零点.从而 x0≤0,或x0≥1
解得a≤﹣2或﹣1≤a<0…(11分)
综合①②得,a的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪[﹣1,0]. …(12分)
22.(12分)已知函数(1)求常数k的值; (2)设
,证明函数y=h(x)在(2,+∞)上是减函数;
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为奇函数.
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(3)若函数g(x)=f(x)+2x+m,且g(x)在区间[3,4]上没有零点,求实数m的取值范围.
【解答】解:(1)∵f(x)为奇函数 ∴f(﹣x)=﹣f(x), 即
=﹣
,
∴4﹣k2x2=4﹣x2,整理得k2=1.
∴k=﹣1(k=1使f(x)无意义而舍去). (2)由(1)k=﹣1,故h(x)=设a>b>2, ∴h(a)﹣h(b)=
﹣
=
,
∵a>b>2时,b﹣a<0,a﹣2>0,b﹣2>0, ∴h(a)﹣h(b)<0, ∴h(x)在(2,+∞)递减,
(3)由(2)知,f(x)在(2,+∞)递增, ∴g(x)=f(x)+2x+m在[3,4]递增. ∵g(x)在区间[3,4]上没有零点, ∴g(3)>0或g(4)<0, ∴m>log35+8或m<﹣15.
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