安徽省宣城市八校2015届高三上学期联考数学(文)试题 Word版含答案

（word版）

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列、

不等式、推理与证明。 考生注意事项：

l．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对

答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2．答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦十净后，冉选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、

笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后冉用0．5毫米的黑色墨水签字笔捕清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答．．．．．．．．．．案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．

4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

（1）如图，设全集U=N，集合A={1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，则图中阴影部分

表示的集合为 （A）{2，4} （B）{7，8} （C）{1,3,5} （D）{1,2,3,4,5} （2）设i是虚数单位，则复数z （A）－i

1i的共轭复数z 1i（C）1－I

（D）1+i

（B）i

x22x3（3）函数y=的定义域为

1g(x1) （A）（－1，3] （B）（－1，0）（0，3] （C）[－1，3] （D）[－1．0）（0，3]

（4）设Sn是等比数列{an}的前n项和，若a3=7，S3=21，则数列{an}的公比是

1或1 21（5）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x<0时f（x）=3x，若f（x0）=，则x0=

911 （A）－2 （B） （C） （D）2

22

（A）（B）1

（C）

（D） 版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com

1 21或1 2

（6）若曲线y=alnx+x2（a>0）的切线倾斜角的取值范围是[

（A）

3，

2），则a= （D）

1 24（B）

3 8（C）

3 43 2（7）设Sn，是等差数列{an}的前n项和，且a2+2a4+5a6=48，则S9= （A）36 （B）45 （C）54 （D）63 （8）若将函数y=sin（2x最小正值是

（A）

4）的图像向左平移个单位，所得图像关于y轴对称，则的

8 （B）

4 （C）

3 8（D）

3 4axy5（9）若x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为－1，则a=

12xy5 （A）－2 （B）－1 （C）0 （D）1

（10）在l和l 7之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第

n个为b，当

（A）4

125取最小值时，n＝ ab（B）5 （C）6

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

（D）7

考生注意事项：

请用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上． （11）已知向量a=（－2，4），b=（－2，3m），c=（4m，－4），若（a－2b）⊥c，则m的值为

。 （12）27+（

2311og231）1og8 。 441，过B点作OB延2（13）如图，在△OAB中，OA⊥AB，OB=1，OA=

长线的垂线交OA延长线于点A1，过点A1作OA延长线的垂线

交OB延长线于点B1，如此继续下去，设△OAB的面积为al，△O A1B的面积为a2，△OA1B1的面积为a3，…，以此类推，则a6= .

（14）已知数列{an}的各项都是正数，其前n项和Sn满足2Sn=an+

1，n∈N*，则数列｛an｝an的通项公式为 . （15）设非直角△ABC的内角A、B．C所对边的长分别为a、b、c，则下列结论正确的是

（写出所有正确结论的编号）． ①“sinA>sinB”是“a>b”的充分必要条件 ②“cosAb”的充分必要条件

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③。tanA>tanB”是“a>b”的充分必要条件 ④“sin2A>sin2B”是a“>b”的充分必要条件 ⑤“cos2Ab”的充分必要条件

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分]2分） 设函数f（x）=sinxcos（x+

3）+3，x∈R． 4 （Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期； （Ⅱ）讨论f（x）在区间[0，

（17）（本小题满分12分）

x2

已知命题p：对任意x∈R，不等式2x+ |2－2|>a－a恒成立；命题q：关于x的方程

x2+2ax+1=0有两个不相等的实数根．若“（p）V q”为真命题，“（p）q”为假命

题，求实数a的取值范围．

（18）（本小题满分12分） 设△A BC的内角A、 B、C所对边的长分别为a、b、c，且3b2=2ac（1+cosB）． （I）证明：a、b、c．成等差数列； （Ⅱ）若a=3．b=5b求△ABC的面积．

（19）（本小题满分13分）

已知数列｛an｝满足al=2，an+l =2a2N*． n，n∈ （I）证明：数列{1+log2an}为等比数列； （Ⅱ）设bn=

2]上的单调性．

n，求数列{bn}的前n项和Sn。

11og2an

（20）（本小题满分13分） 设函数f（x）=ax－ex，a∈R，e为自然对数的底数． （I）若函数f（x）存在两个零点，求a的取值范围； （Ⅱ）若对任意x∈R，a> 0, f（x）≤a2ka恒成立，求实数K的取值范围．

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（21）（本小题满分13分）

设递增数列{an}满足al=1，al、a2、a5成等比数列，且对任意n∈N*，函数．f（ x）=（an+2

n

－an+1）x－（a－an－1）sinx+ancosx满足f（）=0．

（I）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{an}的前n项和为Sn，bn=

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1，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<2． Sn

参考答案

题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案 A

A

B

D

D

B

C

C

B

（1）A 解析：由Venn图可知阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B＝{2，4}．

1i(1i)2（2）A 解析：z1i1i2i,zi.

2

解析：由已知得－x＋2x＋3≥0

（3）B x＋1＞0， 解得x∈(－1，0)∪(0，3].



x＋1≠1（4）D 解析：设数列{an}的公比为q，则a1a1q14,a1q272q2q10,解得

q12或1.

（5）D 解析：当x0时，fx3x,可得3x019,x02.

（6）B 解析：y′＝a＋2x≥22a，∵倾斜角的取值范围是π3，πx2，∴斜率k3，

322a，∴a38.（7）C 解析：48＝a2＋2a4＋5a6＝4a44a68a5,a56,S9＝

9(a1＋a9)

2

＝9a5＝54. （8）C 解析：ysin2xπ4向左平移个单位ysinπ2x24,由其图像关于y轴对称，可知2ππ3π13π4=2kπ(kZ),得=82kπ(kZ),故的最小正值是8.

