维普资讯 http://www.cqvip.com 财贸研究２００８．２ 随机情景生成模型的参数估计 魏法明 梁 丹 陈伟忠 （１．同济大学现代金融研究所，上海２０００９２；２．中纪委二室，北京１￣８００） 摘要：随机规划模型由于其自身的独特优势，在金融机构及个人的长期金融资产负债管理中 的应用日益广泛，而对未来不确定性的合理刻画（通常被称为情景生成）是其成功应用的关键。随 机微分方程是一种生成情景的重要方法，为了提高情景生成的质量，需要对模型参数进行精确的估 计。与常用的一些模型参数估计方法相比，综合参数估计法是一种更具优势的方法。 关键词：规划模型；资产负债管理；随机情景生成；参数估计 中图分类号：Ｆ８１０ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１—６２６０（２００８）０２—００９３—０６ 一、－己Ｉ孝 ｊ Ｉ Ｉ：ｚ：ｌ 随着计算能力的显著提升和算法研究的巨大进步，随机规划正在成为一个强有力的工具，在金融机 构和个人长期资产负债管理中发挥着越来越重要的作用，并已取得了巨大的经济效益。一个比较著名 的案例是Ｍｕｌｖｅｙ等（２ｏ００）为Ｔｏｗｅｒｓ Ｐｅｒｒｉｎ－Ｔｉｌｌｉｎｇｈａｓｔ公司开发的一套随机资产负债管理系统，自１９９１ 年以来已在欧洲、北美、亚洲等地区的１９个国家（地区）里为数千家养老金公司及保险公司提供决策咨 询服务。ＵＳ ＷＥＳＴ养老基金因此节约了４．５亿～１０亿美元的机会成本。 ． 于立勇（２０ｏ４）认为，与其它金融资产负债管理（ＡＬＭ）模型相比，随机规划模型的主要优点是：问题 刻画方便，可以把来自资产负债中的多种风险源整合在一个框架中进行考量；具有长期视野、可适应不 同水平的风险规避条件且能把交易费用、市场的不完备性、税收、交易费用和管理规则等因素纳人考虑 范围，具有较大的灵活性。此外，它易于求出数值解，便于给出可操作性投资策略建议。 图１ 预测系统和决策体系其他部分之间的关系示意图 收稿日期：２００７—１０—０９ 作者简介：魏法明（１９７８一），男，河南信阳人，同济大学现代金融研究所博士生，主要研究方向为金融工具、资本市场。 梁丹（１９７９一），男，广西南宁人，中纪委二室综合处，主要研究方向为金融理论与实践。 陈伟忠（１９５７一），男，江苏无锡人，同济大学现代金融研究所所长、教授、博士生导师，主要研究方向为资本市场、金融工具、风 险管理。 基金项目：国家自然科学基金资助项目“基于中国投资者的全球化动态投资组合管理模型”（批准号：７ｏ６７ｌＯ７５）。 一９３— 维普资讯 http://www.cqvip.com ＡＬＭ的随机规划模型是Ｍｕｌｖｅｙ等人于１９９８年提出的，它一般都是围绕着一个称为情景生成器的 随机预测系统及一个资产负债决策优化模型进行设计，模型各模块之间的关系如图１所示。随机预测 系统用来产生大量具有代表性的情景元素以模拟未来的不确定性，每个情景描绘了一个多阶段规划期 间内模型经济变量的演变路径。把这些情景输人资产负债决策优化模型并求出模型的全局最优解，以 此给资产负债管理提供决策建议。 由于所有的决策建议都是基于生成的情景加以优化得到的，因此情景质量的高低自然决定决策建 议的质量。所生成的情景在多大程度上体现了未来的不确定性是个非常重要的问题。目前，在学术界 和实务界主要有以下几种情景生成的方法：历史数据重构法、Ｒｕｓｓｅｌｌ的向量自回归模型、ＯＲＴＥＣ的带有 均衡条件的向量自回归模型ＶａＲ法及随机微分方程法。前几种方法主要借助历史数据，研究各变量的 时间序列特点生成情景。而随机微分方程法则是系统考量经济因素之间内在逻辑关系，在一个统一的 框架下，用一系列的随机微分方程刻画各变量发展演变特征。相对而言，这种方法产生的情景自然比仅 仅借助历史数据产生的情景更准确，更有代表性。 