专题讲座1

专题讲座

小学数学“图形测量”的教学研究与案例评析

赵艳辉 ( 东北师范大学附属小学 中学高级 )

“图形与几何”领域是义务教育阶段数学课程的重要内容，以发展学生空间观念、几何直观、推理能力为核心展开。小学阶段“图形与几何”包括图形的认识、图形的测量、图形的运动、图形与位置四个方面的内容。而图形的测量内容仍然是重要的学习内容，占有很大的比例。在这个专题里，我们来共同交流对图形测量的一些基本概念和核心问题的理解以及教学建议。本课程将围绕以下四个问题展开：

一、理解小学阶段图形测量中所涉及到的几个概念

二、宏观把握图形测量中的关键性问题

三、整体把握图形测量的教学

四、学生常见错误与问题的分析及解决策略的方法

一、理解小学阶段图形测量中所涉及到的几个概念

几何学起源于对图形大小的度量。在小学阶段，图形的测量始终在几何与图形领域中具有重要的地位，是培养学生空间观念、积累几何活动经验的主要内容。谈到对图形的测量，首先要明确三个问题，图形是什么意思？测量是什么意思？测量什么量？

图形的含义：首先明确什么是图形，图形是人类通过对客观物体的长期观察逐渐抽象出来的，把物体的外部形象用线条描绘在二维平面上。

其次，测量是什么意思呢？ 测量就是把待测定的量同一个作为标准的同类量进行比较的过程，它使物体的属性具有了量化的特征。 测量主要是为了刻画图形的大小。一维图形的大小是长度，二维图形的大小是面积，三维图形的大小是体积。 在测量的过程中，儿童从数学的角度去认识、表述客观事物，能够发展数学思维，还能够积累数学基本活动经验，提高解决问题的能力。

在小学阶段，对几何图形的长度、面积、体积这三个量不进行数学意义上的严格定义。而是引导学生根据他们的经验性知识，对图形的长度、面积、体积进行数学描述。

最后我们再来了解下面几个量的含义：

1. 长度的含义

刚才谈到了，把度量一维图形的大小称为长度，测量长度就是对线的长短进行度量。点动成线，线是对路径的抽象，我们把“从一个地方走到另一个地方”抽象为“线段，或折线段、曲线段”。

在《新华词典》中长度就是距离，距离就是长度。对于长度的定义无需严格的逻辑定义，只是经验性的描述就可以了，即直线段、折线段、曲线段的长短称为长度。折线段通过测量 n 条直线段的长度和得到的，曲线段的长度是通过化曲为直的方法得到的。

2. 周长的含义

测量周长也是对线的长短进行度量。《新华词典》对周长的解释是：“圆、椭圆或其他闭合的曲线的周界长度”。小学数学中的平面图形一般都比较简单，周界大多数都是直线段或者圆弧，在小学一般是描述性的概念，即图形一周或一圈的长度称为图形的周长。封闭图形的周长就是围成这个图形所有边的长度之和。小学重点学习正方形、长方形和圆的周长，这些都是规则的直线图形或曲线图形，同时也测量（有时是估测）一些不规则的平面的直线图形或曲线图形的周长。

3. 面积的含义

面积是表示二维图形的大小。面积的概念很早就形成了。在古埃及，尼罗河每年泛滥时就会抹掉田地之间的标志。洪水退后，人们为了重新划出田地的界限，就必须丈量和计算田地，于是，逐渐就有了面积的概念。物体的表面是一个二维图形，直观地感觉它所占有的区域具有一定的大小。点动成线，线动成面，面积是指物体表面或围成的平面图形的大小。“面”是“有长宽而没有厚度”的一种“形迹”，这种形迹不一定必须是“平面”的。例如，球面具有面积，但不是平面图形。在小学阶段学习的是测量平面图形的面积，主要包括长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形等规则的图形的面积，也讨论一些不规则平面图形的面积的测量问题。

4. 体积的含义

体积是表示三维图形的大小。在我们小学的教科书上，一般都是这样表述体积的 “物体所占空间的大小，叫做物体的体积”。教学使我们感受到，对于“空间”的理解比理解体积本身的含义还难理解，往往越说越糊涂。实际上，凭直觉我们就能理解，体积就是对物体大小的度量。在《小学数学研究》一书中提到：“我们要做的是告诉学生，物体运动后体积不变，不重叠的两个物体之并的体积是原来物体体积之和， A 包含 B 则 A 的体

积比 B 的体积大，等等，它们是度量物体体积的特征。小学阶段重点学习长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等规则图形的体积，也讨论现实中一些不规则物体体积的测量方法。

二、宏观把握图形测量中的关键性问题

1. 图形测量与儿童空间观念的培养

空间想象力一直被认为是数学诸多能力中的重要组成部分，空间观念是空间想象力发展的基础， 空间观念是创新精神所需的基本要素，没有空间观念和空间想象力，几乎很难谈发明与创造， 所以空间观念成为数学课程标准提出的 10 个核心概念之一，成为数学课堂教学的重要目标，是学生在义务教育阶段数学课程中最应该培养的数学素养，是促进学生发展的重要方面。 林崇德 教授（ 1991 ）指出：空间想象能力主要体现在对诸如一维、二维、三维空间中方向、方位、形状、大小等空间概念的理解水平及其几何特征的内化水平上，体现在对简单形体空间位置的想象和变换（平移、旋转以及分割、割补和叠合等）上，以及对抽象的数学式子给予具体几何意义的想象解释或表象能力上。

