三角函数及解三角形测试题 (含答案)

一、选择题　　　　　　　　　　　　

1．已知角α的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角α的最小正值为(　　)A. B.C. D.

2．的值为(　A　)

A.1　　　 　B.2　　 　　C.3　　　 　D.4

3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时(　A　)A．5海里 B．5海里C．10海里 D．10海里

4.．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，|φ|<)的图象(部分)如图所示，则ω，φ分别为(　C　)

A．ω＝π，φ＝ B．ω＝2π，φ＝

C．ω＝π，φ＝ D．ω＝2π，φ＝

5．(2015·泉州模拟)在△ABC中，若B＝60°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积为(　B　)

A. B.2 C. D.

6．将函数y＝sin2x－cos2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数g(x)(　D　)

A．有最大值，最大值为＋1

B．对称轴方程是x＝＋kπ，k∈ZC．是周期函数，周期T＝D．在区间[，]上单调递增7.已知，且，则（　D ）

A． B． C． D．函数的图象的一条对称轴方程是( A )8.

　A、　　　 B、 　　　　C、 　　　D、

9.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若，，，则（ B ） A. B. C. D.

10．(2015·上饶模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则的值为(　D　)A．2 B.C．2 D．3

2、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

11..化简：cos(＋α)＋sin(＋α)＝__________________________________.12..在中角，，的对边分别是，，，若，则________13．函数

的最小正周期是

14.将函数f(x)＝sinx＋cosx的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. 已知函数 .

(Ⅰ)求的最小正周期；

(Ⅱ)当 时，求函数的单调递减区间.解：(Ⅰ)

的最小正周期为. ----------------------------------7分

(Ⅱ)当 时，函数单调递减,即的递减区间为：,由=,

所以的递减区间为：. ------------------------------------13分

16.设△的内角的对边分别为且．

（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的值．

8、解：（Ⅰ）， ……………2分

由正弦定理得，

在△中，，即，， ……………4分．

……………6分

（Ⅱ），由正弦定理得， ……………8分

由余弦定理，

得， ……………10分

解得，∴． ……………13分

19．(12分)(2015·醴陵一中模拟)在△ABC中，已知A＝，cosB＝.(1)求cosC的值；

(2)若BC＝2，D为AB的中点，求CD的长．

20．(12分)已知函数f(x)＝sin2xcosφ＋cos2xsinφ(|φ|<)，且函数y＝f(2x＋)的图象关于直线x＝对称．(1)求φ的值；

(2)若<α<，且f(α)＝，求cos4α的值；

(3)若0<θ<时，不等式f(θ)＋f(θ＋)<|m－4|恒成立，试求实数m的取值范围．

21.(12分)(2015·广雅中学模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，x∈R的最大值是1，最小正周期是2π，其图象经过点M(0,1)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)设A、B、C为△ABC的三个内角，且f(A)＝，f(B)＝，求f(C)的值．

22．(12分)(2016·河北正定中学月考)已知向量a＝(2sin(ωx＋)，2)，b＝(2cosωx,0)(ω>0)，函数f(x)＝a·b的图象与直线y＝－2＋的相邻两个交点之间的距离为π.

(1)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间；

(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．

答案解析

1．B

2．B　[∵α∈(－，0)，∴sinα＋cosα>0，

∴(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝，∴sinα＋cosα＝，故选B.]

3．D　[cos(x＋)＝cos[－(－x)]＝sin(－x)＝.故选D.]

4．C　[如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10.

在Rt△ABC中，得AB＝5，

于是这艘船的速度是＝10(海里/小时)．]5．C　[由sinC＝2sinB，变形得：＝2，

利用正弦定理化简得：＝＝2，即c＝2b，由＝，

整理得：a2－b2＝bc，∴cosA＝＝＝＝，

∴A＝30°，则tanA＝，故选C.]

6．C　[由函数的图象可得A＝2，根据T＝·＝－＝，求得ω＝π.再由五点法作图可得π×＋φ＝π，解得φ＝，

故选C.]

7．B　[∵在△ABC中，B＝60°，AB＝2，AC＝2，∴由正弦定理＝得：sinC＝＝＝，∴C＝30°，∴A＝90°，

则S△ABC＝AB·AC·sinA＝2，

故选B.]

8．D　[化简函数得y＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，

所以g(x)＝2sin(2x－)易求最大值是2，周期是π，由2x－＝＋kπ(k∈Z)，得对称轴方程是x＝＋(k∈Z)．根据正弦函数的单调递增区间可得－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)⇔＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，故选D.]9．B　[f(x)＝sin4(ωx＋)－cos4(ωx＋)

＝[sin2(ωx＋)－cos2(ωx＋)]·[sin2(ωx＋)＋cos2(ωx＋)]＝sin2(ωx＋)－cos2(ωx＋)＝－cos(2ωx＋)＝sin2ωx，所以2ωx∈[－ω，ω]，

所以满足－ω≥－且－ω＝－的ω＝，故选B.]10．C　[f(x)＝sin(2x－)＝(sin2x－cos2x)．

①f(x)＝cos(2x＋)＝(cos2x－sin2x)．

与原函数不是同一个函数，①错误．②x＝－时，f(x)＝sin[2×(－)－]＝sin(－)＝－1，函数取得最小值，所以直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴，

②正确．③将g(x)＝sin2x的图象向右平移个单位得到图象对应的解析式是y＝sin2(x－)＝sin(2x－)＝－cos2x，与f(x)不是同一个函数，③错误．④取α＝，f(x＋α)＝f(x＋)＝sin[2(x＋)－]＝sin(2x＋)，f(x＋3α)＝f(x＋3·)＝sin[2(x＋)－]＝sin(2x＋3π－)＝sin(2x＋2π＋π－)＝sin(2x＋)，所以存在α＝∈(0，π)，使f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立，④正确．故选C.]11．C　[因为x1x2＋y1y2＝·＝cosθ，

所以cosθ＝cos(θ＋－)＝[cos(θ＋)＋sin(θ＋)]．因为θ∈(，π)，θ＋∈(，)，所以cos(θ＋)＝－，cosθ＝－.故选C.]

