一、选择题，每题4分，共80分
1．复数z1=﹣3+i，z2=1﹣i，则复数z=z1•z2在复平面内所对应的点在（ ） A． 第一象限
2．曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为（ ） A． y=x+1
3．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（ ）
A． 演绎推理
4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A． 假设三内角都不大于60度 B． 假设三内角都大于60度 C． 假设三内角至多有一个大于60度 D． 假设三内角至多有两个大于60度
5．在200件产品中有3件次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ） A． B． （
种﹣
） 种
1
B． 类比推理
C． 合情推理
D． 归纳推理
B． y=﹣2x+1
C． y=2x﹣1
D． y=2x+1
B． 第二象限
C． 第三象限
D． 第四象限
C． D． （
种
）种
6．下面给出了关于复数的三种类比推理：其中类比错误的是（ ）①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则；②由向量的性质||2=2可以类比复数的性质|z|2=z2；③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义． A． ②
7．先后抛掷两枚均匀的骰子（骰子是一种正方体的玩具，在正方体各面上分别有点数1，2，3，4，5，6），骰子落地后朝上的点数分别为x，y，则log2xy=1的概率为（ ） A．
8．在二项展开式（1+x）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10中，a1+a3+a5+a7+a9=（ ） A． 1024
9．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为（ ） A． 0.8
10．已知f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），f4（x）=f3′（x），…，fn（x）=fn﹣1′（x），则f2015（x）等于（ ） A． sinx
11．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（ ） A． 极大值5，无极小值
2
B． 极小值﹣27，无极大值
B． ﹣sinx
C． cosx
D． ﹣cosx
B． 0.6
C． 0.5
D． 0.4
B． 512
C． 256
D． 128
B．
C．
D．
B． ①②
C． ①③
D． ③
C． 极大值5，极小值﹣27
D． 极大值5，极小值﹣11
12．数学归纳法证明（n+1）•（n+2）•…•（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）成立时，从n=k到n=k+1左边需增加的乘积因式是（ ） A． 2（2k+1）
13．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）
B．
C． 2k+1
D．
A．
B． C． D．
14．设离散型随机变量X的概率分布如表：则随机变量X的数学期望为（ ）XPi
0
1
2
3p
A．
B． C． D．
15．设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A． ∀x∈R，f（x）≤f（x0） C． ﹣x0是﹣f（x）的极小值点
3
B． ﹣x0是f（﹣x）的极小值点D． ﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点
16．已知f（x）=3sinx﹣πx，对任意的x∈（0，①f′（x）＞0；②f′（x）＜0；③f（x）＞0；④f（x）＜0．其中正确的是（ ） A． ①③
B． ①④
），给出以下四个结论：
C． ②③D． ②④
17．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有（ ） A． 24种
18．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A． [﹣（﹣∞，﹣（﹣∞，﹣
19．现有5种不同颜色的染料，要对如图中的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是（ ）
，
]B． （﹣
，+∞），+∞）
，
）C．
D．
B． 60种
C． 90种
D． 120种
）∪（）∩（
A． 120
B． 140C． 240D． 260
20．设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜l，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（ ）
4
A． [
）B． [）C． [）D． [）
二、填空（每题4分）21．函数f（x）= 22．设．
23．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
24．四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有 种（用数字作答）．
25．已知函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
26．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，
=a，则二项式
的展开式中的常数项为
的单调递增区间是 ．
且乙投球2次均未命中的概率为．
5
（Ⅰ）求乙投球的命中率p；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率．
27．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点x=0处的切线为l：4x+y﹣5=0，若x=﹣2时，y=f（x）有极值．（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．
28．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院人数
机械工程学院海洋学院4
6
医学院4
经济学院6
（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；