（9）B 解析：画出可行域，如图，显然z＝2x＋y在直线x＋y＝a与2x－y＝1的交点处取得最小值，解得交点坐标为(a＋12a－1＝2×a＋12a－1

3，3)，则－13＋3，解得a＝－1． （10）D 解析：由已知得a＋b=18，则125125a＋b1＋1＋25ab1

a＋b＝(a＋b)×18=18(25b＋a)≥18(26＋10)=2，当且仅当b=5a时取等号，此时a=3，b=15，可得n=7．

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D

y5axOa-1 5 11（11） 解析：a－2b＝(2，4－6m)，且(a－2b)⊥c，故8m－4(4－6m)＝0，m＝.

22（12）10 解析：原式=332322log232=10. 333

（13）1283 解析：a1＝8，a2＝2，a3＝23，…，a6＝1283． （14）anSn－Sn－1＋

nn1 解析：当n＝1时，2S1＝a1＋a=2a1，a1＝1，当n≥2时，2Sn＝

1

1

1122，即Sn＋Sn－1＝，Sn，又S121,S2S1,n＝n，Sn＝n，n1Sn－Sn－1Sn－Sn－1

annn1.

（15）①②⑤ 解析：由①sinA＞sinB，利用正弦定理得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB ，等价于

a＞b，①正确；由②cosA＜cosB，利用函数ycosx在0,π上单调递减得AB，等价于a＞b，②正确； 由③tanA＞tanB，不能推出a＞b，如A为锐角，B为钝角，虽然有tanA＞tanB，但由大角对大边得a＜b，③错误；由④sin2A＞sin2B，不能推出a＞b，如 A=45°，B=60°时，虽然有sin2A＞sin2B，但由大角对大边得a＜b，④错误；由⑤cos2A＜cos2B，利用二倍角公式得sin2A＞sin2B，∴sinA＞sinB，故等价于a＞b，⑤正确．

133131－cos2x31π

（16）解析：（Ⅰ）f (x)＝sinx(2cosx－2sinx)＋4＝4sin2x－2·2＋4＝2sin(2x＋3)， 1∴f (x)的最大值为2，最小正周期为π．（6分）

πππ4π,2x. 2333ππππ当2x,即0x时，f(x)单调递增； 33212ππ4πππ当2x,即x时，f(x)单调递减. 233122πππ综上可知f(x)在区间[0,]上单调递增，在区间[,]上单调递减.（12分）

12122（Ⅱ）

0x（17）解析：令f (x)＝2x＋|2x－2|，则f(x)∵y＝2x+1－2是增函数，∴f (x)有最小值2，

2,x12x1,

2,x1若命题p为真命题，则a2－a＜2，－1＜a＜2．

若命题q为真命题，则△＝4a2－4＞0，a＜－1或a＞1．（8分）

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∵（p）q为真命题，（p）q为假命题，∴p与q一真一假. 若p真，则q真，此时1＜a＜2; 若p假，则q假，此时a1或a2,即a=－1．

1a1故a的取值范围是{-1}∪(1，2)．（12分）

（18）解析：（Ⅰ）由余弦定理知2accosB＝a2＋c2－b2， ∴3b2＝2ac＋a2＋c2－b2，4b2＝(a＋c)2，2b＝a＋c， ∴a、b、c成等差数列．（6分）

a2＋b2－c213（Ⅱ）∵a＝3，b＝5，∴c＝7，cosC＝2ab＝－2，sinC＝2， 1153ABC的面积S＝2absinC＝4．∴（12分）

（19）解析：（Ⅰ）两边取以2为底的对数得log2an＋1＝1＋2log2an，则log2an＋1＋1＝2(log2an＋1)，

∴{1＋log2an}为等比数列，且log2an＋1＝(log2a1＋1)×2n1＝2n.（6分）

－

（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn1

2

n

n, 2n1

1

2

n

Sn＝2＋22＋…＋2n，则2Sn＝22＋23＋…＋2n+1，

1111n1nn2两式相减得2Sn＝2＋22＋…＋2n－2n+1＝1－2n－2n+1，Sn2n.（13分）

2（20）解析：（Ⅰ）f ′(x)=a－ex．

当a≤0时，f ′(x)＜0，f (x)在R上单调递减，最多存在一个零点，不满足条件； 当a＞0时，由f ′(x)=0解得x=lna，当x＞lna时，f ′(x)＜0，当x＜lna时，f ′(x)＞0． 故f (x)在x=lna处取得最大值f (lna)=alna－a，

∵f (x)存在两个零点，∴f (lna)=alna－a＞0，a＞e，即a的取值范围是(e，＋∞)．（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x) ≤alna－a，故只需alna－a≤a2－ka，k≤a＋1－lna.

1令g(a)= a＋1－lna，g′(a)= 1－a，当a＞1时，g′(a)＞0；当a＜1时，g′(a)＜0． 故g(a)在a=1处取得最小值2，则k≤2，即k的取值范围是(－∞，2]．（13分） （21）解析：(Ⅰ)∵f(x)＝an＋2－an＋1－(an－an＋1)cosx－ansinx，

∴f(π)＝an＋2－an＋1＋an－an＋1＝0，即2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是以a1＝1为首项的等差数列，

2设数列{an}的公差为d，则d>0，由a2＝a1·a5，得(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，解得d＝2，

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∴an＝2n－1.(6分)

（a1＋an）n21(Ⅱ)由(Ⅰ)可得Sn＝＝n，∴bn＝2，∴T1＝b1＝1<2.

2n1111

∵当n≥2时，2<＝－，

nn（n－1）n－1n

11111111

∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＋2＋2…＋2<2＋＋＋…＋ 12n11×22×3（n－1）×n31111

＝1＋1－＋…＋－＝2－<2，∴Tn<2.(13分）

2nn－1n

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