12．D　[由正弦定理＝＝，得＝＝，

即(cosA－3cosC)sinB＝(3sinC－sinA)·cosB，化简可得，sin(A＋B)＝3sin(B＋C)，又知A＋B＋C＝π，所以sinC＝3sinA，因此＝3.]13．0

解析　原式＝cosα＋sinα

＝cosα＋sinα，

因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以cosα＋sinα＝－1＋1＝0，即原式等于0.14．－

解析　∵2sinB＝3sinC，∴2b＝3c，∴b＝c.

代入b－c＝a得a＝2c，

由余弦定理，得cosA＝＝－.15．8

解析　由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.∴ymax＝k＋3＝8.

16.

解析　函数y＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，根据图象平移规律可得平移后图象对应的函数解析式为

y＝sin(x＋＋φ)，又所得函数图象关于原点对称，∴＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)，当k＝1时，φ取最小值为.

17．解　(1)由图可知，A＝1，最小正周期T＝4×2＝8，所以T＝＝8，ω＝.

又f(1)＝sin(＋φ)＝1，且－<φ<，所以－<＋φ<，＋φ＝，φ＝.

所以f(x)＝sin(x＋)．

(2)因为f(－1)＝sin[×(－1＋1)]＝0，f(1)＝sin[×(1＋1)]＝1，f(5)＝sin[×(5＋1)]＝－1，

所以M(－1,0)，N(1,1)，P(5，－1)，|MN|＝，|MP|＝，|PN|＝，

从而cos∠MNP＝＝－，由∠MNP∈(0，π)，得sin∠MNP＝＝.

18．解　(1)因为f(x)＝sinx－(1－cosx)＝sin－，

所以f(x)的最小正周期为2π.

(2)因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤.

当x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值．所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为f＝－1－.

19．解　(1)∵cosB＝且B∈(0，π)，∴sinB＝＝，

cosC＝cos(π－A－B)

＝cos(－B)＝coscosB＋sinsinB＝－·＋·＝－.

(2)由(1)可得sinC＝＝＝，

由正弦定理得＝，即＝，解得AB＝6.

在△BCD中，CD2＝(2)2＋32－2×3×2×＝5，所以CD＝.

20．解　(1)f(x)＝sin(2x＋φ)，

则y＝f(2x＋)＝sin(4x＋＋φ)＝cos(4x＋φ)．又y＝cosx的图象的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，

令4x＋φ＝kπ(k∈Z)，将x＝代入可得φ＝kπ－(k∈Z)，而故φ＝－.

(2)由f(α)＝可得sin(2α－)＝，而<2α－<，

故cos(2α－)＝－，

故sin2α＝sin[(2α－)＋]＝，故cos4α＝1－2sin22α＝.

(3)f(θ)＋f(θ＋)＝sin(2θ－)＋cos(2θ－)＝sin(2θ＋)，

|φ|<，因为0<θ<，所以<2θ＋<，故f(θ)＋f(θ＋)<×＝，故只需|m－4|≥，

即m≤4－或m≥4＋，

即实数m的取值范围是(－∞，4－]∪[4＋，＋∞)．21．解　(1)因为函数f(x)的最大值是1，且A>0，所以A＝1.

因为函数f(x)的最小正周期是2π，且ω>0，所以T＝＝2π，解得ω＝1，

所以f(x)＝sin(x＋φ)．

因为函数f(x)的图象过点M(0,1)，所以sinφ＝1.因为0<φ<π，所以φ＝.所以f(x)＝sin(x＋)＝cosx.(2)由(1)得f(x)＝cosx，

所以f(A)＝cosA＝，f(B)＝cosB＝.因为A，B∈(0，π)，所以sinA＝＝，sinB＝＝.

因为A，B，C为△ABC的三个内角，

所以cosC＝cos(π－(A＋B))＝－cos(A＋B)，所以f(C)＝cosC＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)＝－(×－×)＝.

22．解　(1)函数f(x)＝a·b＝4sin(ωx＋)cosωx＝[4×(－)sinωx＋4×cosωx]cosωx＝2cos2ωx－sin2ωx＝(1＋cos2ωx)－sin2ωx＝2cos(2ωx＋)＋，

由题意得T＝π，∴＝π，

∴ω＝1，故f(x)＝2cos(2x＋)＋.令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)，

∴y＝2cos(2x＋)＋的单调递增区间为[kπ－，kπ－](k∈Z)．

当k＝1时，函数的单调递增区间为[，]．当k＝2时，函数的单调递增区间为[，]．

∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为[，]，[，]．

(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)＝2cos2x＋的图象．

令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋，k∈Z，

∴函数g(x)在每个周期内恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，∴b的最小值为4π＋＝.