高中物理学习材料 （灿若寒星**整理制作）
第二章 匀变速直线运动的研究
1.掌握用打点计时器探究匀变速直线运动和处理数据的一般方法。 2.知道匀速直线运动及匀变速直线运动的𝑣−𝑡图象、𝑥−𝑡图象。 3.掌握匀变速直线运动的规律及应用。
4.理解什么是自由落体运动，掌握自由落体运动的规律及应用。
一、探究匀变速直线运动的规律的实验分析 1.纸带问题处理
（1）瞬时速度：由平均速度来替代，如图2-1中𝑣𝐵= ， 𝑣𝐶= 。
（2）加速度
①方法一：逐差法。匀变速直线运动的物体在连续相等的时间𝑇内的位移之差为一恒量Δ𝑥=𝑎𝑇2，同理可证明𝑥𝑚－𝑥𝑛=（𝑚－𝑛）𝑎𝑇2 ，依次记相邻两计数点间距为𝑥1、𝑥2……𝑥𝑛，（𝑛为奇数时，舍弃中间的那段）相邻两计数点所用时间记为𝑇，则
a.偶数段，𝑎= （𝑛为6时） b.奇数段，𝑎= （𝑛为5时）
②方法二：求出各点速度后，做出𝑣−𝑡图象，利用图象的斜率求解加速度。
2.利用直线运动的物体在连续相等的时间𝑇内的位移之差为一恒量，判断物体是否做 。 3.利用探究匀变速直线运动的规律的方法探究自由落体运动的加速度，判
图2-1
断 。
例1 用打点计时器探究小车速度随时间变化规律实验的主要步骤有： A.把打点计时器固定在长木板的一端，接好电路； B.把小车停在靠近打点计时器处，接通电源后开启小车； C.换上纸带，重复实验三次，选择一条较理想的纸带；
D.把一根细绳系在小车上，细绳跨过定滑轮挂上钩码，把纸带穿过打点计时器，并把它的一端固定在小车后面；
E.断开电源，取下纸带。
（1）按合理的实验顺序排列上述步骤 ； （2）如图2-2所示为某次实验的纸带，测得𝑥𝐴𝐵=1.2 cm，𝑥𝐴𝐶=3.6 cm，𝑥𝐴𝐷=7.2 cm，计数点𝐴、𝐵、𝐶、𝐷中，每相邻的两个计数点之间有四个小点未画出，则运动物体的加速度𝑎= m/s2，打𝐵点时运动物体的速度𝑣𝐵= m/s。
二、匀变速直线运动的规律及应用 1.匀变速直线运动
（1）定义： 。 （2）种类： ， 。 2.匀变速直线运动的规律 （1）基本公式：
匀变速直线运动速度和时间的关系表达式：
位移和时间的关系表达式： 速度和位移的关系表达式： （2）匀变速直线运动的几个重要结论：
①某段时间内中间时刻的瞬时速度𝑣𝑡，等于这段时间内的平均速度𝑣̅，也等于这段时间内初、末速度
2 图2-2 之和的一半，即 。
②某段位移中间位置的瞬时速度与这段位移初、末速度的关系为 ，可以证明，无论匀加速还是匀减速，都有 。
③以加速度𝑎做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间间隔𝑇内的位移之差为一恒量，
即Δ𝑥＝𝑥2－𝑥1＝𝑥3－𝑥2＝…＝𝑥𝑛−𝑥𝑛−1＝𝑎𝑇2。
④初速度为零的匀加速直线运动的四个比例关系：（𝑇为时间单位） a.1𝑇末、2𝑇末、3𝑇末…的速度之比𝑣1∶𝑣2∶𝑣3∶…∶𝑣𝑛＝ b.前1𝑇内、前2𝑇内、前3𝑇内…的位移之比𝑥1∶𝑥2∶𝑥3∶…∶𝑥𝑛＝
c.第一个𝑇内、第二个𝑇内、第三个𝑇内…的位移之比𝑥Ⅰ∶𝑥Ⅱ∶𝑥Ⅲ∶…∶𝑥𝑛＝ d.从计时开始起，物体经过连续相等位移所用的时间之比𝑡1∶𝑡2∶𝑡3∶…∶𝑡𝑛＝ 说明：（1）对于匀减速直线运动，必须特别注意其特性： ①求某时刻的速度或位移时一定要先判断物体是否已经停止运动；
②对末速度为零的匀减速直线运动，可以倒过来看成初速度为零的匀加速直线运动。 （2）对于多过程匀变速直线运动问题，要养成画示意图的习惯。
例2 一辆汽车从𝑂点由静止出发沿𝑥轴做直线运动，为研究汽车运动规律而记录了它在各个时刻的位置和速度，见下表（计时器的精度为1 s） 时刻𝑡/s 位置坐标 𝑥/m 瞬时速度 𝑣/（m·s−1） 0 0 0 1 0.5 1 2 2 2 3 4.5 3 4 8 4 5 12 4 6 16 4 7 20 4 （1）判断汽车在所观察时间内的运动性质； （2）求汽车在前4 s内的加速度的大小； （3）求汽车在3.5 s末的瞬时速度； （4）求汽车前7 s的位移。
3.匀变速直线运动的𝑥−𝑡图象和𝑣−𝑡图象
