乘法公式的拓展及常见题型整理

a2b2222例题：已知ab=4，求ab。 ⑴如果ab3,ac1，那么abbcca的值是

2x2y212122xy= ⑵xy1，则xxyy= ⑶已知x(x1)(xy)2，则２22⑴若(则aab)7，(ab)13，b2222____________，ab_________

22，则a为 (xy)a⑵设（5a＋3b）2=（5a－3b）2＋A，则A= ⑶若(xy)⑷如果(xy)2M(xy)2，那么M等于 ⑸已知(a+b)=m，(a—b)=n，则ab等于

2

2

222222(2a3b)(2a3b)N，

⑹若则N的代数式是 ⑺已知(ab)7,(ab)3,求abab的值为 。

⑻已知实数a,b,c,d满足acbd2

2

3，adbc5，求(a2b2)(c2d2)2

2

例题：已知(a+b)=7,(a-b)=3, 求值: (1)a+b (2)ab

例2：已知a=

⑴若x3y

111x＋20，b=x＋19，c=x＋21，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值 2020207,x29y249，则x3y=

2⑵若ab2，则ab24b= 若a5b6，则a25ab30b=

⑶已知a2＋b2=6ab且a＞b＞0，求 ⑷已知aab的值为 ab2005x2004，b2005x2006，c2005x2008，则代数式a2b2c2abbcca的值

是 ．

（四）步步为营

例题：3(2+1)(2+1)(2+1)( 6

248216+1)

(71)(72+1)(74+1)(78+1)+1

abab2a2b4a4b8 a8b(21)(221)(241)(281)(2161)(2321)1

201222011220102200922212

（五）分类配方 例题：已知m

21111 121212…14201023 2

n26m10n340，求mn的值。

⑴已知：x²+y²+z²-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值为 。 ⑵已知x²+y²-6x-2y+10=0，则

11的值为 。 xy2003⑶已知x+y-2x+2y+2=0,求代数式x2

2

y2004的值为 .

y⑷若xy4x6y130，x，y均为有理数，求x的值为 。 ⑸已知a+b+6a-4b+13=0，求(a+b)的值为

⑹说理:试说明不论x,y取什么有理数,多项式x+y-2x+2y+3的值总是正数.

（六）首尾互倒 例1：已知

2

2

2

2

2

22x11112,求：（）1a22;(2)a44;(3)axaaa

112 例2：已知a－7a＋1＝0．求a、a2aa2

1和aa2的值；

⑴已知x23x10，求①x21921x2= ②x21x2= ⑵若x2－

x41

x＋1=0，求的值为 4x⑶如果a112,那么a22aa113x22xx，则

x= 2、已知

115x22xx，那么

=_______

x⑷已知

的值是

112 且0aa111⑹已知a2－3a＋1＝0．求a和a－ 和a22的值为 aaa11124⑺已知x3，求①x2= ②x4= xxx⑸若a112⑻已知a－7a＋1＝0．求a、a2aa2

1和aa2的值；

（七）知二求一

例题：已知ab5,ab3， 求：①a

⑴已知mn2，mn2

2

2ab

b2 ②ab ③a2b2 ④ ⑤a2abb2 ⑥a3b3

ba

2，则(1m)(1n)_______

⑵若a+2a=1则(a+1)=________. ⑶若a2b27，a+b=5，则ab= 若a2b27，ab =5，则a+b=

2

2

⑷若x+y=12,xy=4,则(x-y)=_________.a2

2

2

2b27，a-b=5，则ab= ⑸若a2b23，ab =-4，则a-b=

2

2

2

2

⑹已知:a+b=7,ab=-12,求 ①a+b= ②a-ab+b= ③(a-b)= ⑺已知a＋b=3，a3＋b3=9，则ab= ，a+b= ,a-b=

2

第五讲 乘法公式应用与拓展

【基础知识概述】

一、基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a—b

2222

2完全平方公式：(a+b)=a+2ab+b (a-b)=a-2ab+b

变形公式：（1）a2222b2ab2ab

22（2）a（3） （4）

b2ab2ab

222abababab22a22b2 4ab

2二、思想方法：① a、b可以是数，可以是某个式子；

② 要有整体观念，即把某一个式子看成a或b，再用公式。

③ 注意公式的逆用。 ④ a≥0。

⑤ 用公式的变形形式。

三、典型问题分析：

1、顺用公式： 例1、计算下列各题：

①

② 3(2+1)(2+1)(2+1)(

2、逆用公式：

例2. ①1949²-1950²+1951²-1952²+……+2011²-2012²

2482ababa2b2a4b4a8b8

216+1)+1

1111②121212……124320102

③ 1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655

【变式练习】



填空题：①

a26a＿＿= a__ 2②4x21+＿＿=（ )2

6．x2+ax+121是一个完全平方式，则a为（ ） A．22 B．－22 C．±22 D．0

3、配方法：

例3．已知：x²+y²+4x-2y+5=0，求x+y的值。

【变式练习】

①已知x²+y²-6x-2y+10=0，求

11的值。 xy

②已知：x²+y²+z²-2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z的值。

③当x当x当x当x 时，代数式x2取得最小值，这个最小值是  时，代数式x24取得最小值，这个最小值是  时，代数式x34取得最小值，这个最小值是  时，代数式x24x3取得最小值，这个最小值是 22对于2x

