参数方法在求函数最值中的应用

　　　　　　　　　　　ＪＩＥＴＩＪＩＱＩＡＯＹＵＦＡＮＧＦＡ解题技巧与方法　１２１参数方法在求函数最值中的应用参数方法在求函数最值中的应用

◎马　瑞　（青海师范大学数学与统计学院，青海　西宁　８１０００８）

　　【摘要】参数是介于常量及变量之间的中间量，参数本

质属于变量，但又可把它看成常量，因此在解决有关函数最值问题时恰当引入参数可使问题迎刃而解，起到事半功倍的效果．

【关键词】参数方法；最大值；最小值函数与参数的巧妙结合是解决函数最值问题的一大亮点，如何巧妙设参是解决该类问题的难点，下面通过例题来分析说明．

例１　在直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝２－ｔ－ｔ２，

（ｔ为参数且ｔ≠１），Ｃ与坐标轴交于Ａ，Ｂ两点．

ｙ＝２－３ｔ＋ｔ２

当ｒ２ｍａｘ＝２，（ｓｉｎ２θ）ｍｉｎ＝－１时，［ｆ（ｘ，ｙ）］ｍａｘ＝３．当ｒ２ｍｉｎ＝１，（ｓｉｎ２θ）ｍａｘ＝１时，［ｆ（ｘ，ｙ）］ｍｉｎ＝例３　求函数ｙ＝ｘ－分析　由

２

２ｘ２－４ｘ＋６的值域．

１

．２

２ｘ－４ｘ＋６＝２

ｘ－１２联想到１＋ｔａｎ２θ＝ｓｅｃ２θ，可令

解　ｙ＝ｘ－２令ｘ－１２＝ｔａｎθ，进行求解．

ｘ２３＝２－ｘ＋

２２

æｘ－１ö÷，１＋ç

２èø

２

（１）求｜ＡＢ｜；

（２）以坐标原点为极点，ｘ轴非负半轴为极轴建立极坐标系，求直线ＡＢ的极坐标方程．

分析　本例题为２０２０年高考数学选修２２题，已知参数方程，在解题过程中要巧妙将参数视为常量和变量的中间量．.com.cn. All Rights Reserved.解　（１）求曲线Ｃ与ｙ轴的交点坐标时，令ｘ＝０，则２－２

ｔ－ｔ＝０，即（ｔ－１）（ｔ＋２）＝０．

因为ｔ≠１，所以ｔ＝－２，所以ｙ＝２＋６＋４＝１２，故曲线Ｃ与

ｙ轴交点为（０，１２）．

求曲线Ｃ与ｘ轴的交点坐标时，令ｙ＝０，则２－３ｔ＋ｔ２＝０，即（ｔ－１）（ｔ－２）＝０．

因为ｔ≠１，所以ｔ＝２．所以ｘ＝２－２－４＝－４．故曲线Ｃ与ｘ轴交点为（－４，０）．

由此设Ａ（０，１２），Ｂ（－４，０），则｜ＡＢ｜＝１６＋１４４＝４

（２）由（１）得直线ＡＢ的斜率为ｋＡＢ＝

１０．

（０＋４）２＋（１２－０）２＝

{

＝ｔａｎθ，其中θ∈－

ｘ２３－ｘ＋＝ｘ－２２２

(

ππ

，，

２２

æｘ－１ö÷，１＋ç

２èø

２

)

得ｘ＝１＋２ｔａｎθ，于是ｙ＝１＋２ｔａｎθ－２２ｔａｎθ－２ｓｅｃθ＝１＋２·

ｓｉｎθ－２．ｃｏｓθ１＋ｔａｎ２θ＝１＋

由θ的取值范围得ｓｅｃθ＞０，令ｗ（θ）＝

形式，数形结合求范围．如图１所示，把ｗ（θ）看作点Ａ（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）与点Ｂ（０，２）连线的斜率，其中点Ａ的轨迹可看成单位圆的右半部分．