（1） 位移—时间（𝑥−𝑡）图象：在平面直角坐标系中，用纵轴表示位移𝑥，用横轴表示时间𝑡，通过描点和连线后得到的图象，简称位移图象。位移时间图象表示位移随时间的变化规律。
理解要点：
①𝑥−𝑡图象只能用来描述直线运动，反映 的变化关系，图象不表示物体的运动轨迹。 ②由𝑥−𝑡图象可判断各时刻物体的位置，或相对坐标原点的位移。 ③由𝑥−𝑡图象的斜率判断物体运动的性质。
若𝑥−𝑡图象是一条倾斜直线，则表示物体做 ，直线的斜率表示物体的 。 若𝑥−𝑡图象与时间轴平行，说明斜率为零，即物体的速度为 ，表示物体处于 。 ④图象截距含义：图线在纵轴上的截距表示开始计时时物体的位移不为零（相对于参考点）。 图线在横轴上的截距表示物体过一段时间才从参考点出发。
⑤两图线相交说明两物体 ，其交点的横坐标表示相遇的 ，纵坐标表示 。
（2）速度—时间（𝑣−𝑡）图象：对于匀变速直线运动来说，其速度随时间变化的𝑣−𝑡图线如图2-3所示，对于该图线，应把握的有如下四个要点。
图2-3 ①纵轴上截距的物理意义是运动物体的 。
②图线斜率的物理意义是运动物体的 ；图线是直线表示物体做 ；图线是曲线表示物体做 。
③图线下“面积”的物理意义是运动物体在相应的时间内所发生的 。
④两图线相交说明两物体在交点时的 相等，图线在横轴下方，表示物体运动的方向与正方向 。
（3）识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。
①轴：首先明确所给的图象是什么图象。即认清图象中横、纵轴所代表的物理量及它们的函数关系。特别是那些图形相似容易混淆的图象，更要注意区分。
②线：表示研究对象的变化过程和规律，如𝑣−𝑡图象中图线若为倾斜直线，则表示物体做匀变速直线运动。
③斜率：表示横、纵坐标上两物理量的比值，常有一个重要的物理量与之对应。用于求解定量计算对应物理量的大小和定性分析变化的快慢问题。如𝑥−𝑡图象的斜率表示速度大小，𝑣−𝑡图象的斜率表示加速度大小。
④面积：图线与坐标轴围成的面积常与某一表示过程的物理量相对应。如𝑣−𝑡图线与横轴包围的“面积”大小表示位移大小，如图2-4②运动前6 s位移为9 m。
⑤截距：表示横、纵坐标两物理量在“边界”条件下物理量的大小。由此往往能得到一个很有意义的物理量。如图2-4中②线的𝑣0=3 m/s。
⑥交点：如位移—时间图象的交点表示两物体相遇。
例3 一质点做直线运动的𝑣−𝑡图象如图2-5所示，则（ ） A.3 s～4 s内质点做匀减速直线运动 B.3 s末质点的速度为零，且运动方向不变
图2-4
2-5
C.0～2 s内质点做匀加速直线运动，4 s～6 s内质点做匀减速直线运动，加速度大小均为2 m/s2 D.6 s内质点的位移为8 m
例4 质点甲、乙做直线运动的位移—时间图象如图2-6所示，则（ ） A.在运动过程中，质点甲比质点乙运动得快 B.当𝑡=𝑡1时刻，两质点的位移相同 C.当𝑡=𝑡1时刻，两质点的速度相同 D.质点甲的加速度大于质点乙的加速度
例5 两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为𝑣0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知前车在刹车过程中所行的距离为𝑥，若要保证两辆车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为（ ）
A.𝑥
4.追及与相遇问题
物体在同一直线上运动，往往涉及追及、相遇或避免碰撞等问题。讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题。
解决追及与相遇问题应注意两点： （1）两个关系，即时间关系和位移关系；
（2）一个条件，即两者 相等，它往往是物体能否追上、追不上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
例6 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车从静止开始以3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车，求：
