基于李雅普诺夫指数的离散混沌系统的控制研究

第１７卷第２期　ＶｏＩ＿１７　Ｎｏ．２　控制与决策　２００２年３月　Ｍａｒ．２００２　Ｃｏｎｔｒｏｌ　ａｎｄ　Ｄｅｃｉｓｉｏｎ　文章■母：１００１—０５２０（２００２）０２－０１７１—０４　基于李雅普诺夫指数的离散混沌系统的控制研究　姚明海　，齐冬莲。，赵光宙　（１＿浙江工业大学信息工程学院，浙江杭州３１００１４；２．浙江大学电气工程学院，浙江杭州３１００２７）　擅要：讨论了通过改变离散ｊ昆沌春筑的辛雅瞢诺夫指数对离散混沌幕筑进行拉，Ｉ的一种方法。离散　混沌系筑的辛雅瞢诺夫指数可按昔要配置膏负位，从而使系筑牧敛到任意的期望点上．仿真和实验结果　表明，诫拦制方法是有效的，可以实现幕筑的快速藿定。　美■谓ｔ离散混沌幕筑｝辛雅瞢诺夫指数Ｉ不动点　中田分类号：什２７　文■标识码：Ａ　Ｏｎ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ－ｔｉｍｅ　ｃｈａｏｔｉｃ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｌｙａｐｕｎｏｖ　ｅｘｐｏｎｅｎｔｓ　ＹＡＯ　Ｍｉｎｇ—ｈａｉ　，　Ｄｏｎｇ—ｌｉａｎ。，ＺＨＡＯ　Ｃ－，ｕａｎｇ－ｚｈｏｕ　（１＿Ｃｏｌｌｅ￣ｏｆ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｚｈｅｊｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｅｌ－ａａｏｌｏ＆，ｙ，Ｈａ咄ｕ　３１００１４　ＣｈｉｎａＩ２．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｚｈａｊｌａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ　３１００２７，Ｃｈｉｎａ）　Ａｌ￣｛ｘａｅｔ：Ａ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｓｃｈｅｍｅ　ｂａｓｅｄ　ｏｉｌ　Ｌｙｓｐｕｎｏｖ　ｅｘｐｏｎｅｎ￣ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｆｏｒ　ｄ　ｃ　ｔｅ—ｔｉｍｅ　ｃｈａｏｔｉｃ　ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｔｈｅ　Ｌｙａｐｕｎｏｖ　ｅｘｐｏｎｅｎｔｓ　ｃａｎ　ｂｅ　ｓｅｔ　ｎｅｇａｔｉｖｅ　ａ∞ｏｒｄ　ｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｎｅｅｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｗｉｔ１　ｂｅ　ｃｏｎｖｅｒｇｅ　ｔｏ　Ｌｒｂｉｔｒａｒｙ　ｆａｔｅｄ　ｐｏｍｔ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ　ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｐｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ｅｎｄ　ｔｈａｔ　ｓｓｔｙｅｍｓ　ｈａｖｅ　ｐｅｒｆｅｃｔ　ｐｅｒｆ。ｒｍａｎｃｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｄｙｎａｍｌｃ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｕａｄｅｒ　ｔｈｉｓ　ｓｃｈｅｍｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｄｌｓｃｒ￣ｅ—ｔｉｍｅ　ｃｈａｏｔｉｃ　ｓｙｓｔｅｍｓ｝Ｌｙａｐｕｎｏｖ　ｅｘｐｏｎｅｎｔｓＩ　ｆｉｘｅｄ　ｐ。＿岫ｔ　１引　言　系统是收敛的还是混沌的［１　。当系统的李雅普诺夫　指数中至少有一个为正时，系统是混沌的，当系统的　混沌现象存在于数学、物理、力学、天文学、化学　李雅普诺夫指数均为负数时，系统是收敛的。因此，　通过改变系统李雅普诺夫指数的符号，便可改变系　统的运动状态。近几年来，脒关荣等　ｎ　讨论了将　离散非线性系统的李雅普诺夫指数配置为大于零而　工程学、光学和社会学等许多镊域，因此，混沌作为　确定性非线性动力学系统解的重要特征巳引起人们　的广泛注意［】］。对某些系统而言，混沌的出现是有害　的，因此人们总是采用一些方法来消腺系统中的混　沌　经过近１Ｏ年的研究，人们巳找出一些控制混沌　使系统变成混沌系统的方法。本文则提出通过将离　散混沌系统的李雅普诺夫指数配置为负数，从而实　现对离散混沌系统进行控制的一种方法，利用该方　系统的方法，如ＯＧＹ方法及其改进方法［　、连续　控制方法［．　和工程控制方法Ｅ　”等。　研究发现，系统的李雅普诺夫指数可用来判断　收翦日期：２００１—０６－０６；謦回日期：２００１—０９—０４　法可将离散混沌系统稳定在任意期望点上。　作者筒介：蜘明海（１９６３一），男，浙江加善人，耐教授，硕士，从事混沌控制理论应用、自适应控制等研究ｉ赵光宙（１９４６一），　男，浙江东阳人，院长，教授，博士生导师，从事非线性系统控制、璜铡控制等研究．　维普资讯 http://www.cqvip.com

１７２　控　制　与　决　策　Ｊ（　。）一Ｅ　第１７卷　（５）　２控翻方法　考虑一般的离散混沌系统　矩阵Ｅ的特征值为｛　＝ｅ’，ｉ一１，２’．．－，ｎ）。由于　均为负实效，故矩阵Ｅ对应的特征值　均为小于１　…『．，１　以＋　：，（以）　，ｚｉ　，　的正数，因此不动点ｚ。为系统（４）的稳定不动点。　‘　ｌ　ｚｉ　……，　（１）　且映射，连续可徽，所以系统（４）的状态变量在点　。周围存在一个吸引区域，由此区域内出发的点，　经过一定次数的迭代后，均会收敛妻ｌ期望点ｚ。。　下面证明对角阵Ｅ中的　即为所配置的李雅　普诺夫指数ｍ］。对于所有的　一０，１，．．・，设　‘）＝　（而）Ｊｊ＿ｌ（而一１）…　１（ｚ１）Ｊｏ（如）　（６）　Ｌ　（ｚ　，　”　…，　其中，状态变量以＝　界。　ｚ　）　∈Ｒ　，　ｚ。已知，映射，连续可微，，的Ｊａｃｏｂｉ矩阵连续且有　引理ｌｍ　对于离散系统（１），如果其映射，连　续可徽，其Ｊａｃｏｂｉ矩阵连续且有界，则当系统的李亚　普诺夫指数中至少有一个为正时，系统是混沌的Ｉ当　系统的李雅普诺夫指数均为负数时，系统是收敛的。　设系统（１）的期望点为ｚ‘。令控制序列｛　｝：．。　满足　一且　（Ｔｉ０’））为　０‘）矩阵的第　个奇异值。由矩　阵的奇异值定义知，如果　（　，０。））为　０。）矩　阵的第ｉ个奇异值，则存在　（　０‘））≥０，且当　雎（　‘））≠０时，有　１　Ｏ＂ｉ＝ｌｉａ÷ｌｒｎ　（　ｒ　））　●—一　Ｂｘ＾＋ｅ　（２）　ｉ＝１，２，…，ｎ，＾一１，２，…　（７）　其中，Ｂ为待定的ｎ×ｎ常数阵，Ｃ为待定的ｎ×１常　数矩阵。夸Ｂ和Ｃ满足　ｅ＾　０　Ｏ　ｅ　：　●　…　为设计控制器，可以选定　越（　ｆ（　‘））＝ｅ　‘　ｉ一１，２，…，ｎ，ｋ一１，２，…　（８）　Ｏ　ｏｏ－０　：　●　Ｂ一一　（ｚ　）＋　其中　为任意设定的常数。　