《标准》中没有具体给出空间观念的内涵，只是从四个方面加以刻画描述：空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。根据空间想象力和空间观念的描述，概括起来说是几何形体的特征、大小、形状、相互位置关系、运动在人脑中的表象，而图形的测量，是从图形的量及量的大小的角度让小学生清晰地把握图形的特征，能测量图形的长度、面积、体积，很大程度决定于对空间观念的积累，有了空间观念，才能建立没有大小的点、没有宽窄的线、没有厚薄的面的几何概念。

图形测量中涉及到的长度、面积、体积等概念，以及测量单位的掌握，还有推导测量

计算公式过程中图形的分割与叠合方法的探索、化曲为直和极限思想的感悟等，这些内容的学习都是从大量的观察、操作、推理的活动过程中丰富表象，提升数学思考，发展空间观念的，可见图形测量的学习对于学生空间观念的发展意义重大。

2. 图形测量与数学基本活动经验的积累

2011 版《课程标准》把义务教育阶段数学课程的总目标概括为获得“四基”、增强能力、培养科学态度三个方面。在这里备受我们广大数学教师关注的是数学课程由过去非常强调的“两基”变成“四基”，表述为“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”，这是一个非常大的变化，对于四基虽然我们已经耳熟能详，但是如何落实到教与学的行为上，对我们一线数学教师来说是一个很大的挑战。所以在这里不得不提图形测量的学习与数学基本活动经验积累的话题。

（ 1 ）长度、面积与体积三种量的学习过程，有助于积累抽象概念的表象经验

数学基本活动经验来源于数学活动，大家都清楚小学生学习的几何知识是经验的几何，图形测量主要包括量的认识、量的度量单位、和量的测量三个方面的内容。在教学，认识周长、面积、体积这些量时，教学时让学生在观察、操作、实验等活动中学习，如认识周长时设计让学生沿着图形或物体表面的边缘用笔描一描或用线围一围的活动；认识面积时设计学生用手摸一摸两本书的封面、放在一起比一比、用格子摆一摆数一数的活动；认识体积时设计让学生观察两个大小不一样的物体、往箱子里装木块、往装满水的容器里放入不规则固体等活动，学生在亲历这些活动的过程中，通过观察、操作、想象，获得对周长、面积和体积这些概念的直观感受，从而丰富对所认识的直观对象的表象经验。

（ 2 ）度量单位和计算公式推导的学习过程，有助于积累解决问题的思考经验

测量单位和测量的计算方法是图形测量的两个重要内容。三种量的测量单位的知识是互相联系的，平面图形面积测量的计算公式的推导方法也是互相联系的，立体图形体积测量的计算公式的推导方法也是互相联系，可以看作一个知识模块，前面知识的学习都是后续同类知识学习的基础，思考方法可以迁移，所以前面知识的学习活动都为后续同类知识的学习积累了思考方法的经验，而同类知识的学习用相同的思路进行设计时，可以丰富学生对获得此类知识的思维方法，从头至尾获得发现问题、分析问题、解决问题的经验。如长度单位“厘米”的学习是度量单位的起始课，非常重要。一般要设计成用不同的工具（如铅笔、人的手、数学书等）进行测量，学生感受到不方便交流，产生统一工具的想法，然后统一用铅笔测量，工具虽然统一了，但是铅笔有长有短，测量结果还是不一样，也不方便交流，又产生了统一标准的想法，在这样的操作体验、矛盾产生和解决中，逐步解释长度单位“厘米”，这样经历了单位产生、发展与形成的过程，直观地、合情地获得了一些结果。面积单位的学习与之类似，有了长度单位和面积单位的活动经验，后续学习体积单位时，学生可以利用原有的经验（即寻找工具、统一标准、规定单位、命名名称），对理解单位的产生与形成就会水到渠成，容易理解体积单位的含义，发展学生的抽象思维能力。

面积公式的推导过程中，一般都要这样设计：首先用合适的面积单位摆一摆，然后观察面积单位的个数与图形的长度要素有什么关系，学生通过观察、操作、归纳、概括出图形面积的大小实质上就是图形所含面积单位的个数，公式就是计算图形所含有面积单位的个数，帮助学生积累图形面积大小的直观表象。当学生学习长、正方形面积的计算方法后，学生通过等积变形，把未知图形面积转化成已知图形面积，用已知图形面积的计算方法推导出未知图形面积的计算公式时，学生经历了操作、猜想、验证、推理等解决问题的过程，积累了思考方法的活动经验。待到学习圆的面积时，可以先调动学生原有的推导面积公式的经验，迁移过来，在圆的面积公式的推导过程中，学生会对这种转化的思维方法的理解更加深刻，几轮的推导图形测量公式的学习，很好地经历了从头至尾想问题做问题的数学活动，获得了思考的活动经验，提升了学生的智慧。

所以说，图形测量内容的学习，能帮助学生积累几何知识的直观表象经验，还能帮助学生积累探究推理的思考经验，因此，教学这部分内容时，要站在落实课程目标的四基之一即“积累数学的基本活动经验”的高度，精心设计教与学的活动。

3. 图形测量与数学基本思想的渗透

使学生获得数学的基本思想，已成为 2011 版课标中数学课程的重要目标。《数学课程标准解读》中指出，数学课程教会学生许多必要的数学知识的同时，更重要的是让学生在学习这些结论的过程中获得数学思想。解读中进一步指出，基本思想之一 —— 数学抽象，使数学学科得以建立；基本思想之二 —— 数学推理，使数学学科得以发展；数学思想之三 —— 数学模型，使数学学科得以广泛应用。数学思想是数学学科发生、发展的根本，是探索研究数学所依赖的基础，也是数学课程教学的精髓。也有学者通俗地把“数学思想”说成“将具体的数学知识都忘掉以后剩下的东西”，所以说学生数学的基本思想是数学素养重要内容之一。

