207年考研数学一真题及答案

数学（一）试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． ．．．

1cosx,x0（1）若函数f(x)ax在x0处连续，则

b,x0 (A) ab． (B) ab． (C) ab0． (D) ab2． 【答案】A 【详解】由lim1cosx11b,得. abx0ax2a21212（2）设函数fx可导，且f(x)f'(x)0则

(A) f1f1 ． (B) f1f1． (C) f1f1． (D) f1f1. 【答案】C

f2(x)]0,从而f2(x)单调递增,f2(1)f2(1). 【详解】f(x)f(x)[2（3）函数f(x,y,z)x2yz2在点(1,2,0)处沿着向量n(1,2,2)的方向导数为

(A) 12． 【答案】D

【详解】方向余弦cos,coscos,偏导数fx2xy,fyx2,fz2z,代入

cosfxcosfycosfz即可.

(B) 6． (C) 4． (D)2 ．

1323（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示

甲的速度曲线vv1(t)(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线vv2(t)(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单

位：s)，则

(A) t010． (B) 15t020．

(C) t025． (D) t025．

【答案】C

【详解】在t025时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m处. （5）设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则

(A) EααT不可逆． (C) E2ααT不可逆． 【答案】A

【详解】可设T,则T的特征值为1,0,,0,从而ET的特征值为0,1,,1,因此ET不可逆.

2002101021B020C2（6）设有矩阵A，， 0010012(B) EααT不可逆． (D) E2ααT不可逆．

(A)A与C相似，B与C相似． (B) A与C相似，B与C不相似． (C) A与C不相似，B与C相似． 不相似．

【答案】B

(D) A与C不相似，B与C【详解】A,B的特征值为2,2,1,但A有三个线性无关的特征向量,而B只有两个,所以A可对角化, B则不行.

.（7）设A,B为随机事件，若0P(A)1，0P(B)1，则P(A|B)P(B|A)的充分必要条件

(A) P(B|A)P(B|A)． (C) P(B|A)P(B|A)． 【答案】A

【详解】由P(A|B)P(A|B)得

P(AB)>P(A)P(B);

P(AB)P(AB)P(A)P(AB),即P(B)P(B)1P(B)(B) P(B|A)P(B|A)． (D) P(B|A)P(B|A)．

由P(B|A)P(B|A)也可得P(AB)>P(A)P(B). （8）设X1,X2,1n,Xn(n…2)为来自总体N(,1)的简单随机样本，记XXi，则

ni1下列结论不正确的是

(A)(Xi)2服从2分布 ． (B) 2(XnX1)2服从2分布．

i1n (C) (XiX)2服从2分布． (D) n(X)2服从2分布．

i1n【答案】B

nnXi22~N(0,1)(Xi)~(n),(XiX)2~2(n1); 【详解】1i1i1(XnX1)2122~2(1). X~N(,),n(X)~(1);XnX1~N(0,2),2n二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位．．．置上．

（9）已知函数f(x)【答案】0 【详解】f(x)1(3)f(0) ． ,21x11x2x421x(1x1),没有三次项.

（10）微分方程y2y3y0的通解为 ． 【答案】yex(C1cos2xC2sin2x)

【详解】特征方程r22r30得r12i,因此yex(C1cos2xC2sin2x). （11）若曲线积分L ．

【答案】1 【详解】有题意可得

xdxaydy22在区域D(x,y)xy1内与路径无关，则a 22xy1QP,解得a1. xx（12）幂级数(1)n1nxn1在(-1,1)内的和函数S(x) ．

n1【答案】

1 2(x1)n1n1【详解】(1)nxn1[(x)n]n11. 2(x1)101（13）A112，1，2，3是3维线性无关的列向量，则A1,A2,A3的

011秩为 ． 【答案】2

【详解】r(A1,A2,A3)r(A)2

（14）设随即变量X的分布函数F(x)0.5(x)0.5(态分布函数，则EX ．

x4)，其中(x)为标准正2【答案】2

【详解】EXxf(x)dxx[0,5(x)00.5x4()]dx2. 22三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． ．．．（15）（本题满分10分）．

dy设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，yf(e,cosx),求

dxxd2y,2x0dx.

x0【答案】yf(ex,cosx) （16）（本题满分10分）．

求limkkln(1). nn2n【答案】

（17）（本题满分10分）．

已知函数y(x)由方程x3y33x3y20确定，求y(x)的极值. 【答案】x3y33x3y20①，

方程①两边对x求导得：3x23y2y'33y'0②， 令y'0，得3x23,x1. 当x1时y1，当x1时y0.