（1）汽车在追上自行车之前两车间的最大距离是多少？ （2）追上自行车时汽车的速度是多大？
例7 甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，乙前甲后地同向匀速行驶。甲、乙两车的速度分别为
B.2𝑥
C.3𝑥
D.4𝑥
图2-6
40 m/s 和20 m/s。当两车距离250 m时两车同时刹车，已知两车的刹车加速度分别为1.0 m/s2和 m/s2，
3
1
问：两车会不会相撞？
5.匀变速直线运动问题的解题思想
（1）选定研究对象，分析各阶段运动性质； （2）根据题意画运动示意图；
（3）根据已知条件及待求量，选定有关规律列出方程，注意抓住加速度𝑎这一关键量； （4）统一单位制，求解方程；
（5）解题方法：①列方程法；②列不等式法；③推理分析法；④图象法。
例8 从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车。汽车从开出到停止总共历时20 s，行进了50 m。求汽车的最大速度。
例9 如图2-7所示，物体从𝐴点由静止开始做匀加速直线运动，到达𝐵点后，在外力作用下做匀减速直线运动到𝐶点恰好停下。用速度传感器测量物体的瞬时速度，下表给出了部分测量数据。 𝑡/s 0.0 0.2 0.4 0.4 0.8 … … 2.4 2.0 2.6 1.0 … … 图2-7 𝑣/（m·s−1） 0.0 求：（1）在𝐴𝐵段的加速度𝑎1，𝐵𝐶段的加速度𝑎2 ； （2）𝐴𝐵段和𝐵𝐶段长度之比； （3）𝑡＝2.1 s时瞬时速度𝑣的大小。
三、自由落体运动与竖直上抛运动 1.自由落体运动
（1）概念： 。 （2）性质： 。
（3）自由落体运动的规律： 。
（4）说明：对于自由落体运动，物体下落的时间仅与高度有关，与物体所受的重力无关。重力加速度是由于地球的引力而产生的，因此其方向总是竖直向下。其大小在地球上不同地方略有不同，在地球表面，纬度越高，重力加速度的值就越大，在赤道上，重力加速度的值最小，但这种差异并不大。
2.竖直上抛运动
（1）定义： 。 （2）特点： 。 运动规律： 。 （3）说明：对于竖直上抛运动，有分段分析法和整体法两种处理方法。
分段法以物体上升到最高点为运动的分界点，根据可逆性可得𝑡上=𝑡下=0，上升最大高度𝐻=0，同
𝑔
2𝑔
𝑣
𝑣2
一高度速度大小相等，方向相反。竖直上抛运动具有对称性和多值性。
整体法是以抛出点为计时起点，速度、位移用下列公式求解： 、 。
注意：若物体在上升和下落过程中还受到空气阻力，则物体的运动不再是竖直上抛运动，分别计算上升𝑎上与下降𝑎下的加速度，利用匀变速运动公式问题同样可以得到解决。
（4）竖直上抛运动的特征：竖直上抛运动可分为“上升阶段”和“下落阶段”。前一阶段是匀减速直线运动，后一阶段则是初速度为零的匀加速直线运动（自由落体运动），具备的特征主要有：
①时间对称——“上升阶段”和“下落阶段”通过同一段距离所经历的时间相等； ②速率对称——“上升阶段”和“下落阶段”通过同一位置时的速率大小相等。 （5）竖直上抛的几个结论：最大高度 ，上升时间 。
例10 某人以竖直方向从地面朝天空开枪，子弹的初速度大小为30 m/s，每隔1 s发射一颗子弹，在发射了许多子弹后（子弹仍在发射中），假定子弹在升降过程中都不相碰，不计空气阻力，问：
（1）子弹上升的最大高度为多少? （2）在任意时刻空中有几颗子弹?
（不计空气阻力，重力加速度𝑔取10 m/s2）
例11 研究发现，物体在火星上的落体规律与在地球上相似。若在火星表面上，做自由落体运动的物体在开始1.0 s内下落ℎ1＝4.0 m。求：
（1）火星表面的重力加速度𝑔。 （2）该物体落下ℎ2＝36 m时的速度𝑣2。
（3）若在火星表面以𝑣0=20 m/s的速度竖直上抛该物体，则物体运动到距离抛出点上方高度为ℎ3=24 m时，需要多长时间？不计一切气体阻力。
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