数学思想蕴含在数学知识形成、发展和运用的过程中，是数学思想和方法在更高层次上的抽象和概括。 规则图形的周长、面积和体积公式仍然是图形测量内容的重要方面，以往我们把主要精力放在对结论的运用上，以至于把这部分内容简单地处理成套用公式的计算问题，实际上，对于规则图形周长、面积和体积测量公式的探索， 蕴含着丰富的数学思想方法，能够很好地落实让学生感悟数学的基本思想这一课程目标。下面和大家交流图形测量学习中重点要感受的数学思想。

（ 1 ）在图形面积计算公式推导过程中感悟“转换化归”的数学思想

人们面对数学问题，如果不能直接应用已有知识解决时，往往把要待解决的问题进行

转化，通过把陌生的知识转化为熟悉的知识；把繁难的知识转化为简单的知识，最终达到解决的目的，这种转换化归的思想也称为“转化思想”，这是数学推理的基本思想的一个具体体现。

如，当学习完长方形和正方形面积计算公式后，平行四边形、三角形、梯形、圆形等图形面积计算公式的推导，每个版本的教材都非常重视让学生通过转化的方法让学生自主探索计算公式。一般都是这样安排的，首先安排数格法，让学生在数格子的过程中直观去感悟、去发现、去猜测，然后引导学生用割补的方法把平行四边形割补剪拼成长方形，发现平行四边形的底和高分别相当于长方形的长和宽，然后通过长方形面积的计算公式推导出平行四边形的面积计算公式。 在随后学习的三角形、梯形、圆的面积计算，都是通过割补剪拼的方法，把要研究的图形转化成前面已学过的图形来推导出它的面积公式。立体图形体积的计算公式也是通过这样的转化思想，把未知图形的体积转化成已知图形的体积，通过已知图形体积的计算公式推导出未知图形的体积计算公式。

研究图形面积和体积的计算公式时，教材都给教师和学生留出较大的探索空间，期望学生能够自主地通过多种途径进行探索，亲历过程，得出结论。通过剪割、平移、旋转、拼补等方法，进行图形间的相互转化，沟通图形间的内在联系，形成知识体系，不断渗透转化的数学思想，提升解决问题的能力。

转化的思想在小学数学的学习中随处可见，是一般化的思想方法，对解决问题有普遍意义，同时它就像是一个无形的线把一些知识串联起来，让学生逐步感受、形成数学知识体系，所以在图形测量计算公式的推导中，要逐步使这个数学思想由渗透到明朗，使学生对它的理解逐渐灵活与深刻。

（ 2 ）在曲线图形计算公式推导过程中感受“有限与无限”的数学思想

从有限到无限体现了极限的数学思想，极限思想是微积分的基本思想，用以描述某个无限变化过程的终极状态，是数学抽象的基本思想的一个体现。现在的小学数学非常重视极限思想在教学中的渗透，如数量无限多的循环小数、自然数等；图形无限延伸的角的边、平行线等等。在图形测量中，有一些曲面图形测量的计算公式是不能通过初等数学的方法来解决的，所以非常重视运用无限逼近的思想来去探索而获得重要的数学结论。

比如，圆是小学阶段平面图形中唯一的一个曲线图形，对它的周长面积计算公式的探索都具有一定的挑战性，都是通过对特殊情况的分析归纳得出公式。在圆的周长教学中，向学生介绍“割圆术”，让学生经历正多边形到圆的形成过程，引导学生观察、操作和想象，随着边数越来越多，正多边形越来越像圆，感受极限思想。再如，“圆的面积公式推导”时，制作圆形教具，等分成许多份数不同的扇形，把圆平均分成 8 份，拼成的图形近似于平行四边形，边的形状呈波浪形；把圆平均分成 16 份，拼成的图形更接近于平行四边形，边的形状是较直的；继续把圆平均分成 32 份拼出的图形的边越来越直，图形越来越接**行四边形了。把拼成的图形加以比较，使学生直观地看到等分成的扇形的份数越多拼成的图形就越接**行四边形，如果继续等分下去，如分成 等份、 128 等份 …… 拼成的图形就与长方形没什么差异了。这样，学生在观察比较过程中不仅理解了拼成的长方形的面积与原来圆的面积相等，而且初步接触量变到质变、有限到无限的辩证思想，培养了学生的空间观念，发展了学生的思维能力，然后引导学生分析、比较长方形的长和宽与原来圆的周长和半径的关系，进而得出圆的面积公式 S=πr 2 。 圆的面积计算公式的推导过程中“从分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程，想象图形就真的变成了长方形，学生经历了从有限到无限的过程，感悟了极限的思想。学生有了这个基础，再学习圆柱体积公式的推导就会自然地联想到这种方法，再一次解决问题。这些公式的推导过程，采用了“变曲为直”、“化圆为方”、“由近似到精确”的极限分割、逐步逼近的思路，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的最终结果，不仅使学生掌握了计算公式，重要的是在不断的学习中促进极限思想潜移默化地形成。

（ 3 ）在图形测量的计算公式推导过程中感受模型思想

模型思想是三大数学的基本思想之一，也是 2011 版《课程标准》中十大核心概念之一，成为义务教育阶段数学课程最应培养的数学素养。《标准》指出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界的基本途径，建立和求解模型的过程将有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。