（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．
29．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+
，求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）若g（x）=﹣
，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0
）≤g（x0）成立，求a的取值范围．
6
2016-2017学年山东省济南一中高二（下）期末数学试卷（理科）
参与试题解析
一、选择题，每题4分，共80分
1．复数z1=﹣3+i，z2=1﹣i，则复数z=z1•z2在复平面内所对应的点在（ ） A． 第一象限
B． 第二象限
C． 第三象限
D． 第四象限
考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．
分析：根据复数的几何意义进行求解即可．解答：
解：∵z1=﹣3+i，z2=1﹣i，
∴z1z2=（﹣3+i）（1﹣i）=﹣2+4i，对应点的坐标为（﹣2，4），位于第二象限，故选：B点评：
本题主要考查复数的几何意义，根据复数的基本运算进行求解是解决本题的关键．
2．曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为（ ） A． y=x+1
B． y=﹣2x+1
C． y=2x﹣1
D． y=2x+1
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程．解答：
解：由于y=e2x，可得y′=2e2x，
令x=0，可得y′=2，
7
∴曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为y﹣1=2x，即y=2x+1．故选：D．
点评：本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
3．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（ ）
A． 演绎推理
B． 类比推理
C． 合情推理
D． 归纳推理
考点：演绎推理的基本方法．分析：
本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．解答：
解：在推理过程“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”中所有金属都能导电，是大前提铁是金属，是小前提所以铁能导电，是结论故此推理为演绎推理故选A点评：
演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．
8
4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A． 假设三内角都不大于60度 B． 假设三内角都大于60度 C． 假设三内角至多有一个大于60度 D． 假设三内角至多有两个大于60度
考点：反证法与放缩法．专题：常规题型．分析：
一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；
“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；
“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．解答：
解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B点评：
本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．
5．在200件产品中有3件次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ） A． B． （
种﹣
） 种
9
C． D． （
种
）种
考点：排列、组合的实际应用．专题：应用题；排列组合．分析：
根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．解答：
解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，
“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，故选D．点评：
本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类讨论．
6．下面给出了关于复数的三种类比推理：其中类比错误的是（ ）①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则；②由向量的性质||2=2可以类比复数的性质|z|2=z2；③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义． A． ②
B． ①②
C． ①③
D． ③
考点：类比推理．
专题：计算题；推理和证明．
10
分析：
利用复数的加减法运算法则判断出①对；利用复数加法的几何意义判断出③对；通过举反例判断出命题②错．解答：
解：对于复数的加减法运算法则判断出①对；
对于②向量a的性质||2=2，但|z|2是实数，但z2不一定是实数，如z=i，就不成立，故错；
对于③复数加法的几何意义判断出③对，故选：A．点评：
本题考查向量的数量积公式、向量的运算律、复数的运算律．解答关键是结合复数的运算性质对类比得到的结论要一一进行验证．
7．先后抛掷两枚均匀的骰子（骰子是一种正方体的玩具，在正方体各面上分别有点数1，2，3，4，5，6），骰子落地后朝上的点数分别为x，y，则log2xy=1的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
考点：等可能事件的概率；对数函数的值域与最值．专题：计算题．分析：
根据题意，先后抛掷两枚均匀的骰子，事件发生包含的事件是6×6种结果，由对数运算的性质，可得y=2x，可得其情况数目，根据等可能事件的概率公式得到结果．解答：
解：根据题意，每颗骰子朝上的点数都有6种情况，则x、y的情况有6×6=36种，
若log2xy=1，则y=2x，其情况有x=1、y=2，x=2、y=4，x=3、y=6，共3种情况；
11
则log2xy=1的概率为故选D．点评：
=；
本题考查等可能事件的概率，涉及对数的运算性质，关键是利用对数的运算性质，将log2xy=1转化为y=2x．
