2012考研数学强化阶段重要题型攻略之高等数学(十六)

万学海文

在历届考研试题中，含有变限积分与原函数的综合题是比较多的，它的基础知识是需要掌握的，万学海文数学钻石卡考研辅导专家们在此给出相关做题方法，便于2012年考研的考生复习。下面，我们接着来看一下“求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域”。求幂级数的收敛域，一般先求出收敛半径及收敛区间，再考虑区间端点处的敛散性，此时转化为数项级数敛散性的判别．对于求幂级数的收敛半径及收敛区间，通常有以下两种情形．

an11|，得收敛半径为R，收敛区间为(R,R)． 【方法一】如果幂级数为标准形anxn，则可直接利用公式，由lim|annn0【方法二】如果幂级数为缺项幂级数，如a2nx,a2n1x2n1，则不能直接利用公式．这时可将幂级数看做一般的函数项级数

2nn0n0un(x)，由比值判别法，先求(x)lim|n1nun1(x)|，再令(x)1，解出x的取值范围，即为收敛区间．收敛区间长度的一半即为收敛半un(x)径．

求得收敛区间(a,b)后，再考察数项级数un(a)与un(b)的敛散性，即可得到收敛域，需注意的是：

n1n1（1）一般不能用比值法或根值法判定级数un(a)与un(b)的敛散性．

n1n1（2）幂级数经过有限次的逐项求导或逐项积分，不改变其收敛半径与收敛区间，但在收敛区间端点的敛散性可能会改变． 【例1】下面有四个命题：

①若anx的收敛域为[R,R]，则幂级数nanxn1的收敛域为[R,R]．

nn0n0②设幂级数anxn在x2处条件收敛，则它的收敛半径R2．

n0③设幂级数anx,bnx的收敛半径分别为R1,R2，则(anbn)xn的收敛半径为Rmin{R1,R2}．

nnn0n0n0an1④设an0，且满足a1(n1,2,3,)，则an收敛．

nn0这些命题中正确的个数是（ ）． A．0

B．1

C．2

D．3

解 关于命题①，取anxnn0n1xnnn，其收敛域为[－1，1]，但nanxn1的收敛域为[－1，1），所以①不正确．

n1关于命题②，设幂级数anx的收敛半径为R．若R2，由于对满足|x|R的任意x，级数anx绝对收敛，从而推出an(2)n绝

nnn0n0n0对收敛，这与已知矛盾；若R2，由于对满足|x|R的任意x，级数anx发散，从而推出an(2)n发散，也与已知矛盾．因此R2，

nn0n0②正确．

11n(1)n关于命题③，当R1R2时，Rmin{R1,R2}，于是要考察R1R2的情形．设有两个级数(n)x,x，易求得它们的收敛半

nn2n1n1111径为R1R21，但[(n)xnxn]n2nn11nx的收敛半径为R2，因此③不正确． n2n1关于命题④，这里要注意，对于正项级数n0an1an1an，若极限lima存在，且lima1，则级数

nnnnan1an11收敛．但与alim1有nannann0an11an1an1n本质区别，由a1可能得lima1，这时比值判别法失效．例如：取an，则a 1，但an发散，因此命题④不正确．

nnnnn1nn0综上所述，可知应选B．

【例2】设幂级数an(x1)的收敛域为（－4，2），则幂级数nan(x3)n的收敛区间为______．

nn0n0解 设tx1，则由题设知幂级数ant的收敛半径为3．由幂级数的性质，级数nantnn0n1n1的收敛半径也是3，显然，幂级数nantnn0有相同的收敛半径3．

由|x3|3，可得幂级数nan(x3)n的收敛区间为（0，6）．

n0(1)n8n3n2x【例3】级数的收敛域为______． 3n)nln(nn1un1(x)(1)n18n1nln(n3n)x3n1lim8|x3|, 解 limnn33n2nu(x)n(1)8(n1)ln[(n1)(n1)]xn1212故当x时，原级数绝对收敛．

1时，有 2又当x此级数满足交错级数收敛的条件，故原级数在x(1)n8n3n2x3n)nln(nn1(1)n4, 3n1n(nn)n11处条件收敛． 21114当x时，原级数化为，此级数是发散的，故该级数的收敛域为(,]． 3nln(nn)222n1(x2)n【例4】幂级数2的收敛域为______．

nnn1an1n2n解 由于 lim|a|lim||1，

nn(n1)2(n1)n(x2)n所以收敛半径为R1，从而幂级数2的收敛区间满足|x2|1，即为（1，3）．

nnn111(1)n当x1时级数收敛．当时级数也收敛，故题中幂级数的收敛域为[1，3]． x32n2nn1nnn1