2016中考相似三角形专题复习

【知识点及方法总结】： 一、相似的模型 1. 相似基本模型回顾

2. 相似高级模型 ① 双垂直模型及其变形

45°120°60°

② 大角夹半角相似模型:如上右图。 二、位似图形

60°60°60°(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．

(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比． 【典型例题讲解】

例1. （2015山东省德州市）

(1)问题 :如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP.

(2)探究 :图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由. (3)应用:请利用(1)(2)获得的经验解决问题：

如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5.点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值.

例2．（15山东威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E． （1）求证：BE=CE； （2）若BD=2，BE=3，求AC的长．

试题训练

一．选择题:

1.（15淄博）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（ ）

A．

B．

C．

D．

CABEF第7题图D

1题图 2题图 3题图 4题图 2．（14贵阳）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ） A.P1 B. P2 C.P3 D.P4 3.（15武汉市）如图，在直角坐标系中，有两.点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ） A．(2，1)

B．(2，0)

C．(3，3)

13D．(3，1)

4．(15株洲)如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( ) A．

1234 B． C． D． 33455．（14本溪）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

5题图 6题图 7题图 8题图

6．（13贵阳）如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（ ）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

2

7．（1川乐山）如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，

则的值为（d ） A． B． C． D．

8．（13长春）如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，则CD的长为（ ） 2 3 A．B． C． D． 二．填空题： 1．（15江苏泰州）如图，△

中，D为BC 上一点，∠BAD=∠C,AB=6，BD=4，则CD的长为_________.

1题图 2题图 3题图 5题图

2．（14海南）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=4，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE= _________ ． 3．（13牡丹江）如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件 _________ ，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可） 4．（1川凉山州）在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD：S△COB= ． ． 5．（13安顺）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE= _________ ．

6题图 7题图 8题图 6．（15吉林）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 m．

7．（15佛山）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10F在三角形的边上）．则此正方形的面积是 ．

．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、

8．（15柳州）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=2EH/3，那么EH的长为 ．

5小题） 三．解答题（共

1．（2014•南平）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C， 求证：AB2=AD•AC．

3

2．（2014•柳州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D． （1）求证：△ABE∽△ADC；

（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．

3.（15东营）已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E（1）求证：AC·AD=AB·AE；（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长。

4．（2012•陕西）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F． （1）求证：AB=AF； （2）当AB=3，BC=5时，求

的值．

5（选做）（15聊城）如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题： （1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）； （2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？ （3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

4

参

例 1

例2解答： （1）证明：连结AE，如图， ∵AC为⊙O的直径，

5

∴∠AEC=90°， ∴AE⊥BC， 而AB=AC， ∴BE=CE；

（2）连结DE，如图， ∵BE=CE=3， ∴BC=6，

∵四边形ADEC为⊙O的内接四边形 ∴∠BED=∠BAC， 而∠DBE=∠CBA， ∴△BED∽△BAC， ∴

=

，即

=，

∴BA=9， ∴AC=BA=9．

一 1 C 二 1 5

2 5 3 略 4 或． 5 3：5 6 12 7 25 8 2 C 3 A 4 C 5 B 6 B 7 D 8 B 6

5解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x， 在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB=作NP⊥OA于P，如图1所示： 则NP∥AB， ∴△OPN∽△OAB， ∴即

解得：OP=x，PN=

，

， ，

）；

， =

=5，

∴点N的坐标是（x，

（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=∴S=OM•PN=（4﹣x）•

=﹣x2+x，

∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+x（0＜x＜4），

2

配方得：S=﹣（x﹣2）+，

∵﹣＜0， ∴S有最大值，

当x=2时，S有最大值，最大值是；

7

（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下： 分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示： 则MN∥AB，

此时OM=4﹣x，ON=1.25x， ∵MN∥AB， ∴△OMN∽△OAB， ∴即

解得：x=2；

②若∠ONM=90°，如图3所示： 则∠ONM=∠OAB， 此时OM=4﹣x，ON=1.25x， ∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA， ∴△OMN∽△OBA， ∴即解得：x=

；

秒．

，

， ，

，

综上所述：x的值是2秒或

6．（2012•日照）如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G．求证：（1）CG=BH； （2）FC2=BF•GF； （3）

=

．

8

9