Ｔｏｗｅ￣Ｐｅｒｒｉｎ公司所用的随机预测系统ＣＡＰ：Ｌｉｎｋ堪称这方面的典范，它由一套包含关键经济变量 的随机微分方程构成，这些经济变量包括价格、工资、通货膨胀率、不同久期的利率、股票的红利收益和 红利增长率等。用微分方程刻画各变量演变进程，并产生有代表性的情景元素，且这些情景包含的经济 变量在全球多个国家内同步确定。为了保证情景生成的质量，这些随机微分方程的参数估计要尽可能 地准确。 二、参数估计的方法 目前，随机微分方程常用的参数估计方法主要有：极大似然估计法（ｍａｘｉｍｕｍ ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ，ＭＬ）、广义 矩方法（ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｓ，ＧＭＭ）和模拟矩估计法（ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｍｏｍｅｎｔ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ，ＳＭＥ）。三 种方法中，模拟矩估计法不需要参数向量与模型变量间具备明显的关系，而只需将它们用模拟值代替即 可，故其能广泛地应用到资产定价模型参数估计中。 （一）极大似然估计法（ＭＬ） 极大似然估计法最初于１９１２年由英国统计学家Ｒ．Ａ．费希尔提出，它利用样本分布密度构造似然 函数来求出参数的最大似然估计。下面以一个短期利率的随机微分方程的参数估计为例，对极大似然 估计法的应用进行简要的介绍。利率方程如下： ｄｒ ＝（ｄ＋Ｂｒ ）ｄｔ＋ｏｔｄＺ （１） 其中，ｒ 为短期利率，叮为其波动率，ｄｚ是标准布朗运动。有许多与此类似的短期利率模型，比如 Ｍｅｒｔｏｎ（１９７３）提出的模型中令Ｂ＝ｒ＝０，Ｃｏｘ等（１９８５）提出的模型中令ｒ＝０．５，显然它们只是该模型的 特殊形式。方程（１）中待估的参数向量为０＝（ｄ，Ｂ，ｒ，叮） 为了估计参数首先需要对方程离散化，方程离散后形式为： ｒ ＋ｌ＝ｄ＋（Ｂ＋１）ｒ ＋叮ｒ ｒｄＺ （２） 假定我们已经有一条具体为１＂０，ｒ ……，ｒＴ的利率路径，以此作为参数估计的样本。因为ｒＴ满足 Ｍａｒｋｏｖ过程，所以ｒ 的分布（记为ｇ ）应该是条件分布ｇ（ｒｔ／ｒ ），ｔ＝１，……，Ｔ和ｒ０的概率密度之积。 于是ｒＴ的概率分布密度ｇＴ＝ｇ（ｒ０）ｇ（ｒＩ／ｒｏ）ｇ（ｒ２／ｒ１）……ｇ（ｒＴ／ｒＴ—１）。 已知ｇ（ｒｔ／ｒ ）一Ｎ（ｄ＋（Ｂ＋１）ｒ ，叮 ｒｔ２ｒ）且ｇ（ｒ－１０）＝ｒ。。因此，参数向量０的最大似然估计可以 通过下式得到： Ｍａｘ｛ｇＴ＝ｇ（ｒ０）ｇ（ｒＩ／ｒｏ）ｇ（１＂２／ｒ１），……ｇ（ｒＴ／ｒＴ—１）｝ 经简化后 ＝ 一Ｍｘａ一三 －￣－ ｌｏｇ（２ＩＩ）Ｔ一（一 （ｌｏｇ Ｅｌ Ｔ叮）一 （ｏｇ ｒｒ ）－１）一矧下 ＩＩｔ ＝一）ｌ （３） ９４— 维普资讯 http://www.cqvip.com 最后得到的是一个非线性规划的优化问题，可以用一个综合非线性程序ＭＩＮＯＳ对其进行求解，详 情可见Ｍｕｒｔａｇｈ和Ｓａｕｎｄｅｒ（１９８２）对此进行的介绍。 （二）广义矩方法（ＧＭＭ） 广义矩方法（ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｓ，ＧＭＭ）是关于参数估计的又一种方法。ＧＭＭ的一般表 述是由Ｈａｎｓｅｎ（１９８２）提出的。ＧＭＭ最大的优点是仅需要一些矩条件而不是整个密度。很多的估计 量都可以视为ＧＭＭ的特例，如普通最小二乘估计量、工具变量法估计量、两阶段最／ｂ－－乘估计量、非线 性联立方程系统的估计量以及动态理性预期模型的估计量等，在很多情况下极大似然估计量也可看作 是ＧＭＭ的一个特例。