应变张量1

在介质中取无限接近的两点A和B，其坐标分别是xA和xB，两点的距离为：

xxBxA

变形后，原来的两点分别经过位移uA和uB移动到A'和B'，其坐标分别变为x'A和x'B，且有x'AxAuA和x'BxBuB，取uuBuA，此时两点的距离变为：

x'x'Bx'AxBxAuBuAxu。

经过位移之后，两点的距离变化为： sx'xu

这种距离变化与原距离的比值称为相对深长（或缩短）量，可写为：

u x使A和B两点无限接近，即取极限，其极限值称为该点的位移梯度，也可称为一般应变，e即：

ε'gradulimudu x0xdx位移是一阶张量（矢量），坐标也是一阶张量，因此，位移梯度是二阶张量。写成分量的形

式为：

'ijui xj下标相同时，如'11，'22，'33，代表某方向的相对深长（缩短）量，称为线应变。下标不同时，如'12，'13，'21，'23，'31，'32，代表产生的转角，称为角应变。如图可以看出，对于一个矩形微元，角应变'ij使原直角减小角度为ijtgij角应变'ji又使角度减小'ji，总角度减小量为'ij'ji。

在一般情况下，角应变ijji，因此上述的位移梯度张量并不是对称张量。为了进一步分析上述位移梯度张量的性质，做一下位移的分解。设位移场为uu(x1,x2,x3)， 假定位移梯度小（即

ui'ij，同理，xjui1恒成立）。按照二阶张量的分解性质，可将上述位移梯度张xj量分解成对称项和反对称项两部分之和，则位移分量可写为：

duiui1uujdxjixj2xjxiudxj1uij2xjxidx uuj1取iji2xjxiu， ij1uij2xjxi，则： duiijdxjijdxj

可以看出，ij是反对称张量，ij是对称张量。进一步分析发现，二阶反对称张量的分量满足：kj1ijkuk，若定义其是一阶张量（矢量）ω的一个分量i，2xj即：ikj1ijkuk，或：ijikjkijkk，则按照矢量叉乘的性2xj质，一方面有：

ω11urotu 22另一方面有：

ijdxjikjkdxjωdxi

代入前式，有：

duiωdxiijdxj

或：

duωdxEdx 其中E{ij}。同时有：

uxdxu(x)ωdxE•dx

可以看出，点x邻域内一点xdx的位移可分解成三部分：第一部分u(x)是刚体平动，第二部分ωdx是刚体转动，旋转角是ω，第三部分E•dx反映的才是变形引起的位移。

从上述的分析可以发现，真正反映介质变形得是位移梯度张量中的对称部分。有鉴于此，通常取：

ijjiijji('ij'ji)

并称这样的对称二阶张量为应变张量。这样的应变张量得分量在形式上也是与应力张量保持一致，同时也体现了总角度变化等于两个角度相加的角应变特性。角应变主要是由于剪切产生的变形，因此也叫剪应变。同一般的二阶对称张量性质一样，应变张量也有三个主值1、

1212122和3，通常称其为主应变，也有三个不变量，分别为： I1123I2121323 I3123通常分别称其为应变张量第一、第二和第三不变量。

应变率张量(变形速度张量)

用速度代替位移，可由上述的应变张量得到应变率张量，也称变形速度的张量

ij为： E iji2xjxivi它也是一个二阶对称张量，是速度梯度张量的对称部分。变形速度张量分

xj1vvj量各分量的几何意义可由

ij v1vij2xjxi v1 x1的意义相应地得到。即：

11 表示平行x1轴的线元在单位时间内的相对收缩率。

122v1v2 x2x1表示x1轴和x2轴间的直角，在单位时间内的角度变化（也称此为剪切速度）。 类似地也可解释其它分量的意义。

1. 微团速度分解

vv(x1,x2,x3,t)是t时刻的速度场。考虑同一时刻（即固定t，而有dt0）有

ijdxjijdxj dui其中

vivj1ij 2xjxi 是二阶反对称张量。

记ωv11iijkk rotv，22xj即

32132,213,321 2x2x11vvijdxjikjdxi kdxjω进而有

dxiijdxj dviωdx dxEdvωdx是变形引起的速度变化，第一项此式称为微团速度分解。右边第二项Edx是微团作刚体旋转引起的速度变化，而旋转的角速度就是 ω1rotv ω2

介质中曲面的移动和传播

设在介质中有一运动的曲面，其方程为

F(x1,x2,x3,t)0

则

dFFFFdtdxidtgradF•dx0 txit

取drn为dx在曲面法线方向（即梯度gradF的方向）的投影，则上式可化为：

FdtgradFdrn0 t从而有： dFFdrnt dtgradF这恰是曲面沿法线方向的运动速度，用CF代表，即：

FdrCfnt

dtgradF 如果介质以v的速度运动，则沿曲面F0法线方向的速度分量为vnv•n，其中ngradF为曲面法线方向的单位矢量。 则曲面在介质中沿法线方向的相对gradF速度为：

FFdFv•gradFgradFCCfvntv•tdt

gradFgradFgradFgradF此即曲面F0在介质中的传播速度。如果这一曲面为波阵面，则该速度为波速。

可变区域上物理量随随时间的变化率

在连续介质力学中,经常要求一个区域的变化规律，如质量的变化等，为此，讨论一下一般性的区域物理量变化规律。设V(t)是可随时间变化的空间区域，其周界面为S(t),物理量A在区域V上的总量为：AdV, 其变化率

VdAdV为： dtVrndAAdVdVAVtStdS dtV即： dAAdVdVACSdS VVSdtt当周界面S(t)为物质面时，Csvn，则利用高斯积分定理可将上式化为：

dAAAAdVdVAvdSdVn•(Av)dSdiv(Av)dV nVVSVSVdtttt