数学理卷·2014届广东省实验中学高二下学期期末考试

理科数学

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

参考公式：

一般地，若离散型随机变量的分布列为

……

……

第一部分 选择题（共40分）

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的)

1．若复数是纯虚数（是虚数单位），则的值为（*）A． B． C． D．

2．随机变量服从正态分布，若，则（*）A． B． C． D．

3．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻，

不同的排法共有（*）

A．1440种 B．960种C．720种 D．480种

4．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的

顶点，则在原来的正方体中（*）A． B．与相交

C． D．与所成的角为

5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的什么位置？（*）A．正三角形的顶点 B．正三角形的中心C．正三角形各边的中点 D．无法确定

6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军. 若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（*）A． B． C．

D．

7．已知双曲线，两渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（*）

A． B． C． D．或

8．设函数，(是互不相等的常数)，则等于（*）

A． B． C． D．

第二部分 非选择题（110分）

二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分（一）必做题（9～13题）

9．曲线在点的切线方程是 * .10．随机变量ξ的分布列如右图，其中ξ－101a，b，成等差数列，

Pab

则 * .11．的展开式中常数项的值是 * .（用数字作答）12．表示不超过的最大整数. 那么 * .13．已知抛物线

的焦点

与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则△的面积为 * .（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题. 请先用2B铅笔把答题卡上对应题号的标号涂黑，然后把答案填在横线上.）

14．(坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中，已知点

和,则、两点间的距离是 * .15．(几何证明选讲选做题) 如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直

径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则DE＝ * .

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）先后掷两颗均匀的骰子，问

（1）至少有一颗是6点的概率是多少？

（2）当第一颗骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．

17．（本小题满分14分）

甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为

．每人各投4个球，两人投篮命中的概率互不影响．（1）求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率；（2）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得分，求乙所得分数的概率分布和数学期望．

18．（本小题满分14分）

如图，在圆锥中，已知，⊙O的直径，是的中点，为的中点．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.

19．（本小题满分12分）数列满足．

（1）计算，，，，由此猜想通项公式，并用数学归纳法证明此猜想；（2）若数列满足，求证：．

20．（本小题满分14分）已知椭圆与直线相交于两点．

（1）若椭圆的半焦距，直线与围成的矩形的面积为8，

求椭圆的方程；

（2）若（为坐标原点），求证：；

（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴长的取值范围．

21．（本小题满分14分）已知函数.

（1）函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论；（2）当时，恒成立，求整数的最大值；（3）试证明：().

2012—2013学年（下）高二级第二学段模块考试·

理科数学答案及说明

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.

题号1234567

答案

D

C

A

D

B

D

8A

D

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

9． 10． 11． 12． 13． 14． 15．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.

16．（本小题满分12分）

解：（1）设为掷第一颗骰子得的点数，为掷第二颗骰子得的点数，则所

有可能的事件与点建立对应如图，共有种不同情况，它们是等可能的． …………2分

设事件A为“至少有一颗是6点”，则事件A共包含11种不同情况， …………3分

∴P(A)＝. …………5分

（2）设事件B为“第一颗骰子的点数为3或6”，事件C为“两颗骰子的点数

之和大于8”，由图可知

则， …………9分 …………12分17．（本小题满分14分）

解：（1）设“甲至多命中1个球””为事件A，“乙至少命中1个球”为事件B，……1分由题意得，

…………5分

∴甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为

…………6分

（2）乙所得分数的可能取值为，…………7分

则，，，

， …………11分分布列如下：0P4 …………13分

…………14分18．（本小题满分14分）

解法1：（1）连结，因为，是中点，所以又底面⊙O，底面⊙O，所以

， …………2分

因为是平面内的两条相交直线，所以平面 …………4分而

平面，所以平面

平面. …………6分（2）在平面中，过作于，

由（1）知，平面

平面平面=所以平面，又面，所以在平面中，过作于，连接，平面，从而，故

为二面角的平面角 …………9分在

在在

在所以

…………13分故二面角的余弦值为

…………14分

解法2：如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，轴建立空间直角坐标系，则，

…………2分

（1）设是平面的一个法向量，则由，得

所以，取得 ………4分

设是平面的一个法向量，则由，得

所以，取，得 …………6分因为，所以从而平面

平面 …………8分（2）因为轴

平面，所以平面的一个法向量为由（1）知，平面的一个法向量为设向量和的夹角为，则 …………13分所以二面角的余弦值为

…………14分19．（本小题满分12分）

解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.

当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝. …………

1分

当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.

当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝.

…………2分

由此猜想an＝(n∈N*)． …………4分

现用数学归纳法证明如下：

①当n＝1时， a1＝＝1，结论成立．

②假设n＝k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即ak＝，那么当n＝k＋1时，

ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，

∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝＝＝，故当n＝k＋1时，结论成立，

由①②知猜想an＝(n∈N*)成立． …………8分(2)由(1)知，，． …………9分解法1：当时，

………10分． ………12分

解法2：当时，，

………10分

． ………12分

解法3： 当时， …………10分

．………12分

20．（本小题满分14分）

解：（1）由已知得： 解得 …………3分

所以椭圆方程为： …………4分（2）设，由，得

由，得

…………7分

由，得 …………8分∴

即，故 …………9分（3）由（2）得 由，得，

∴ …………12分由得，∴

所以椭圆长轴长的取值范围为 …………14分

21．（本小题满分14分）

解：（1）由题 …………2分

故在区间上是减函数 …………3分（2）当时,恒成立,即在上恒成立, …4分取,则, …………5分再取则 …………6分故在上单调递增而

故在上存在唯一实数根， …………8分故当时，，，当时，

故 故 ……10分（3）由（2）知

令, …………12分又

即 …………14分