ｓｉｎθ－２．观察其ｃｏｓθ１２－０

＝３，则直

０－（－４）ｘ＝ρｃｏｓθ，

线ＡＢ的直角坐标方程为ｙ＝３ｘ＋１２．又所以直线

ｙ＝ρｓｉｎθ，

ＡＢ的极坐标方程为ρｓｉｎθ＝３ρｃｏｓθ＋１２，

即３ρｃｏｓθ－ρｓｉｎθ＋１２＝０．

例２　若１≤ｘ２＋ｙ２≤２，求ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ２－ｘｙ＋ｙ２的最大值

{

图１

依据图可看出当ＡＢ与半圆相切时，斜率最大，切点是Ｃç

与最小值．

分析　观察题中的ｘ２＋ｙ２，联想到圆参数方程中ｘ，ｙ与ｒ，θ的关系我们设参求解．

解　由１≤ｘ２＋ｙ２≤２，我们可把已知条件看成以原点为圆心，分别以１，２为半径的两圆所围成的圆环及边界上的点．故我们设ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ，１≤ｒ≤２，０°≤θ＜３６０°，则

１

有ｘ２－ｘｙ＋ｙ２＝ｒ２－ｒ２ｓｉｎθｃｏｓθ＝ｒ２１－ｓｉｎ２θ．此时式子仅

２

与ｒ，θ的取值有关．

轴重合时，斜率最小，ｋＡＢ趋近于负无穷．因此ｗ（θ）∈（－∞，－１），由初等函数的连续性得ｙ的值域为（－∞，１－２）．

ｔ１－ｔ２

＋例４　解不等式＞０．２

１＋ｔ２１＋ｔ

æ２２ö

，÷，此时Ａ与Ｃ重合，（ｋＡＢ）ｍａｘ＝ｋＡＣ＝－１．当ＡＢ与ｙ２２øè

()

分析　１öææç÷＋çè１＋ｔ２øè

２

ｔöｔ２æ＝÷经观察，ç，由此联想到

１＋ｔ２è１＋ｔ２ø

ｔö２

÷＝１．类比极坐标中对应关系我们设参１＋ｔ２ø

２

数学学习与研究　２０２０􀆰２３

　　　解题技巧与方法　１２２　　　　　　　　　　　　　　ＪＩＥＴＩＪＩＱＩＡＯＹＵＦＡＮＧＦＡ求解．

解　令ｘ＝ｃｏｓθ＝１ｘ＝解　令

ｓｉｎθ＝

ｔ＝＝ｙ＝ｚ＝ｕ

＝ｕｋｘ，ｚ＝ｙｋｕ＝ｚｋ２

ｘ，ｕｙ１－ｔ２＝２

１＋ｔ２，ｙ１＋ｔ２，

４＝ｋｚｘ

＝ｋ３ｋｘ，，则有ｘ＝ｋｙ＝ｋ４ｘ．因为ｘ≠０，所以ｋ则

１＋ｔ２１＋ｔ

２

－１＝２ｘ２－１．{

ｙ＋２ｘ２ｆ（ｘ，ｙ，ｚ，ｕ）＝

ｘ＋ｘｋ３ｘ＝＋ｋ１，２ｘｋ＋＝ｋｘ

±１，于是

故原式化为ｘ＞０，

－１＞０，

ｘ２＋ｙ２＝１，

＝

１＋＝

１＋ｋ３{

＋ｋ３ｘｋ３＋＋ｋ２ｘ－ｋｘ＋ｋ２ｋ２＋ｋ２，－ｋ例７　一块矩形铁片长为０，ｋｋ＝＝－１，１．ａ，宽为ｂ，从它的四个角各剪去一个边长为ｘ的小正方形，把剩下的铁片做成一个没有盖子的盒子．当ａ≥ｂ时，求ｘ是多少时，盒子的容积最大．

