(完整word版)三角形的五心问题

自主招生讲座—平面几何5

三角形的五心问题

一．重心:中线交点 1。AG:GD2:1

1112。AD2AB2AC2BC2

22413.SGBCSABC

34。

AFGBDCE(1）

2BC23GA2CA23GB2AB23GC2(AB2AC2BC2)

31(2)GA2GB2GC2(AB2AC2BC2)

3(3) GA2GB2GC2最小.

二．外心：三边中垂线交点，外接圆圆心。 如图,OEBC交BC于D. 1.OAOBOCR

2.BOC2A(非钝角三角形) BOC2(180A)（钝角三角形) 3。BDDC,BEEC

BAOCDEabc 4R三．内心：角平分线交点，内切圆圆心。

设ABC的内切圆O切边AB于点P，AI（I为圆于D，内切圆半径为r，则

11.BIC90A

2A12.APrcot(bca)

223.DBDCDI

r4。SABC(abc)

2四．垂心：高线的交点 4。SABC内心）的延长线交外接

APIOCBD设O,G,H分别是ABC的外心、重心和垂心,ODBC于线交外接圆于H1，则 1.AH2OD

2。H与H1关于BC成轴对称。 3。

BAHGOFDCD,AH的延长

BCH与ABC的半径相同。

4.ABHCBO,BCOACH,BAHCAO

H1(完整word版)三角形的五心问题

5。旁心:三角形任意两角的外角平分线和第三个内角的角平分线相交于一点，这个交点即为三角形的旁心。

设在ABC中，A内的旁切圆于P1，则

I1（半径为r1）与AB的延长线切

11.BI1C90A

2A12。APrcot(abc) 112213.AI1BC

214.SABCr1(bca)

2P2CI1ABP1例1:如图，设I是ABC的内心，M,N分别是边AB,AC上的点,且使得ABINIC,ACIMIB。求证：点M,N,I三点共线。

AMIBNC例2：BC为圆O的直径,A为圆O上一点，0AOB120，D是弧AB（不含C的弧）的中点，过O平行于DA的直线交AC于I，OA的垂直平分线交O于E,F.求证：

I是CEF的内心.

ADEBOICF例3：点A在KMN内，点B在KM上，点C在MN上.若CBMABK,

BCMACN.求证：BCM的外心在AM上.

MCBANK(完整word版)三角形的五心问题

例4:设O为ABC的外心，ABAC,D是AB中点,G是ACD的重心，连接AO并延长交CD于M，连接CG并延长交AB于E。求证：OGCD。

AEGOMDBC例5：在锐角ABC中，ACBC，ADBC于D，BEAC于E，AB2DE，O,I分别是ABC的外心和内心，取AB的中点M,连接EM,DM,AO,BO,BI。求AIO。

CEOIDAMB作业：

1.如图，I是ABC的内心，I关于边BC,CA,AB的对称点分别为A,B,C.证明：若ABC的外接圆过点

B，则ABC60。

B'AC'CBA'(完整word版)三角形的五心问题

2。如图，在ABC中，A的平分线与外接圆交于点D,I是内心，M为BC中点,P为I关于M的对称点，延长DP与外接圆相交于N。求证：线段AN,BN,CN中有两个的和等于第三个。（提示：面积法）

AIBNPDMC3.已知在ABC中，由点A分别向B和C的平分线引垂线,垂足分别为A1和A2，同理，定义B1,B2和C1,C2.求证:2(A1A2B1B2C1C2)ABBCCA。（52页）

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