模型思想与符号化思想都是经过抽象后用符号和图表达数学关系和空间形式，但模型思想更加重视如何经过分析抽象建立模型，更加重视如何应用数学模型解决问题，所以小学数学建模学习有两种情况，一是新课以例题为代表的基本模型的学习，二是利用基本模型解决丰富多彩的习题。那么图形测量的求积计算的过程充满着模型思想，小学生推导各种图形的计算公式就是建立模型的过程，同时也类似于数学家建模的数学再发现和再创造的过程。

如，在第一次学习面积和体积公式推导的过程中，利用若干个相同的小正方形铺长方形，归纳概括出小正方形的个数与长方形长与宽的关系，推导出长方形的面积计算公式；利用若干个相同的小正方体拼摆成一个长方体，探索长方体中含有小正方体的个数与长方体的长、宽、高的关系，进而归纳出长方体的体积公式。接着探索三角形的面积、平行四边形的面积、梯形的面积、圆形的面积和周长、圆柱体的体积等等，都是让学生经历通过创设问题情境 —— 提出数学问题 —— 分析已知量和未知量之间的关系 —— 建立模型（ S=ab 、 V=abc 等等），然后再应用这些数学模型解决丰富多彩的实践问题。这样的学习让学生实实在在地经历了一个通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断得出结论的一个再发现和再创造的过程，经历了提出问题、分析问题、解决问题的数学活动，感受到了数学模型思想在数学学习中的重要价值。

总之，图形测量是落实数学的基本思想的一个很好的载体，我们一线教师在教学中要充分认识这个内容对于培养学生逐步形成数学的基本思想的重要价值。同时也要明确以下三点。

第一，突出明显或主要或特有的一些数学思想。实际上每个内容的学习中都蕴含着丰富的思想，如数形结合的思想、函数思想、符号化思想等等，一个内容的学习中往往是几种数学思想交织在一起，如极限思想中蕴含着转化思想等，另外，推理思想是无处不在的，所以在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想，效果将更好些。

第二，数学思想不同于一般的概念和技能，后者一般通过短期的训练便能掌握，数学思想教学是一个通过长期的渗透和影响才能够感悟到或形成的一个循序渐进的过程。杜甫的诗句“好雨知时节，当春乃发生。随风潜入夜，润物细无声 …”数学思想教学就像这首诗一样，慢慢地滋润学生的心田。

第三，数学思想的感悟是在学生数学活动中积累的，学生只有在积极参与教学活动的过程中，通过思考、合作交流，才能逐步感悟数学思想。

三、整体把握图形测量的教学

图形测量中主要涉及到量的认识、单位的认识、公式的推导三个内容，为了具有系统性、整体感，暂称为“模块”，每个模块中的具体内容都分别是按照一维、二维、三维空间编排的，每一模块中的具体内容之间都是紧密联系的，并都有相似之处，从低纬度到高纬度螺旋上升出现，后续学习对前面学习都是思维上的一次跨越，也是数学素养逐步提升的过程。所以在对图形测量内容的教学时要宏观把握整体设计，即见树木，更要见森林，

从而提升教学的有效性，提高教学效率。

1. 教师要整体把握好知识间的内在联系，抓住图形测量各板块知识的本质特征

每个版块中的概念及方法都有相似或相同之处，要统整考虑。一般对知识的梳理要在复习课中，但对于教师，要在教学之前。

（ 1 ） 三种量的单位本质相同，培养类比推理能力

测量就是把待测定的量用一个作为标准的同类量进行比较的过程，它使物体的属性具有了量化的特征。测量主要是为了刻画图形的大小。人类很早就有了测量的活动，原始的测量都要先确立一个标准，然后用标准去比较，当这个标准不能直接量（估）出物体大小的时候，就再引入其他更小的标准。后来为了交流方便，统一了参照标准，就产生了一系列的测量单位（如下表）。

从上表的整理中，给我们的教学三点启发。

第一，都要经历类似的单位产生的过程，体会度量单位的抽象性。一般的做法是先寻找测量工具，如长度用手、用文具盒、用铅笔；面积用树叶、用硬币；体积用积木块、用香皂等先试一试，发现工具不一样，结果不同，要统一工具；然后就都用手的长度来测、用正方形测、用积木块测，结果不同的长度、不同正方形、不同的积木块所测的结果还是不一样，就是工具一样了，标准不一样；最后统一标准，产生了单位长度，作为长度单位。这个过程学生经历了复杂到简单、由模糊到清晰的过程，感受到了数学知识的简化思想、优化思想、数形结合思想，这个过程丰富了学生的感性认识，建立了单位的直观表象。

第二，教学的过程要突出体会长度单位就是标准的长度、面积单位就是标准的面、体积单位就是标准的体，就是用与待测的量的同类量作为一个标准（有大小不一样的标准），就产生了测量的单位，这是对单位的本质认识，这个思维方法可以类推，所以待到学习角的度量单位时，一般教材都让学生回忆长度、面积单位是怎样规定的，让学生类推出测量角的大小的单位应该是规定一个角作为标准，就顺理成章地认识了角的度量单位。

第三，维数不同的图形都有几个大小不同的单位，要帮助学生借助身边数学的物体进一步建立一个单位的表象，用手比一比、闭上眼睛想一想的办法反复出现，强化表象的记忆，以便为数形结合解决问题、为估测奠定基础。

（ 2 ）两种测量揭示基本规律，培养归纳推理能力

小学生的测量活动可以分成两种，即直接测量和间接测量，用度量单位直接量是直接测量，长度的测量基本上都是直接测量，直接测量基本上都使用测量工具，直接测量是直接从测量工具的读数获取被测量值的方法。间接测量是指通过被测量的量与其本身其他要