许多计量经济学模型不是通过完全的分布假设而是通过矩条件来设定，例如带 有不可观测的个体影响的动态平面数据模型和含有理性预期的微观经济模型，这些模型通常是使用 ＧＭＭ方法来估计的。 般地，ＧＭＭ估计方法就是极小化下式： 一ｑ＝ｍｉｎ（ＧＭＭ（０） Ｗ ＧＭＭ（０）） （４） 其中，ｗ为某正定权重矩阵，ＧＭＭ（０）为构造的样本矩。ＧＭＭ的估计量就是使上式极小化而得到 的参数估计量§，即６＝ａｒｇｍｉｎ（ＧＭＭ（０） ｗ ＧＭＭ（０））。 已知利率方程ｒｔ＋ｌ＝ ＋（Ｂ＋１）ｒｔ＋￡ｔ＋ｌ满足Ｅ（￡ｔ＋１）＝ｏ，Ｅ（￡ ＋１）＝ ｒ２ｔ ，￡ｔ＋ｌ＝ｒｔ＋ｌ—ｒｔ— 一１３ｒ。 下面用ＧＭＭ对其进行参数０：（ ，Ｂ，ｒ， ）估计。 首先构造参数向量函数： ￡ｔ＋１ ￡ｌ＋１ｒｔ 令向量函数ｆ（０）＝ ２ ２ ２ｒ （５） ￡ｔ＋１一 ｒｔ （￡２ｔ＋ｌ一 ｒ２ｔ ）ｒｔ 此时，由方程性质可知Ｅ［ｆｔ（０）］：０。用Ｔ个观察值算出的样本矩ＧＭＭ （ｅ）代替Ｅ［ｆｔ（０）］，这里 １ Ｔ ＧＭＭ （０）＝ ｛ （０）一Ｅ［ｆｔ（０）］｝ （６） 在ｗ满足正定条件时，通过极小化ＧＭＭ （０） Ｗ （０）ＧＭＭ （０）可得出参数向量０：（ ，Ｂ，ｒ， ）的 广义矩估计。根据矩阵分解原理，上式极小化实际等价于Ｊ（０）Ｗ （０）ＧＭＭ （０）的极小化，这里的Ｊ（０） 是ＧＭＭ （０）关于０的雅可比矩阵。需要注意的是，ｆ（０）构造不同，参数估计也不相同。 （三）模拟矩估计法（ＳＭＥ） 在进行参数估计时，某些参数向量矩的解析表达式可能根本无法得到，这时便不能应用ＭＬ和 ＧＭＭ方法对其参数进行估计。例如，ＣＡＰ：Ｌｉｎｋ模型中的价格通货膨胀模型： ｄｐｔ＝ｎｄｒｔ＋ｇ（Ｐ—ｒ）一（ｒｔ—Ｐ。）ｄｔ＋ｖ ｐｔｄｚｐ ｄｖ ｐＩ＝ｋ（ｖ—ｖ ｐＩ）ｄｔ＋ｍｄＺ （７） （８） 价格是个随机过程，式中的波动项又是一个包含维纳项的随机过程，无法得到矩的解析表达式，从 而无法用ＧＭＭ对参数集０＝｛Ｂ ｙｇ，ｋ，ｖ，ｍ｝进行估计。Ｄｕｆｌｆｅ和Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ提出的ＳＭＥ（ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｍｏｍｅｎｔ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ）可以较好地解决这个问题。它通过模拟矩代替真实矩，令｛ （０）｝和｛ｆｌ（０）｝分别代表模拟值 和真实值，然后构造摸拟样本矩ＳＭＥ。 １ Ｔ １ Ｔ（Ｔ） 这里：ＳＭＥ （ｅ） 寺。 ｛ｆｔ（ｅ）一 ｌ＿ｚ。 （ｅ）｝ 小化二次型：ＳＭＥ （０） ｗ （ｅ）ＳＭＥ （ｅ）求得。 （９） 其中，Ｗ （０）是正定对称的权重矩阵，Ｔ（Ｔ）为给定Ｔ时的模拟样本数目。参数集向量可以通过极 ＭＬ、ＧＭＭ及ＳＭＥ都是利用极小化误差来估计参数值的，虽然广泛应用于经济模型的参数估计中， 但他们本身还存在着一些不足之处。首先，它们对历史数据的依赖过于严重。因为经济形势往往瞬息 一９５— 维普资讯 http://www.cqvip.com 万变，产生的情景一般要能代表未来的一种趋势。当形势变化较大时，ＭＬ估计便会产生较大误差。此 外，ＭＬ估计需要有最大似然函数，当模型比较复杂时，这点往往难以满足。ＧＭＭ模型和ＳＭＥ方法需要 把模拟的矩代替模型自身矩，但如果矩本身是不够稳定的，估计必然会产生问题。 一般来讲，优良的参数估计模型应具备如下特点：满足误差最小原则、保证出自模型的样本概率最 大，以及产生与真实描述统计一致的样本。