（３）　：　●　‘・　●　另外，根据离散系统的李雅普诺夫指数定　义ｍ】，对于控｛圊系统（４），当初始点给定时，系统的　（ｚ。｝ｒ－。轨道的第ｆ个李雅普诺夫指数定义为　１　Ｏ　一　Ｏ　ｏ．ｏ　ｅ　（ｚ’）＋Ｅ　Ｃ一一ｆ（ｚ‘）一　‘＋ｚ。　＾（蕊）一ｌｉａ÷ｌｒｎ（　（Ｔｉ（如）））＝　…　其中，　一。）为映射，在点ｚ。处的Ｊａｃｏｂｉ矩阵，Ｏ＂ｉ（ｆ　１　１，２，…，ｎ）为设定的负实常数，Ｅ为如下常对角　Ｏ　Ｏ　ｌｉａ÷１ｒｎ｛　（１，＾（　・）…Ｊｌ（工１）　０（　Ｄ）））　ｉ一１．２，…，ｎ　（９）　阵　ｏｏ・　由式（６）～（９）可以得出，对于给定的　，有　（ｚ。）一　，ｉ一１，２，…，ｎ　（１０）　Ｅ—　０　ｅ’　：　●　・－・０　：　●　：　●　‘．　＿　由上述分析可知，当系统（１）的状态变量在控　制区域内时，在控制序列（２）的作用下，系统（１）的　李雅普诺夫指数变为负数，系统运动由混｛屯变为收　敛。因此，利用上述方法可实现对混沌系统的控制，　０　Ｏ　ｏ￣ｏ　ｅ　定理１　如果离散混沌系统（１）的映射，连续　可擞，其Ｊａｃｏｂｉ矩阵连续且有界，则在控制序列（２）　的作用下，系统（１）在点ｚ。附近是收敛的，且对角　相应的李雅普诺夫指数　可根据具体要求设定。另　方面，当系统（１）的状态变量不在控制区域内时，　系统（４）有可能发散，这时一般不对系统（１）进行控　一阵Ｅ中的　即为受控系统的李雅普诺夫指数。　证明　将控甜序列　加入系统（１）的右边，得　＋ｌ—ｆ（瓢）＋　‘，　ｋ一１，２，…，　制，系统的状态变量仍按系统（１）进行演变。由于混　沌系统具有遍历性，经过一定次数的演变后，其状态　将式（３）代人上式，经整理得　ｎ＋ｌ＝ｆ（ｘＤ—ｆ（ｚ　）＋Ｊ　’）（ｚ。一　以）＋Ｅ（ｘｔ—ｚ　）＋　‘　（４）　变量会进入控制区域。这时按式（２）设计控制序列，　将系统（１）的李雅普诺夫指数全部配置为负值，从　而使系统（１）的状态变量按要求收敛到期望点ｚ　上，实现了系统的混沌控制。口　显然，　。为系统（４）的不动点。系统（４）在点ｚ。处　的Ｊａｃｏｂｉ矩阵为　维普资讯 http://www.cqvip.com

第２期　姚明海等：基于李雅普诺夫指数的离散混沌系统的控制研究　将控制序列”　加入系统（１１），经整理得　１７３　３　仿真研究　本文利用上述控制方法，对一常见的离散混沌　１ｌ　Ｌ　１＝一１－＋１：０．８“＋Ｔ　．４ｚｉ＋ｌ０．１６　＿５２矗＋０．Ｏ１６　ｎ　’　设Ｈ￣ｎｏｎ映射（１１）的初始点为（１．０，１．３），剜　系统的状态方程如图ｚ所示。根据控制理论知识ｍ］，　模型——Ｈ邑ｎｏｎ映射进行控制研究。Ｈ￣．ｎｏｎ映射可　表示为　』　＋１　一。　＋　　（１１）　求得式（１２）的控制区域为矗∈（１３／７０，２２８／２４５），（）　＋１—　ｊ　其中ｎ和ｂ为控制参数。系统有两个不动点，即　ｆ（６—１）土　（６—１）　＋４ａ　—————１　———一’　６Ｔ（ｂ－１）￣ｄ（ｂ－ｉ）ｚ－４－４￣）　当系统的控制参数取为口＝１．４，ｂ＝０．３，初始点为　（０．１，一０．３）时，迭代系统方程５　０００次，得到系统　（１１）的状态如图１所示。由图可见，系统的状态图存　在分形结构，因此系统（１１）是混沌的。　圈１　Ｈ抽∞硅射轨道　候设要将系统（１１）的状态值稳定在点（０．４，　ｏ．８）上，此时系统的不动点为（０．６３１　４，０．１８９　４），　（一０．１３１　４，一０．０３　９　４）。当系统在期望点（０．４，　０．