素所具有的函数关系式，用计算的办法得到测量的值，如周长、面积和体积的计算都属于间接测量。用数格子的方法测量面积就是直接测量；用数小正方体数量的方法测量物体的体积也是直接测量。但是生活中直接测量有时不方便，人们就想到了用计算计量单位的个数的方法，这是间接测量，如果找到了计算的规律，就形成了计算公式，计算公式属于间接测量。例如面积公式的实质就是求里面含有多少个面积单位，通过长度计算面积单位的个数；体积公式的实质就是求里面含有多少个体积单位，通过长度计算体积单位的个数。总之，所有的公式都是求里面含有多少个计量单位。

这就给我们教学两点启示：第一，要重视直接测量，理解测量的本质。如，学习长度单位后，安排了很多让学生用格子测量线段、图形的边的长度，用米尺测量身高、教室的长与宽等的学习内容，增强学生用数学知识解决现实生活中简单测量问题的能力，掌握直接测量的方法；学习面积和体积的意义后，安排很多节课数一数规则图形或不规则图形中所含有面积单位小方格的个数或体积单位小正方体的个数。安排这些直接测量的学习内容，目的是让学生在实际操作和数一数的过程中，理解测量的本质，即长度的长短、面积的大小、体积的大小，就是图形所含单位的个数。其次，直接测量的过程中，能进一步体会理解长度、面积、体积这些量的含义，即通过数长度单位，帮助学生进一步理解长度就是线的长短；数面积单位的个数，还能帮助学生进一步理解面积就是平面图形的大小；数体积单位的个数，帮助学生进一步理解体积就是占有空间的大小。

第二，要重视通过直接测量来促进对间接测量方法的理解，即对面积、体积计算公式的理解。如，前面已经谈到的在首次学习面积计算公式，即长方形面积计算公式的推导教学时，一般先让学生在长 5 厘米 、宽 3 厘米 的长方形中摆 1 平方厘米的小正方形，数一数摆了多少个小正方形；再给出一个长 6 厘米 、宽 4 厘米 的长方形，让学生想象能摆多少个小正方形，学生能够想象出沿着长能摆 6 个，沿着宽能摆 4 个，能摆出 6*4=24 个小正方形；再给出一个长方形，不标出长与宽的数据，让学生想办法得到这个

图形含有多少个小正方形，学生自然会想到测量长与宽，结果发现，长 5 厘米 ，宽 4 厘米 ，推导出这个图形含有 20 个小正方形，那么学生的这些直接测量操作活动或想象活动，能促使学生逐渐主动地联系长方形的长与宽，多个活动后，不难观察出长方形所含有的面积单位的个数，就是长与宽的乘积，很容易地理解了长方形面积的计算公式。

再如接着学习平行四边形的面积时，也不是直接用转化的方法去推导，而还是从直接测量入手，让学生在格子图中数一数平行四边形所含有面积单位的个数，学生数的过程中，有的是直接数整格再数不足一格的，然后加在一起；也有的学生通过格子图的直观性，自然就在格子图中把平行四边行转化成长方形，然后用长与宽的积算出平行四边形所含单位的个数。这一直接测量的活动，使学生直接看出了或推测出平行四边形的面积就是底与高的乘积，不仅理解了平行四边形计算公式的本质，同时也为后续用割补方法把平行四边形转化成长方形，通过长方形面积推导平行四边形面积公式奠定了推理的基础。

同样，学习圆的面积计算公式时，首先也是借助于数格法，引导学生用多种策略数出圆大约含有多少个面积单位，进一步让学生理解曲线图形的面积实际上也是求所含单位面积数，为用分割剪拼的方法把圆转化成近似的长方形，通过长方形的面积推导出曲线图形圆的面积奠定了理性思考的基础。所以我们可以这样说，直接测量为间接测量方法丰富了表象，提供了理性的思维方法，也就是说在推导面积公式和体积的同时，都是先借助于直接测量的方法，让学生分析归纳图形所含单位的个数与图形边长要素之间的关系；其次要感受到以长度的测量为基础。

这部分的复习重在沟通几种基本图形的周长、面积和体积公式及其推导方法的内在联系，总结提炼基本的数学规律，发展学生初步的推理能力符合小学生的认知规律。因此现行的教材内容编排上和教学设计上都非常重视两种测量的内容学习，并且有机结合，同等重视，所以我们一线老师在这一点上要提高认识。

（ 3 ）一种方法解决多个问题，培养思维的灵活性

很多老师都特别钟爱图形测量公式的整理与复习课，也探索了非常有效的教学设计。这些老师的整理与复习课，共同特点就是不是简单的再现零散的知识，而是把零散的知识穿成线、连成片，整理成知识网络图，让学生感受到知识之间的内容联系，进一步提升，使学生的思维更加灵活和深刻，能力得到了进一步的提高，达成了很好的复习与整理的教学效果。下面举两个例子。

很多老师都这样引导，按照教材中面积公式推导的顺序是长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形，后面图形的面积都可以用它前面的任何一个图形的面积运用转化的方法推导出来，（如图）这个大家都熟悉，因为按照一般教材都是这样安排的，教学也是按照这个顺序进行的，使学生进一步理解图形之间可以互相转换，用运动的观点看问题。

但有的老师还从上面的网络图中引导学生，也可以用后面学习梯形公式推导前面的四个直线规则图形（长方形、正方形、平行四边形和三角形）的面积问题。如，平行四边形的面积等于（ a+a ） *h/2=ah ；同样可以推导出长方形的面积等于 ab ；正方形的面积等于 a2 ；把三角形的上底看作 0 ，可以推导出 ah/2 。