4x3呢？

4、变形用公式： 例5. 若

xz24xyyz0，试探求xz与y的关系。

22例6．化简：

abcdabcd2

例7. 如果3(ab2c2)(abc)2，请你猜想：a、b、c之间的关系，并说明你的猜想。

完全平方公式变形的应用练习题 一:

1、已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值 2、已知x2y24x6y130，x、y都是有理数，求xy的值。

2a2b23．已知 (ab)16,ab4,求

3二：

与(ab)的值。

2 1．已知(ab)5,ab3求(ab)与3(a

2．已知ab6,ab4求ab与a

3、已知ab

222b2)的值。

b2的值。

4,a2b24求a2b2与(ab)2的值。

4、已知(a+b)=60，(a-b)=80，求a+b及ab的值

5．已知ab6,ab4，求a

6．已知x

222222

b3a2b2ab2的值。

1y22x4y50，求(x1)2xy的值。

27．已知x 8、x

2116，求x22的值。

xx1x2（2）x43x10，求（1）x21x4

9、试说明不论x,y取何值，代数式x

10、已知三角形 形？

2y26x4y15的值总是正数。

ABC的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式3(a2b2c2)(abc)2，请说明该三角形是什么三角

B卷：提高题

一、七彩题

1．（多题－思路题）计算：

（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；

（2）（3+1）（3+1）（3+1）…（3

242008

34016+1）－

2．

2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082．

（1）一变：利用平方差公式计算：

2007．

200722008200620072 （2）二变：利用平方差公式计算：．

200820061

二、知识交叉题

3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．

三、实际应用题

4．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪

的面积是多少？

课标新型题

1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，

（1－x）（•1+x+x2+x3）=1－x4．

（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+xn）=______．（n为正整数） （2）根据你的猜想计算：

①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）． ③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______． （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①（a－b）（a+b）=_______． ②（a－b）（a2+ab+b2）=______． ③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．

2．（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m，n和数字4．

3.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，•将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图1－7－1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1－7－2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下．

4、探究拓展与应用

(2+1)(2+1)(2+1)

=(2－1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)(2+1) =(2－1)(2+1)=(2－1).

4

4

82

4

2

2

4

2

4

根据上式的计算方法，请计算

(3+1)(3+1)(3+1)…(3

2432

364+1)－

2的值.

“整体思想”在整式运算中的运用

“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考： 1、当代数式x 2、已知a

3、已知x

4、已知x

5、若M

6、已知a223x5的值为7时,求代数式3x29x2的值.

333x20，bx18，cx16，求：代数式a2b2c2abacbc的值。 888y4，xy1，求代数式(x21)(y21)的值

2时，代数式ax5bx3cx810，求当x2时，代数式

ax5bx3cx8 的值

123456789123456786，N123456788123456787

试比较M与N的大小

a10，求a32a22007的值.

一、填空（每空3分）

1.已知a和b互为相反数，且满足2、已知：53.如果x4.已知a22

a32b32=18，则a2b3

2na,4nb，则106n_______

212xm2恰好是另一个整式的平方，那么m的值 Nab64b2是一个完全平方式，则N等于

2

2

n

3m+2n2

25.若ab+a+b+1=4ab，则a= ,b= 6.已知10=4,10=5,求10

2

2m

的值

7.(a+9)－(a+3)(a－3)(a+9)= 8.若a－9.若

1112=2,则a2 a+4aaa4

2

x

=

x2+y8n+(3-m)=0，则(my)=

10.若52541253n2521，则n________

2n11、已知m12.已知

3,(3m3n)24m22n_______

xmxnx2ax12（m,n是整数）则a的取值有_______种

213.若三角形的三边长分别为a、b、c，满足a是

ba2cb2cb30，则这个三角形

2

3

3

2

4

14.观察下列各式（x－1）（x＋1）=x－1，（x-1）（x＋x＋l）=x－l．（x－l）（x＋x＋x＋l）=x-1，根据前面各式的规律可得（x－1）（x＋x＋…＋x＋1）＝ .

二、计算（每题6分） （1）(2x

三、解答题

1.（5分）计算：(31)(3

2.（5分）若4x+5xy+my和nx-16xy+36y都是完全平方式，求(m-

3.阅读下列材料：（1+1+5分）

让我们来规定一种运算：

2

2

2

2

n

n-1

2

yz5)(2xyz5) （2）(a2b3c)(a2b3c)

21)(341)(381)(3161)

1)的值. n2

ab =adbc， cd例如：

2345

=253410122，再如：

x2 =4x-2 14按照这种运算的规定：请解答下列各个问题： ②󰀀

12 = (只填最后结果); 20.5x0.5x②当x= 时,

1 2③求x,y的值，使0.5x18=0; (只填最后结果) yxy3=0.5 1= —7（写出解题过程）.