针对这些特点，Ｍｕｌｖｅｙ等（１９９９）提出一个更为有效的估计 方法综合参数估计（ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ，ＩＰＥ）模型。它不仅能较好地满足上述三个特征，同时 可以应用目标规划的权重来控制各种目标的相对重要性。 三、综合参数估计法（ＩＰＥ） 综合参数估计法（ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ，ＩＰＥ）是在模拟矩估计法的基础上发展起来的。它 在两个方面对ＳＭＥ方法进行了改善：首先，增大了目标函数集，它的目标函数集中不仅包括矩向量，还 包括相关描述统计量，如自相关、分布百分位模型等。其次，目标函数的适应类型广，使ＩＰＥ方法具备较 大的灵活性。 ＩＰＥ用一个非线性规划来对参数集进行估计，具体形式如下： Ｍｉｎ ＧＳＭＥｔ（ｅ） Ｗｔ（ｅ）ＧＳＭＥ。（ｅ） Ｌｉ￣＜Ｔｉ—ｓｉ≤ｕｉ，ｉ∈ （１Ｏ） （１１）【ｌｌ Ｊ ｓ．ｔ． ｓ．ｔ．ｅｌ≤ｅ≤ｅ 其中，ＧＳＭＥ （ｅ）＝ｍ（Ｔｉ—Ｓｉ），ｍ（・）是ＩＰＥ的目标函数，ｓ是模型统计量，Ｔ为目标统计量。ｅ，和 ｅ 为参数上下界， 代表统计量集合。当目标函数用距离作为偏差测度、可行域没有且 仅包括 矩统计量时，ＩＰＥ等价于ＳＭＥ，这说明ＳＭＥ法仅仅是ＩＰＥ的一种特殊形式。 ＩＰＥ的目标函数集不仅包括低阶矩向量，还包括高阶矩向量，如峰度和偏度等。此外，还包含相关 的描述统计量，如均值、方差、自相关、分布百分位模型等。一般来讲，９０ｔｈ和１０ｔｈ的百分位统计量就已 经足够，当然也可以把两个百分位之间的距离纳入统计目标。总之，ＩＰＥ的目标函数可以包括任何性 质，只要他们能表示为参数集的函数就可以。 ＩＰＥ要求随机模型产生的样本满足给定的描述统计量，要求以这些描述统计量作为目标，并用式 （１１）对样本偏离区间进行。参数的可行域由使用者直接设限，也可以通过约束施加。 ＩＰＥ的目标函数值是各个单独目标函数值的加权平均，每个目标函数根据其自身相对重要性赋予 相应的惩罚权重。权重的选择需要慎重，要充分考虑投资者所处的经济环境。例如，风险中性的投资者 重视短期资产价格，因而比风险规避者重视长期资产配置，他们的目标函数的权重必然不同。此外，通 过历史数据预测将来情景在一般情况下是可以接受的，但是未来毕竟不是过去的重复，在某些时候，政 策变化带来的经济趋势的变动是很剧烈的，这就需要对模型进行及时调整，以反映变化中的情况，ＩＰＥ 方法可以加以适当的调整来适应这种情况。 Ｈｕｌｌ（１９９３）提出一种类似的调整方法。首先估计参数，然后基于估计出的参数对资产集进行定价， 对其用市场价格进行评估。如果偏差较大，就需要继续改进参数估计，直至满足一定的条件。这种方法 能保证得到符合市场波动的一套参数。比如，在给定的利率期限结构下，这种方法用来定价是必要和足 够的，但用来预测长期经济环境时，就略显不足了。 下面用例子具体介绍ＩＰＥ的使用方法。对于方程（７），传统的统计方法由于其含有一个随机波动 项，难以估计。用ＩＰＥ方法来估计参数，首先设置目标函数集 ，取 ＝｛均值、方差、自回归、９０ｔｈ、 ７５ｔｈ、２５ｔｈ，和１０ｔｈ百分位｝对于ｉ ＥＥ ，让ｓ 和 表示第ｉ个模型及目标统计量。相应的ＩＰＥ模型具有 以下结构： Ｍｉｎ∑宙．［Ｔ 一Ｓ；］ ｉＥ 。 。 一（１２） ９６— 维普资讯 http://www.cqvip.com Ｌｉ≤Ｔｉ—Ｓｉ≤Ｕ．’ｉ Ｅ１王， ｓ．ｔ． ０ｌ≤０≤０ （１３） 其中，宙；是对应的目标规划的权重。采用二次误差函数，在给定的点，用根据方程（７）模拟出的Ｓｉ 值来算出函数值。问题的求解难度取决于决策变量的数目和类型以及目标函数的类型。 