还有的老师引导学生，可以用中间学习的三角形面积公式推导出其他所有直线规则图形和圆的面积计算公式。因为长、正、平、梯这些四边形都可以看成两个三角形的和，用两个三角形的面积可以推导出这四个图形的面积；而圆可以分成若干个小扇形，用极限的观点都可以看成是若干个小三角形，也可以推导出圆形的面积。这一推导的过程，渗透了代数思想，培养了演绎推理的能力。长方体、正方体、圆柱体的体积计算亦是如此，都可以看作是底面积乘以高这一个公式。

因此，上面这样的整理和复习，使学生感受到了数学知识之间的内容联系，像是一个网络，条条大路通罗马。掌握了规律和方法，要记忆的东西越来越少，教给了思维的方法，学习的方法，培养了抽象概括能力，提升思维的灵活性和深刻性。

2. 教师要整体设计动手操作的学习活动，落实“四基”目标改变教与学的方式

课标指出，学生学习应当是一个生动活泼、主动和富有个性的过程，认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证等活动过程。而几何知识的特征、小学生的思维特点，使动手实践活动成了儿童发展成长的主要途径，也是学生形成实践能力、发展创新思维的载体，这一点在我们的教学中已经得到了大家的普遍认可。图形测量内容的学习，处处充满着动手操作活动，学生从动手操作活动中提高学习兴趣、促进学生主动学习、激活学生的思维，从而获取对几何知识丰富的感知，积累数学活动经验，感受数学思想方法，提升数学思考能力。下面就谈谈关于动手实践学习活动的教学设计问题。

（ 1 ）设计多样的操作活动，帮助积累丰富的感性认识

度量单位是度量的核心，在操作中感知度量单位的产生的重要性和规定的合理性的过程中，加深对量的意义的理解，同时也在感受测量的本质。三种量的度量单位的教学模式有共同之处。一般都是让学生利用眼睛观察或采用重叠法，动手操作直接比较；然后感受无法采用上面两种直接比较的方法，就产生了利用中介物体进行间接比较，教师要创设情境，让学生经历从直接比较过渡到间接比较的过程，在间接比较的时候，人们选择的单位是各式各样的，为了交流的方便，统一了单位。如，测量长度的时候可以用木棍、手距、小臂的长度等作为临时的单位，让学生一一去亲自操作，感受到工具不一样，结果不一样，不方便交流，就统一到木棍上，再让学生用大小不一样的木棍去操作，结果也不一样，此时感受到要用一个标准的长度去操作，结果一样了，有助于人们用这个结果去交流，此时长度单位的规定就水到渠成。

同样，学习面积单位时，就让学生想办法找到物体去测量长方形的面的大小，设计了

用手掌、用格尺、用硬币、用树叶等物体去测量，结果发现工具多样，结果多样，不方便交流；在引导学生用规则的硬币去测量，结果发现是圆形的，有空隙，不方便描述这个长方形的面的大小；再引导学生想到用能够密铺的图形，如长方形、正方形、五角星等，再让学生分析用哪个可能会方便呢？学生提议用正方形，教师再引导学生用边长是 1 厘米 的，还是边长 1.4 厘米 的，还是 2 厘米 的，哪个作为标准可能将来使用起来方便呢？这样自然引发学生想到用边长 1 厘米 的小正方形可能要更好一些，产生了度量单位。

那么体积单位的教学也是这样，内容与环节的安排相似，就让学生亲身经历单位的产生过程，感受到数学知识产生与发展的重要性、合理性、简约性。还有引出单位后，还要学生回家制作单位，如剪 1 厘米 、 1 分米、 1 米 长的彩条，要求测一测家里房间的长与宽、鞋盒的长与宽、药盒的长与宽等；用报纸剪 1 平方厘米、 1 平方分米、 1 平方米 三个正方形，测一测一面墙的面积、写字台、手机一个面的面积等。上述这样的课内外操作过程为学生积累了对抽象概念丰富的感性认识，统一单位的操作过程进一步理解面积的含义大小，在用多样化的工具测量的过程中，帮助理解测量的意义（所含单位的个数）等基本概念与方法，加深了对基本知识与技能的掌握。

对量意义的理解和度量单位的产生一般是紧密联系在一起进行教学的，从整体设计上看，一般要经历以下 5 个方面的操作活动： ① 创设情境，引入概念； ② 自选工具，简单测量； ③ 统一工具，自定标准； ④ 规定单位，揭示含义； ⑤ 制作单位，自主测量。

（ 2 ）精心准备操作材料，逐步建立几种量的表象

动手对具体实物进行操作，是理解与抽象的开始。图形的周长、面积、体积公式都是对图形单位的计量方法的浓缩与提升。这些公式是作为一种结果呈现在学生面前的。如果从理解与掌握的角度来看，有必要让学生了解和经历这些公式产生的过程，让每个学生都