８）附近的两个李雅普诺夫指数都小于零时，才有　可能将系统稳定在期望点上。不妨设　＝ｌｎ　０．４　≈一０．９１６　３，　一Ｉｎ　０．８≈一０．２２３　１。参数Ｂ，Ｃ和　控制序列”　分别为　Ｂ一一　（。．４＇０．８）＋　。　—　Ｌ　０　０．８　厂１．５２　—１］　Ｌ——０．３　０．８　Ｊ　ｃ＝一，ｃ０．４，０．８　一　［：：　］＋［：：　］一　［－¨０，９　８　］　”。＝Ｂｘ＋Ｃ＝　［　５２　［　］＋　０．　９。８４］　∈（一ｏ。，ｑ－ｃｏ）。当系统状态变量在此控制区域　时，将控制序列“　加入系统（１１），使整个受控系统　的状态方程演变为系统（１２），得受控Ｈ￣ｎｏｎ映射的　１．　１．　矗吼　０．　一ｔｆ．　选代擞量一　（ａ）　控制区域　（ｂ）　控制区域　圈２曩慕蟪状态　“）状态变量‘　（ｂ）　状态变量　翻３受控慕菇状蠢　维普资讯 http://www.cqvip.com

１７４　控　制　与　决　荒　第１７卷　状态如图３所示。由图３可见，由于系统的初始点为　（１．０，１．３），不满足控制条件，园此开始时没有对系　统进行控制，系统的状态值根据原系统（１１）进行迭　代。迭代１次后，系统的状态值变为（Ｏ．９，０．３），已在　控制区域内，这时开始对系统进行控制。选代１７欢　ｌｉｇ　ｎｆｅｅｄｂａｃｋ口］．Ｐｈｙｓ　Ｌｅｒｔ　Ａ，１９９２．１７０（６）：４２１－４２８．　［５］ＢａｓｓｏＭ－ＧｅｎｅｓｉｏＲ．ＴｅｓｉＡ．Ｓｔａｂｉｌｉｚｉｎｇｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｏｒｂｉｔｓ　ｏｆ　ｆｏｒｃｅｄ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｖｉａ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｐｙｒｎｇ￣ｓ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒａ　［Ｊ］．］ＥＥＥ　Ｔｒｚｎｓ　ｏｎ　Ｃｉｒｃ　Ｓｙａｔ　Ｉ，１９９７，４４（１０）ｌ１０２３—　１０２７．　后，系统的状态变量　的值稳定在不动点０．８上Ｉ迭　代７次后，系统的状态变量南的值稳定在不动点　０．４上。由此可见，利用上述控制方法可将Ｈ￣ｎｏｎ映　［６］Ｂｒａｎｄｔ　Ｍ　Ｅ，Ｃｈｅｎ　Ｇ．Ｆｅｅｄｂａｃｋ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　ａ　ｑｕａｄｒａｔｃｉ　ｍａｐ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｃａｒｄｉｓｃ　ｃｈａｏｓ［Ｊ］．Ｉｎｔ　Ｊ　Ｂｉｆｕｒｅ　ａｎｄ　Ｃｈａｏｓ，　ｌ９９６．６（４）；７１５—７２３．　［７］ＣｈｅｎＧ，Ｄｏｎｇｘ，Ｏｎｆｅｅｄｂａｃｋ　ｃｏｎｔａ￣ｏ［ｃｈａｏｄｃ　ｄ　ａｍｊ—　ｃａｌ　ｓｙｓｔｅｍｓ口］．Ｉｎｔ　ＪＢｉｆｕｒｃ　ａｎｄＣｈａｏｓ，１９９２，２（２）：４０７—　４ｌ１．　射的状态变量快速稳定在期望点上。　４　结　论　［８］Ｃｈｅｎ　Ｇ，Ｄｏｎｇ　ｘ．Ｆｒｏｍ　ｃｂｅｏｓ　ｔｏ　ｏｒｄｅｒ：Ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅｓ　ａｎｄ　ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｉｅ３　ｉｎ　ｃｏｎｃｒｏｌＨｎｇ　ｃｈａｏｔｉｃ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　研究表明：在控制区域内．