ＩＰＥ参数估计问题是一个非凸规划问题，Ｍｕｌｌｅｙ等（１９９９）提出了一个适应性记忆规划（ａｄａｐｔｉｖｅ ｍｅｍｏｒｙ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，ＡＭＰ）方法，取得了较好的效果。具体过程为：首先找出局部最优解，然后利用拓扑 法扩大寻找范围，试图找到全局最优解。与其他全局求解算子相比，其有以下优点：（１）对目标函数要 求不高，可以通过短期或长期记忆来加速搜索过程；（２）通过拓扑法可以很方便地从当前局部最优点向 潜在更优点移动，便于找到潜在的最优解，且可以很方便地处理多目标函数。 四、对三种参数估计方法的比较 分别用ＭＬ、ＧＭＭ和ＩＰＥ方法对模型（１）的参 数进行估计。所用数据为英国１９８０年１月一ｌ９９５ 表１ 三种参数估计方法结果比较 年３月债券月收益数据。参数估计结果见表１。 ＩＰＥ的目标函数是一个包括均值、方差、１，２，３ 阶自相关及９Ｏｔｈ—ｌＯｔｈ百分位及７５ｔｈ一２５ｔｈ区间函 数集合。函数值是二次惩罚项的线性组合，所有的 统计量赋予相同权重。方差的权重由于不稳定降为０．５。目标统计量设为英国的债券票面利率的历史 数据（１９８０．１一ｌ９９５．１２）。结果如表２所示。 表２三种模型估算参数计算的利率值与历史数据比较 三种模型产生的统计量和历史数据大致相当，其中ＩＰＥ尤为接近历史值，ＭＬ、ＧＭＭ及ＩＰＥ法的加 权目标函数值分别为２２５．７、１７４．３和ｌ３．５。很显然，ＩＰＥ估算的模型参数更准确。 五、小结 本文介绍了用于随机情景生成系统的参数估计方法。试验表明，ＩＰＥ方法比ＭＬ法和ＧＭＭ方法具 备较大的优势，表现出更大的灵活性和更小的偏差，而且适应面也更广泛，可广泛用在一些比较复杂的 模型参数估算中。此外，ＩＰＥ权重及惩罚函数的选择也较为灵活。 在以往的多阶段随机规划中，随机模型参数的估计和决策模型的优化是各自的两个部分。但 这些问题往往是紧密联系在一起的，因为估计和抽样带来的误差同样会导致次优的决策建议。因此，把 一９７— 维普资讯 http://www.cqvip.com ＩＰＥ参数估计和优化决策结合起来是一个需要进一步研究的方向。 参考文献： 于立勇．２００４．基于随机规划的动态投资组合选择［Ｄ］．北京：中国科学院数学与系统科学研究院博士学位论文：６． ＣＯＸ Ｊ，ＩＮＧＥＲＳＯＬ Ｊ，ＲＯＳＳ Ｓ．１９８５．Ａｔｈｅｏｒｙ ｏｆｔｈｅｔｅｒｍ￥ｕ＇ｕｃｔｕｒｅ ｏｆｉｎｔｅｒｅｓｔ ｒａｔｅｓ［Ｊ］．Ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃａ，５３：３６３—３８４． ＤＵＦＦＬＥ Ｄ，ＳＩＮＧＬＥＴＯＮ Ｋ．１９９３．Ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｍｏｍｅｎｔｓ ｓｅｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍａｒｋｏｖ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ａｓｓｅｔ ｐｒｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃａ，６１：９２９－９５２． ＨＡＮＳＥＮ Ｌ １９８２． ｓａｍｐｌｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｓｅ ｆｏｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆｍｏｍｅｎ￣ｅｓｔｉｍａｔｏｒｓ［Ｊ］．Ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｌｃａ，５０：１０２９—１０５４． ＨｕＬＬ Ｊ Ｃ．１９９３．