分析　先表示出容积，依据容积的表示形式联想到均值不等式，随后由均值不等式的使用条件引进参数λ．在解题过程中，可依据场景充分利用参数λ的二重性，先将λ看图２

成常量，再把λ看成变量．

解　令盒子的容积为Ｖ（ｘ），依题意可得Ｖ（ｘ）＝ｘ（ａ－－该不等式组求解运用数形结合思想．如图２所示，ｙ＝２ｘ２

＋１（ｘ＞０）表示抛物线的一部分，ｘ２＋ｙ２＝１（ｘ＞０）为半圆，

２ｘ）（ｂ－２ｘ），０＜ｘ＜ｂ

，由其形式想到均值不等式，两曲线交点为Ａ（０，１），Ｂç

æè２

３，－１２ö

÷ø，且满足不等式组的点λ，此时Ｖ（ｘ）＝２λ（２λ１

引进参数＋２）

［（２λ＋２）ｘ］（ａ－２ｘ）（λｂ－２λｘ），

都在圆弧ＡＢ(（不包括端点）上，易得ａｒｃｓｉｎ(－

１)＜θ＜ａｒｃｓｉｎ１．

因此

当且仅当（２λ＋２）ｘ＝ａ－２ｘ＝λｂ－２λｘ时，Ｖ（ｘ）取得最所以ｓｉｎ大值．

ｃｏｓθ

θ＝ｔ＝ｔａｎθ＞－３

３２．由（２λ＋２）ｘ＝ａ－２ｘ及（２λ＋２）ｘ＝λｂ－２λｘ知ｘ＝

故原不等式的解集为ｔ＞－３．２λａ

＋４

＝例５　已知ａ＞ｂ＞ｃ，且ａ＋３ｂ＋ｃ＝１，ａ２４λλｂ＋－１

＋ｂ２＋ｃ２＝１，求证：

３

＜ｃ＜１．（２．由ａ－ｂ２）λａ＋

＋４＝ｂ２４－λλｂ

ｂａ＋２得ｂλ２＋２（ｂ－ａ）λ－ａ＝０，随后得正根

λ＝ｂ

＋ａ２．

分析　题目中已知三个未知数，两个等式，求其中某一

把λ代入可得

个未知数的取值范围，我们可把另外两个未知数用第三个ｘ＝

未知数及参数表示出来进行求解，从而巧妙地将题目化为２λａ＋＝ａｂ

常见的不等式求解．

（ａ４＋ｂ２－

ａ＋２ｂｂ２＋证　由于ａ＋ｂ＝１－ｃ，ａ≠ｂ，

６ａｂ－２ｂａ＋ａｂ２２－）ｂａ＋ａ２＝ａｂ因此我们设ａ＝

１－２ｃ＋ｔ１，ｂ＝１－２ｃ

＋ｔ２，ｔ１＋ｔ２

＝０，ｔ１＝而ａ２＋ｂ２＝１－ｃ≠ｔ２．２２

１１－ｃ２

，又得２

（１－ｃ）（１(２＋ｔ１)＋(１－ｃ＋ｔ２＝１－ｃ２，－ｃ）（ｔ２即１－ｃ２＝

２＋１＋ｔ２）＋ｔ２１＋ｔ２

２．)

１

（ａ＋ｂ－ｂ２－ｂａ＋ａ２）．综上６

，本文通过参数在高考题中的应用，参数与三角函数、极坐标的巧妙转换以及参数最值的实际应用解释说明参数最值类问题的相关解法，以此拓展学生在解题中的相由于ｔ１≠ｔ２，ｔ２１≥０，ｔ２２≥０，所以１－ｃ２

≥

１

关思路，帮助学生理解拥有变量和常量二重性的参数的特当且仅当ｔ２

（１－ｃ）２．殊性．

【因为ｔ１＝ｔ２＝０时，等号成立．１≠ｔ２，所以２－２ｃ２＞１－２ｃ＋ｃ２，

［参考文献１］郑良．反思解题过程】

变通解题方法———有感于分离即３ｃ２－２ｃ－１＜０，故－

１

３

＜ｃ＜１．即证参数法与函数最值法的对话例６　已知实数ｘ，ｙ，ｚ，ｕ均不为０，在实数范围内，当ｘ３８－４１．

［Ｊ］．数学教学研究，２０１１（０９）：ｙ

＝［２］李红春．例谈引入参数求函数最值问题［Ｊ］．中学数学月刊，２０１２（０６）：４６－４７．

ｙｚ＝ｕｚ＝ｕｘ，且ｘ≠ｙ时，求ｆ（ｘ，ｙ，ｚ，ｕ）＝ｘｘ＋＋ｙｙ＋＋ｚｚ＋－ｕｕ

的值．［３］王启铸．四步搞定含参数分段函数的最值问题［Ｊ］．中学数学研究，２０１８（０３）：３８－３９．

数学学习与研究　２０２０􀆰２３

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