有机会动手，这些实践活动中的学具能为学生提供数学形象或比喻。具体有三点建议：

一是教师要明确单位模型。一般地，小棒可以是线、线段、长度、周长的形象，小正方形格子图能为学生提供有关面积的形象，而小正方体木块能为学生提供有关体积的支撑。

二是师生共同提前做好充分准备。如，学习面积时，教师要设计格子图作业纸，设计让学生在上面数一数、画一画的实践活动。学生每人准备多个 1 平方厘米的小正方形，学习长方形面积公式推导时，让两个学生把学具放在一起合作摆一摆，设计多个 1 平方分米的正方形，在书桌面上铺一铺；学习体积时，教师一定要想办法准备足够多的 1 立方厘米和 1 立方分米的正方体，如果不能每人一份，也至少每个小组一份，使学生都有近距离观察和亲自动手的机会。我们看到，因为小木块不好买也不容易制作，老师们就合作，在学习度量单位时，就给每个学生发正方体的纸模型，让学生自己去折叠，把几个班级的放在一起，一个班学生的操作活动就解决了，这个很重要。操作活动能够帮助学生积累数学活动的经验，让学生从动作思维逐步提升到符号思维。所以师生充分准备好教具和学具，特别是模型化的学具，为学生形成抽象概念和方法的必要条件，久而久之，就潜移默化地帮助学生逐步建立了长度、面积、体积这几种量的表象，人人动手，堂堂操作，让动手操作的实践活动伴随着图形测量的学习。

3. 让学生充分经历计算公式的探究过程，提升学生的数学思考和解决问题的能力

在 2011 版课标中，关于目标，第一学段指出：“探索并掌握长方形、正方形的周长公式”、“探索并掌握长方形、正方形的面积公式”；第二学段指出：“探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式”、“探索并掌握圆的面积公式”、“探索并掌握长方体、正方体、圆柱体积和表面积以及圆锥体体积的计算方法”。探索长度、面积及体积的计算方法蕴含了太多的数学思考及解决问题的策略，而对实际问题的解决，又可以很好地

培养学生的数学思维及解决问题的能力。另一方面，作为一种重要技能，小学生理应掌握，这是他们数学素养的重要组成部分。课标在内容标准中关于对公式的学习都用到了“探索”和“掌握”这两个目标动词，也就是对公式活动的过程明确了要学生用探索的方法经历一个探究的学习过程，最终达到深入理解，能够解释与运用的掌握程度。

在 2011 版《课标》中，关于学习方式指出：“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。公式的学习过程恰恰充满了上述的活动，我把这一活动称为探究学习，即让学生经历“创设情境，提出数学问题 — 分析问题，提出数学猜想 — 验证数学猜想 — 建立数学模型 — 应用数学模型，解决实际问题”这一过程，让学生积累基本的数学活动经验，培养数学思考能力。

（ 1 ）创设数学问题情境，培养学生提出问题能力

问题是学习的开始，好的问题能引发学生的思考，激发学生学习的积极性。引发对公式探索的问题，可以从两个角度创设问题情境，一是从生活情境引入，如出示停车场的俯瞰图，让学生观察停车场的车位是什么形状的，想到了什么问题，学生会提出“每个车位是平行四边形的，每个车位要占多大的面积”；如观察草地转动的喷水管，喷水的面积是多少平方米等，都是从生活引入，感受到数学问题与生活的密切联系。也可以从数学引入，最简单的办法就是直接关联，如我们知道长方形和正方形面积的计算方法，那么如何计算平行四边形的面积呢？我们学过了直线图形面积的计算方法，那么曲线图形圆的面积如何计算呢？建议前面几个图形的学习以生活为起点，提出问题；后续面积计算的问题可以以数学为起点，直接提出。

（ 2 ）引导学生联想猜测，培养学生分析类比能力

学生的探究学习基于科学探究的含义，所以往往在课堂上，需要老师引导孩子去发现、推导、建构一个数学结论、数学方法、数学公式。猜想不是胡思乱想，它是运用非逻辑手段而得到的一种假设，是一种合情推理。所以中高级关于测量公式的学习，在提出问题后，教师要引导学生运用观察、归纳、类比等在寻求解决问题的方法时大胆地联想猜测，得到解决问题的假设，然后让学生沿着猜测的思路对解决问题的假设进行验证，培养学生的理性思维，探索精神和思维能力。

如，当学生提出平行四边形的面积如何计算这个问题后，老师首先引导学生观察长方形面积的计算方法是用相邻的长边和短边的乘积来计算，正方形的面积用相邻两个边长的乘积来计算，提出：大胆地猜想一下，平行四边形的面积怎样计算呢？学生模仿类比，有的大胆提出是平行四边形两个邻边的乘积，有的猜测可能是底与高的乘积。都可以，错误的猜想也有其价值。

学习圆的面积时，有的老师这样引导学生猜测，首先化曲为直，以圆的直径为正方形的边长，在圆的外边做一个外切正方形，观察圆的面积小于正方形的面积，也就是小于（ 2r ）2 ，即小于 4r2 ，又进一步引导，圆的面积大约是正方形面积的几分之几呢？二分之一，观察不对；三分之二，有的同意；四分之三，有的也同意。如果是四分之三，就是 r2 的 3 倍，如果是三分之二，就是不到 3 倍。有了这样的猜想，有助于调动学生探索证明的积极性。

学习圆锥体积时，有的老师让学生观察动画课件，课件演示一个圆柱，一个底面的大小不变，另一个底面逐渐变小，最后变成一个点，这个圆柱变成圆台，最后变成圆锥，猜一猜，这个圆锥体积与原来圆柱体积的大小关系怎样？还有的教师把一个圆锥放在与它同底等高的透明的圆柱里，让学生观察猜测这个圆锥与圆柱体积的关于关系，可能是二分之一、三分之一、四分之一。猜测可能是不对的结论，但是充满了观察、分析与推理，对解