方程②两边再对x求导：6x6y(y')23y2y''3y''0， 令y'0，6x(3y21)y''0，

当x1，y1时y''，当x1，y0时y''6.

所以当x1时函数有极大值，极大值为1，当x1时函数有极小值，极小值为0.

32（18）（本题满分10分）．

设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数，且f(1)0，lim（I）方程f(x)0在区间(0,1)内至少存在一个实根;

（II）方程f(x)f''(x)[f'(x)]20在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)limx0x0f(x)0.证明： xf(x)0，由极限的局部保号性，c(0,),使得f(c)0，又xf(1)0,由

零点存在定理知，(c,1)，使得，f()0. (2)构造F(x)x0f(x)f，'xF(0)f(0)f'(0)0，F()f()f'()0，

limf(x)f(1)f(0)0,f'(0)0,由拉格朗日中值定理知(0,1),f'()0，x100，

(1)f'(0)f'()0,所以由零点定理知1(0,)(0,1)，使得f'F(1)f(1)f'(1)0, 所以原方程至少有两个不同实根。

（19）（本题满分10分）．

设薄片型物体S是圆锥面zx2y2被z22x割下的有限部分，其上任意一点处的密度为(x,y,z)9x2y2z2，记圆锥面与柱面的交线为C； （I）求C在xOy平面上的投影曲线的方程； （II）求S的质量M。

22(x1)2y21zxy【答案】(1)C的方程为，投影到xoy平面的方程为：

2z0z2x（20）(本题满分11分)．

设3矩阵A(1,2,3)有3个不同的特征值，3122 （I）证明：r(A)2;

（II）若123，求方程组Ax的解.

【答案】

又A有三个不同的特征值，故10为单根，且A一定能相似对角化. （2）由（1），Ax0的通解为k1,2,1T，

11T123，故有1,2,3，即A1,1,1.

1（21）（本题满分11分）．

设二次型f(x,x221,x23)2x1x2ax232x1x28x1x32x2x3在正交变换xQy的标准形为y22112y2，求a的值及一个正交矩阵Q。

214【答案】二次型的矩阵A111，

41a因为二次型在正交变换下的标准形为221y12y2，故A有特征值0，

A0，故a2.

214由EA111(3)(6)0得特征值为

41213,26,30.

解齐次线性方程组iEAx0，求特征向量.

5141011对1011,得13，3EA1211；

41500014141011对6，6EA171010,得220；

4140001214101对0，0EA111012,得1332；

4120001 下因为1,2,3属于不同特征值，已经正交，只需规范化： 令1111,1,1T,2211,0,1T,311,2,1T， 123261201216222f3y6y,对应标准形为. 12616131所求正交矩阵为Q313（22）（本题满分11分）．

设随机变量X与Y相互，且X的概率分布为P{X0}P{X2}，Y的

2y,0y1概率密度为f(y)

0,其他.12（I）求P{YEY}

（II）求ZXY的概率密度。

【答案】（1）EYyfY(y)dyy2ydy，

0123PYEYfY(y)dy2ydy232304. 9（2）Z的分布函数为 故Z的概率密度函数为

z00,z,0z10z1z,1fZ(z)FZ(z)f(z)f(z2)0,1z2z2,2z3. 2z2,2z30,其它z30,（23）（本题满分11分）．

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，

该物体的质量是已知的.设n次测量结果X1,X2,Xn相互且均服从正态分布N(,2).该工程师记录的是n次测量的绝对误差

ZiXi(i1,2,,n).利用Z1,Z2,Zn估计.

（I）求Zi的概率密度；

（II）利用一阶矩求的矩估计量； （III）求的最大似然估计量.

【答案】Z1的分布函数为FZ(z)PZ1zPX1zP1X1z， 所以Zi的概率密度均为fZ(z)FZ(z)2e20,t22z222,z0其他.

（2）EZ10令tz2222zedz22z20te2dt2te2202， 2令EZ1Z，即

2Z，得的矩估计量为： 2ˆ21nZ，其中ZZi. 2ni1（3）记Z1,Z2,,Zn的观测值为z1,z2,,zn，当zi0(i1,2,,n)时， 似然函数为L()f(zi;)i1i1nn22e22n(2)2nzi2n2ne122zi2i1n，

n1lnL()nln2ln(2)nln222zi12i，

dlnL()n1n21n2令3zi0，得zi di1ni11n2ˆ的最大似然估计量为Zi.

ni1