怎样求y=Asin(ωx+ψ)的解析式

学习了正弦函数y=Asin(ωx+)(A>0，ω>0)后，经常会遇到确定其解析式的问题。这里振幅A常由函数的最值确定，ω则由周期公式T=本文介绍确定正弦函数解析式的两种基本方法。

一、待定系数法 分析正弦曲线y=Asin(ωx+)(A>0，ω>0)满足的几何条件，列出关于A、ω、的三个方程，从而解出A、ω、，这就是待定系数法。

例1 若函数y=Asin(ωx+)(A>0，ω>0，0<<2π)的最小值是－2，周期为它的图象经过点(0,－2)，求此函数的解析式。

解析： ∵函数的最小值是－2，∴A=|－2|=2。∵函数的周期是

2来求得，问题的关键是求初相。

2，且3222，∴=，33解得ω=3。∵函数的图象经过点(0,－2),∴将x=0，y=－2及A=2代入y=Asin(ωx+)

得－2=2sin，sin=－y=2sin(3x+

257.∵0<<2π，∴y=或。故所求函数的解析式是： 24457)或y=2sin(3x+) 441。 2A 例2 已知函数y=Asin(ωx+)(A>0，ω>0)的图象如图1所示，求此函数的解析式。 分析：由图1提供的信息，正弦曲线相邻的最大、最小值之间为周期的∴

423T52=－=，即T=，∴ω==

3T22663y 又显然有A=2，下面只须求初相。

0 C 3设曲线与x轴交C，易知，C(,0)将A=2，ω=，x=，

222－2 B 3y=0代入y=Asin(ωx+)得0=2sin(+)。 图1

43∴=kπ－，(k∈Z)。注意到y=Asin(ωx+)的图象是由y=sinx的图象，经过振幅、周

43期变换，且向右平移而得，当k=0时，在区间[－π,π]上有解。∴=－，故函数的

433解析式是y=2sin(x－)。

24二、平移变换 我们知道，设A>0，ω>0，正弦函数y=Asin(ωx+)=Asin[ω(x+)]

的图象，可以看成是由函数y=sinx的图象经过下面变换而得到： y=sinx的图象 →y=Asinx

A 656x

的图象（振幅变换）→y=Asinωx的图象（周期变换）→y=Asin[ω(x+换），这里抓住特殊点的平移来求。

)]的图象（平移变例3 图2是正弦曲线y=Asin(ωx+)(A>0，ω>0)的一个周期的图象，试求此函数的解析式。

y 2T3分析 这里=，∴T=3π，ω=。

322∵函数的图象可以看成是y=sinx的图象经过振幅变换、

-3 55周期变换后，再向左平移个单位。∴=，即=

22525图2 ·=。下面只须再由图象过点(0,－3)来确定A。 43355将x=0，y=－3及=代入y=Asin(ωx+)得－3=Asin，A=2，故函数的解

3325析式是y=2sin(x+)。

33评注：由y=Asinωx的图象经过平移得到y=Asin[ω(x+)]的图象，可从图像上特殊点

5的变化得到平移的规则，如本题中向左平移个单位等。

2三、“五点法” 我们知道，用“五点法”作函数y=Asin(ωx+)的简图，主要是作变

52π 0 x 3，π，，2π来求出对应的x的值，确定图象五个关

22键点的位置。而求其表达式，则相当于X，x已知，求ω与。

量代换X=ωx+，由X取0，

例4 如图3，写出函数y=Asin(ωx+)(A>0，ω>0)的一个表达式。

解析： 易知A=23，令X=ωx+。图象中的特征点(2,－23)，(6,0)对应y=sinX图象中五个关键点的两点(

3,－1)，(2π,0)，因此， 2y 328 2，解得5624∴y=23sin(0 －23 2 6 x 5x+)

48评注： 建立x，X对应点间的联系，必须注意特征点是与y=sinx图象上五个关键点中

33,1)，(π,0)，(,－1)，(2π,0)的哪一个相对应，如当ω·2+=时，只能

222有ω·6+=2π。而已知图象求表达式，答案是不唯一的，但只是值不同，可以相差2k

(0,0)，(

π(k∈Z)。如当ω·6+=0时，由ω·2+=

3也可解得：ω=，=－。

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