将控制器施加到离散　混沌系统（１）上，可按需要配置系统的李雅普诺夫指　ｄｙｎａｍｉｃａｌ　ｓｙｓｔｅｍｓ口］．Ｉｎｔ　Ｊ　Ｂｉｆｕｒｃ　ａｎｄ　Ｃｈａｏｓ，１９９３．３　（４）：ｌ３６３－１４０９．　数。当李雅昔诺夫指数均小于零时．系统可收敛到任　意的期望点上。对Ｈ￣ｎｏｎ映射的控制研究表明，该　［９］ｙａｎｇ　Ｌ，ＬＩｕ　Ｚ．Ａｎ　ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ　ａｎｄ呻ｆ　ｏｆ　ＯＧＹ　ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ａｐｐ　Ｍｔａｈ　ａｎｄ　Ｍｅｃｈ，１９９８，１９（１）：１－８，　控制方法可以实现系统的快速稳定。　参考文｜Ｉ（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）：　［１］陈关荣．控制非线性动力系统的混沌现象［Ｊ］．控制理论　与应用（Ｃｏｎｔｒｏｌ　Ｔｈｅｏｒｙ＆Ａｐｐｌｉｃａｄｏ￣）－１９９７，１４（１）：　１－６．　［】０］Ｃｈｅｒｔ　Ｇ　Ｉ　Ｌａｉ　Ｄ．Ｆｅｅｄｂａｃｋ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　Ｌｙａｐｕｎｖｖ　ｅｘｐｏ－　ｎｅｎｔｓ　ｆｏｒ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ—ｔｉｌｎｅ　ｄｙｎａｍｉｃａｌ　ｓｙｓｔｅ￣口］．Ｉｎｔ　Ｊ　Ｂｉｆｕｒｃａｎｄ　Ｃｈａ∞，１９９６，６（７）：１３４１—１３４９．　［１１］Ｃｈｅｎ　Ｇ，Ｌａｉ　Ｄ，Ｍａｋｉｎｇ　ａ　ｄｙｎａｍｉｃａｌ　ｓｙｓｔｅｍ　ｃｈａｏｔｉｃ：　Ｆｅｅｄｂａｃｋ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆＬｙｓｐｕｎｏｖ　ｅｘｐｏｎｅｎｔｓｆｏｒ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ—　ｔｉｍｅ　ｄｙｎａｍｉｃａｌ　ｓｓｔｙｅｍｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｃｉｒｃ　ｓｔ　Ｉ，１９９７，４４（３）：２５０＊２５３．　［２］Ｏｔｔ　Ｅ．Ｇｒｅｂｏｇｉ　ｃ，Ｙｏｒｋｅ　Ｊ　Ａ．Ｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇ　ｃｈａｏｓ［Ｊ］．　ＰｈｙｓＲｅｖＬｅｔｔ，１９９０，６４（１１）：１１９６－Ｉ１９９，　［１２］ＷｏｌｆＡ，Ｓｗｉｆｔ　ＪＢ，ＳｗａｍｅｙＨＬ，ｅｔ　ａ１．Ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ　Ｌｙａｐｕｎｏｖ　ｅｘｐｏｎｅｎｔｓ　ｆｏｍ　ａｒ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ［Ｊ］．Ｐｈ）ｒｓｉｃａ　Ｄ．１９８５，１６（２）：２８５—３１７．　［３］Ｇａｒｆｎｋｅｌｉ　Ａ．Ｓｐａｎｏ　Ｍ　Ｌ，Ｄｉｔｔｏ　Ｗ　Ｌ．ｅｔ　ａ１．Ｃｏ￣ｔｒｏｌｌｉｎｇ　ｃａｒｄｉａｃ　ｃｈａｏｓ［Ｊ］．Ｓｃｉｅｎｃｅ．１９９２，２５７（２８）：１２３０－１２３５．　［４］Ｐｙｒａｇａｓ　Ｋ．