决问题向前迈进一一步，有助于引发学生证明和探究的愿望。

（ 3 ）设计验证数学猜想的探索活动，培养学生的推理能力

对于学生得出的直观猜想，在测量公式的教学中，一般要帮助学生设计两个方面的动手操作活动。一是“数一数”的直接测量，通过数格子数或小木块的个数，观察归纳与图形各长度要素直接的关系，二是通过把图形剪拼成已知面积计算的图形，推导出计算方法。如，猜想出平行四边形面积的计算方法后，让学生数格子图中的平行四边形所含格子数，有的学生先数整个数，再数半个的（不满一个按照半个格子计算），最后得出了格子的总数，然后算一算这个格子数是邻边相乘的积还是底和高相乘的积，大家的图形不一样，但结论都是底和高的积，初步推翻第一个假设；汇报交流中，有的同学在数格子时，就用到了剪割、旋转、拼补的方法，然后很明显地看到所含格子数是底和高的乘积，此时，学生已经用数据说明了第二个猜想是对的。但是此时，还是处于不叫直观的阶段，为了进一步提升学生的数学思考能力，教师接着组织学生进行转化探究的活动。提供大小不同的平行四边形，不带格子图的，让学生想办法转化成已知图形的面积，通过已知图形的边长与平行四边形的底与高的对应关系，推导出平行四边形的面积。这一探索操作交流的活动，使学生感受到图形等级变换的思想，感受严谨的演绎推理。至此，整个探究活动，让学生经历了证明说理的过程，经历了由现实问题到数学问题到数学知识结论的数学化过程。

图形测量公式的探索过程，方法有相似之处，教师要注意开始的一到两个图形的学习，要给出活动的设计，后续的同类量测量的计算公式要鼓励学生自己设计活动方案，推出前面的方案在其他方面也有相似之处，由低纬度到高纬度有提升之处，积累操作的活动经验，且每一次运用都是思维的一次跨越，认识的一次提高，加深直观体验和类比推理，建立猜想和发展真理的思考方法。

四、学生常见错误与问题的分析及解决策略的方法

1. 概念不清晰

例如：一个圆形的半径是 5 厘米 ，下图这个半圆的周长是多少厘米？

分析：很多学生会这样列式 2×3.14×5÷2 ， 错误的原因在于学生对于什么是图形的周长没有深刻的理解，认为半圆的周长就是圆形周长的一半。解决这个错误的办法就是让学生用手指描一描这个半圆的周长，这种情况下，很多学生会恍然大悟，啊，忘记算圆形的直径了。解决问题最根本的办法是脑中有图，其次是会运用概念去分析。

2. 概念混淆

例如：李叔叔在地面上挖了一个长方形水池，长 15 米 ，宽 10 米 ，高 2 米 ，如果要在这个水池的底面及四壁抹上水泥，如果每平方米需要水泥 8 千克 ，一共需要水泥多少千克？

分析：很多学生会这样列式： 15×10×2×8 ，产生错误的原因在于学生混淆了面积与体积的概念，尤其是题目中没有明确提出是求面积还是体积，需要学生根据生活中的原型自己判断的时候，一些概念不够牢固的学生就容易混淆 面积与体积、周长与面积等。解决这个问题的办法是画个图，或者拿来一个长方体学具，让学生指一指在长方体的哪个部

分抹水泥，这个部分实际上是长方体的什么？而学生列式实际上是求长方体的体积，体积是指哪部分？让学生把容易混淆的概念在实际情境中分析、辨别是解决问题的好办法。

3. 空间想象能力弱

例如，一个圆柱体的底面半径是 5 分米，高 8 分米，把这个圆柱体切一刀形成两个圆柱体，这两个圆柱体的表面积之和比原来的圆柱体增加了多少平方分米？

分析：学生经常会这样列式：（ 2×3.14×5×8+5 2 ×3.14×2 ）÷2 ， 求的是原来圆柱的侧面积的一半，还有的学生认为这个题缺少条件，不知道切成的两个圆柱体的高各是多少。在没有直观图或者学具的情况下，学生的这种思维说明学生空间想象能力很弱，不能根据题目中的文字叙述，想象出图形的动态变化，以及在变化的过程中，切一刀会增加两个底面积。解决这种问题的办法，可以采用实物操作或者多媒体直观演示，让学生看到变化，以及产生变化的原因。但不能每次遇到这样的题目都采用直观演示，演示或操作的目的是让学生积累经验，培养学生空间想象能力，在头脑中能想象出切割圆柱的过程。

4. 标准图形的思维定势影响

例如：求下图中三角形的面积。

分析：有的学生会这样列式：17×8÷2 ，原因在于学生平时接触的三角形大多数是以

下面一条边（即 17cm ）为底的，学生习惯了这种摆放方式的三角形，慢慢地，这种摆放方式就作为三角形及其高的一种特殊表象存储在学生头脑中。这种摆放位置也成为了学生的思维定势，影响学生对其他位置中底和对应的高的判断。在平时的教学中，注意多呈现几种变式，防止形成思维定势。

5. 逻辑推理能力弱

例如：在一个长 13 厘米，宽 5 厘米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，剩下部分的面积是多少平方厘米？

分析：很多学生列式为 13×5。要解决这个问题，不但要有空间想象能力，勾画出题目中的信息，而且要有很强的逻辑推理能力，能够知道要使正方形的面积最大，正方形的边长应该是 5 厘米，这个推理需要用到比较，13 厘米 是最长的边，但 13 不能作为正方形的边长，因为宽是 5 厘米 ，不够 13 厘米，所以最大的边长只能为 5 厘米。解决问题的办法，就是数形结合，画图分析，寻找题目中隐藏的信息，使空间想象能力和推理能力同时得到发展。