Ｏｐｔｉｏｎｓ，ｆｕｔｕｒｅｓ，ａｎｄ ｏｔｈｅｒ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｓｅｃｕｒｉｔｉｓｅ［Ｍ］．２ｎｄ ｅｄｉｌｌｏｎ：ＥｎＯｅｗｏｄｅ Ｃｌｉｆｓ，ＮＪ Ｐｒｅｎｔｉｃｅ Ｈａｌ１． ＭＥＲＴＯＮ Ｒ．１９７３．Ａｎ ｉｎｔｅｒｔｅｍｐｏｒａｌ ｃａｐｉｔａｌ ａｓｓｅｔ ｐｒｉｃｉｎｇ ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ｅｃｏｎｏｌｎｅ￣ｉＰ．ａ，４１：８６７—８８７． ＭＵＬＶＥＹ ＪＭ，ＲＵＳＨ Ｒ，ＳＷＥＥＮＥＹ Ｊ．１９９８．Ｇｅｎｅａｒｉｔｎｇ ｓｃｅｎａｒｉｏｓｆｏｒｇｌｏｂａｌｆｉｎａｎｃｉａｌ ｐｌｎａｎｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＦｏｒｅ— ｃａｓｔｉｎｇ，１４：２９１—２９８ ＭＵＬＶＥＹ ＪＭ，ＲＯＳＥＮＢＡＵＭ Ｄ Ｐ，ＳＨＲＴｒＹ Ｂ．１９９９．Ｔｈｅｏｒｙａｎｄｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ—ｐａｒａｍｅｔｅｒｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｉｎ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｃｅｎａｒｉｏ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｓｙｓ— ｔｅｎｔｓ［Ｊ］．Ｅｕｒｏｐｅａｎ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＯｐｅｒａｔｉｏｎａｌ Ｒｅｓｅａｒｃｈ，ｌ１８：５６３—５７７ ＭＵＬＶＥＹ Ｊ Ｍ，ＧＯＵＬＤ Ｇ，ＭＯＲＧＡＮ Ｃ．２０００．Ａｎ ａｓｓｅｔ ｎａｄ ｌｉａｂｉｌｉｔｙ ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍ ｆｏｒ Ｔｏｗｅｒｓ Ｐｅｎ－ｉｎ—Ｔｉｌｌｉｎｇｈａｓｔ［Ｊ］．ＡＢＩ／ＩＮ— ＦＯＲＭ Ｇｌｏｂａｌ，３０（１）：９６—９７． ＭＵＲＴＡＧＨ Ｂ Ａ，ＳＡＵＮＤＥＲ Ｍ Ａ．１９８２．Ａ ｐｍｊｅｃｔｄｅｌａｇｒａｎｇｅ ｌａｇｏｒｉｈｔｍ ｎａｄ ｉｔｓｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｉｔｏｎｆｏｒ ｓｐａｒ￣ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈｅ— ａｍｔｉｃａｌ Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．１４：４１—７２． Ｔｈｅ Ｐａｒａｍｅｔｅｒ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｓｃｅｎａｒｉｏ Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ Ｍｏｄｅｌ ＷＥＩ Ｆａ－ｍｉｎｇ ＬＩＡＮＧ Ｄａｎ ＣＨＥＮ Ｗｅｉ－ｚｈｏｎｇ （Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｍｏｄｅｍ Ｆｉｎａｎｃｅ，Ｔｏｎｇｉｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０００９２） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｍｏｄｅｌ（ＳＰＭ）ｉｓ ｗｉｄｅｌｙ ｕｓｅｄ ｉｎ ａｓｓｅｔ ａｎｄ ｌｉａｂｉｌｉｔｙ ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ ｂｙ ｍａｎｙ ｆｎｉａｎｃｉｌａ ｉｎｓｔｉｔｕｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ ｉｎｖｅｓｔｏｒｓ ｆｏｒ ｉｔｓ ｓｐｅｃｉｌａ ｍｅｒｉｓｔ．