Ｃｏｎｔｉｎｕ∞ｓ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　ｃｈａｏｓ　ｂｙ　ｓｅｌｆ－ｃｏｎｔｒｏｌ—　［１３］精健．现代控制理话基础［Ｍ］．杭州：浙江大学出版社．　１９９５．９０—９２．　（上接第１７０页）　［３】Ｔ　ＪＭａｎａｙｓｔａｒａ．ＴＣＴｓｈａｏ，ＪＢｅｎｔｓｍａｎ，ｅｔ　ａｌ＿Ｒｅｊｅｃ．　ｔｉｎｎ　ｏｆ　ｕｎｋｎｏｗｎ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｌｏａｄ　ｄｉｓｔｕｒｂｍａｃｅｓ　ｎ　ｃｏｎｔｉｉｎｕｏｕｓ　ｓｔｅｅｌ　ｃａｓｉｎｇ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｕｓｉｇ　ｌｎｅａｒｎｉｇ　ｒｅｐｅｔｎｉｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｐ—　［５］Ｍ　Ｓ　Ｄｕｓ３ｕｄ，ＧＭｉｃｈｅｔ，Ｌ　Ｐ　ＦｏｕＵｏｙ．Ａｐｐｌｉｃａｔ￣ｎ　ｏｆ　ｆｕｚｚｙ　ｌｏｇｉｃ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｆｏｒ　ｃｏｎ￣ｎｕｏｕｓ　ｃａｓｔｉｎｇ　ｍｏｌｄ　ｌｅｖｅｌ　ｃｏｎｔｒｏｌ［Ｊ］．衄２４６—２５６．　Ｔｒ￣ｎｓ　Ｃｏｎ＝ＳｙｓｔＴｅｃｈ，１９９８，６（２）：　ｐｒｏａｃｈ口］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　Ｃｏｎｔｒ　Ｓｙｓｔ　Ｔｅ＊ｈ，１９９６，４（３）：　２５９—２６５．　［６］Ｎ　Ｋｉｕｐｅｌ，Ｐ　Ｍ　Ｆｒａｎｋ，Ｊ　Ｗｏｃｈｎｉｋ．Ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ　ｏｆ　［４］Ｊ　Ｐａｉｕｋ，Ａ　Ｊａｍｎｉ，Ｍ　Ｒｅｍｏｒｉｎｏ，ｅｔ　ａ１．Ｔｈｅ　ａｕｔｏｍａｔｉｃ　ｍｏｕｌｄ　ｌｅｖｅｌ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｆｏｒ　ａ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｃａｓｔｉｎｇ　ｐｒｏｃｅｓｓ：　ｍｏｋｌ－！ｅｖｅｌ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｕｓｉｎｇ　ｆｕｚｚｙ　ｌｏｇｉｃ口］．Ｅｎｇ　Ａｐｐｌ　ｏｆ　Ａｒｔｉｆ　Ｉｎｔｅｌ１．１９９４，７（５）：４９３—４９９．　Ｐｒａｃｔｉｃａｌ　ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｃｏｎｔｒｏｌ￣ｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　［７］Ｈ　Ｘ　Ｌｉ，Ｈ　Ｂ　Ｇａｒｌａｎｄ．Ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌｆｕｚｚｙ　ｅｏｍｘｏｌ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｅｎｈａｎｃｅｍｅｎｔ　ｉｊ］．ＩＥＮＥ　Ｔｒａｎｓ　Ｓｙｓｔ．Ｍａｎ＆Ｃｙ—　ｂｅｃｎ——Ｐａｒｔ　Ｂ：Ｃｙｂｅｒｎ，１９９６，２６（５）：７９１—７９７．　［Ａ］．Ｐｒｏｅ　ＩＦＡＣ　Ａｕｔｏｍａｔ　ｉｎ　Ｍｉｎｉｎｇ，Ｍｉｎｅｒａｌ　ａｎｄ　Ｍｅｔ—　ａｌ　Ｐｒｏｃ［Ｃ］．Ｂｕｅｎｏｓ　Ａｉｒｅｓ，１９８９．２０５—２０８．