12.1 复数的概念

【目标要求】

了解数的概念的发展；

理解虚数单位i的引入和性质； 理解复数及复数相等的概念；

理解复数集与实数集的区别与联系． 【教学重点】 复数的概念． 【教学难点】

虚数单位i的引入和理解． 【教学方法与思路】

采用讲授法．先介绍数的概念的发展，由方程x40在实数集内无解，启发学生寻求让该方程有解的方法，在这一过程中引入一个新数i，通过一个练习让学生体会引入新数i的好处，从而引出虚数单位，进一步引入虚数、纯虚数和复数的概念，最后通过例题和练习使学生掌握本节课的知识点．

【教学过程】

一、数的概念的发展

数的概念是从社会生产和生活中产生和发展起来的．早在原始社会，由于计数的需要，人们就建立起自然数的概念．自然数的全体构成自然数集Ｎ．随着生产的发展，产品有了交换，为了表示各种具有相反意义的量，比如：买进5个苹果用+5表示，那么卖出5个苹果用-5表示；再比如用零上5度零下5度表示温度，人们引进了负整数．自然数和负整数构成整数集Z．为了解决已知量的等分问题，一个苹果分别被两个人、三个人、四个人分，平均每人几个苹果？人们引进了分数或小数．整数和分数构成有理数．至此，数还是不够用，因为我们在求面积为2平方米的正方形的边长时，有理数是解决不了问题的，于是产生了无理数2，有理数和无理数构成实数．（课件动画显示数集的发展过程．）

2R Q Z 2，3 … N 0，1，2， -3，-4， 3，… … 11，， -1，-2， 23… 二、问题情境

数的概念，是否发展到实数就够用了呢？请同学们尝试做下面的题目：

1

在实数集内解方程：x40 （无解！） 问题1：我们能不能想办法使方程x40有解？ 问题2：方程无解问题出现在哪里呢？ （-4在实数范围内没有平方根.） 问题3：怎样处理负数的平方根？ 分析：（课件显示分析过程） 借用正数的求借用根式 平方根的方法 运算法则 22x24 x4 x4(1) x21 我们引入一个新数，这个数具有性质i21，这样－1就有平方根i，从而－4有平方根2i．这样我们就在实数以外找到了能使方程x40成立的解x2i．

2i引入新数后，请同学们试着解决下面的问题： 练习

1．引入新数后，求下列各数的平方根：(1)–9 (2)ii1 (3)－0.5 4结论：任何负数开平方都可以表示为它的相反数的平方根与的乘积. 2．引入新数后，求下列方程的根：

22(1)x90 (2)x20 (3)x2ii40 9师：从这个练习可知引入新数有很多好处，它可以使负数有平方根，可以使某些在实数范围内无解的方程有根，所以我们有必要引入复数．

三、学习新课 1．虚数单位i

人们引入了一个新数i，叫做虚数单位，它具有性质： （1）i2ii1

（2）实数与i进行四则运算时，原有的加法、乘法运算法则仍然成立． 2．纯虚数、虚数、复数

1） 纯虚数：实数b(b0)与i相乘，得出形如bi(b0)的数，称为纯虚数．

2

特别规定：0i0

2） 虚数：再将bi(b0)与实数a相加，其和可以写成abi(b0)的形式，我们把形如abi(b0)的数叫做虚数．

显然纯虚数是虚数的特殊情况． 3） 复数：

实数和虚数可以统一地用abi(a，bR)来表示，我们把形如abi(a，bR)的数称为复数．其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．

当b0时，复数a0i就是实数a； 当b0时，复数abi叫做虚数；

当a0且b0时，复数bi叫做纯虚数．

如果两个复数abi与cdi的实部与虚部分别相等，则称这两个复数相等，记作abi=cdi．

abi=cdi ac，bda0，b0abi=0 3．复数集：

所有复数组成的集合叫做复数集，用C表示，即C=abia，bR 复数通常用小写英文字母z，w…来表示，例如：设zabi，wcdi. ，显然，实数集R是复数集C的真子集． 4．复数集C与实数集R的联系与区别： 联系：

 虚数集 实数集 （b0） (b0） 复数集C 纯虚数集 （a0且b0） 实数集R 纯虚数集 虚数集 非纯虚数集 区别：任意两个实数都可以比较大小；两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小．

四、知识应用

例1 把下列复数用箭头送入相应的集合中：

52，23i，4i，0.8，70.01i，i2，10.4i，9i 73（图见复数集与实数集的联系图）

3

（采用学生口答形式） 例2

已知(2a1)(3a)ia(3b)i，其中a，bR，求a与b.

分析：由于a，bR，所以(2a1)，(3b)，-(3-b)都是实数，从而等式两边表示的数都是复数．根据两个复数相等的定义，可以求a，b. 解：（展台演示学生解题过程．） 解：根据复数相等的定义，得

2a1a

3a(3b)解得 a1， b5

练习：

（1）2a(a3b)i6 （2）[1(ab)](ab)i0

例3 实数m取什么值时，复数z(m3)(m1)i是

(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数？

分析：由于mR，所以m3，m1都是实数，由复数zabi是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定m的值．

解：（演示学生解题过程） 五、课堂练习

1．在下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？

2(1)27 (2)0.618 (3)i (4)0 (5)i (6)i2 (7)5i8

7(8)cos (9)i(13) (10)2i2

62. 下列各复数的实部和虚部各是什么？ (1)56i (2)

22i (3)i (4)0 (5)3 (6)cosisin

6622六、小结

（1）引入虚数单位i，并规定了它的性质；

（2）学习了虚数、纯虚数、复数和复数相等的概念，要注意区分虚数和纯虚数，掌握两个复数相等的条件；

（3）学习了复数集的概念，要理解复数集的构成，理解实数集与复数集的联系与区别；（4）了解实数集扩展到复数集的好处． 七、布置作业

P272 A组 第3题

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