Ｉｔｇ ｎａ ｅｓｓｅｎｔｉｌａ ｓｔｅｐ ｔｏ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｆｕ— ｔｕｒｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ（ｏｆｔｅｎ ｎａｍｅｄ ｓｃｅｎａｒｉｏ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ）ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ ｔｏ ｅｎｓｕｒｅ ｉｓｔ ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌ ｕｔｉｌｉｚａｔｉｏｎ．Ｓｔｃｏｈａｓｔｉｃ ｉｄｆｅｒｅｎｔｉｌａ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｗａｙ ｔｏ ｇｅｎｅｒａｔｅ ｓｃｅｎａｒｉｏｓ．Ｍｏｄｅｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｎｅｅｄ ｔｏ ｅｂ ｅｓｔｉｍａｔｅｄ ａｃｃｕ— ａｒｔｅｌｙ ｆｏｒ ｇｅｔｔｉｎｇ ｍｏｒｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｖｅ ｓｃｅｎａｒｉｏｓ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｂｒｉｅｆｌｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｓｏｍｅ ｕｓｕａｌ ｗａｙｓ ｆｏｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｎｄ ｏｆｆｅｒｓ ａ ｅｂｔｔｅｒ ｍｅｔｈｏｄ ｎａｍｅｄ ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ（ＩＰＥ）ｉｎ ｄｅｔａｉｌ．Ｔｈｅｎ ｉｔ ｅｍｐｉｒ— ｉｃａｌｌｙ ｃｏｍｐａｒｅｓ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ＭＬ，ＧＭＭ ｎａｄ ＩＰＥ ａｎｄ ｏｆｆｅｒｓ ｔｈｅ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｆｕｒｔｈｅｒ ｓｔｕｄｙ ｏｆｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉ— ｍａｔｉｏｎ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｒｏｇｒａｍｎ￣ｇ ｍｏｄｅｌ；ＡＬＭ；ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｃｅｎａｒｉｏ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ；ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ （责任编辑刘志炜） 一９８一