8．在二项展开式（1+x）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10中，a1+a3+a5+a7+a9=（ ） A． 1024
B． 512
C． 256
D． 128
考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：
通过对x赋值1得各项系数和，通过对x赋值﹣1得正负号交替的各项系数和，把所得的两个式子相加，得到下标是奇数的项的系数和的2倍，得到结果．解答：
解：令展开式的x=1得210=a1+a2+a3+…+a9令x=﹣1得0=a1﹣a2+a3﹣a4…+a11
两式相加210=2（a1+a3+a5…+a9）∴a1+a3+a5+a7+a9=29=512故选B．点评：
本题考查求展开式的有关系数和问题的重要方法是赋值法，本题解题的关键是看出给变量赋值以后，两个式子相加，得到要求的结果的2倍．
9．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为（ ） A． 0.8
B． 0.6
12
C． 0.5
D． 0.4
考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：
随机变量ξ服从正态分布N（1，δ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到（0，1）和（1，2）的概率是相等的，从而做出（0，2）内取值的概率，得到结果．解答：
解：随机变量ξ服从正态分布N（1，δ2），
∴曲线关于x=1对称，
∴P（0＜ξ＜1）=P（1＜ξ＜2）=0.4，∴P（0＜ξ＜2）=2P（0＜ξ＜1）=0.8，故选：A．点评：
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．
10．已知f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），f4（x）=f3′（x），…，fn（x）=fn﹣1′（x），则f2015（x）等于（ ） A． sinx
B． ﹣sinx
C． cosx
D． ﹣cosx
考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：
对函数连续求导研究其变化规律，可以看到函数解析式呈周期性出现，以此规律判断求出f2015（x）解答：
解：由题意f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，f5（x）=f4′（x）=cosx，…
13
由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从0开始计，周期是4，
∵2015=4×503+3，
故f2015（x）=f3（x）=﹣cosx故选：D点评：
本题考查导数的运算，求解本题的关键是掌握正、余弦函数的求导公式，以及在求导过程中找出解析式变化的规律，归纳总结是解题过程中发现规律的好方式．本题考查了归纳推理．
11．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（ ） A． 极大值5，无极小值 C． 极大值5，极小值﹣27
B． 极小值﹣27，无极大值D． 极大值5，极小值﹣11
考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：
求出y的导函数得到x=﹣1，x=3（因为﹣2＜x＜2，舍去），讨论当﹣2＜x＜﹣1时，y′＞0；当﹣1＜x＜2时，y′＜0，得到函数极值即可．解答：
解：y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，x=3，
由于﹣2＜x＜2，
则当﹣2＜x＜﹣1时，y′＞0；当﹣1＜x＜2时，y′＜0，当x=﹣1时，y极大值=5；x取不到3，无极小值．故选：A
点评：本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，属于基础题
12．数学归纳法证明（n+1）•（n+2）•…•（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）成立时，从n=k到n=k+1左边需增加的乘积因式是（ ）
14
A． 2（2k+1）B． C． 2k+1D．
考点：数学归纳法．
专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：
分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，比较两个表达式，即得所求．解答：
解：当n=k时，左边=（k+1）（k+2）…（k+k），
当n=k+1时，左边=（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是
=2（2k+1），
故选A．点评：
本题考查用数学归纳法证明等式，用n=k+1时，左边的式子除以n=k时，左边的式子，即得所求．
13．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点：定积分在求面积中的应用；几何概型．专题：计算题．
15
分析：
根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=
围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式
计算可得答案．解答：
解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，
围成，其面积为∫01（
﹣x）dx=（
﹣
）|0
而阴影部分由函数y=x与y=
1=，
则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；故选C．点评：
本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．
14．设离散型随机变量X的概率分布如表：则随机变量X的数学期望为（ ）XPi
0
1
2
3p
A． B． C． D．
考点：离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．
分析：先求出p的值，再根据数学期望公式代入计算即可．
16
解答：解：∵P=1﹣（++）=，
∴E（X）=0×+1×+2×+3×=，故选：C．
点评：本题考查了数学期望的求法，关键是掌握公式，属于基础题．
15．设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A． ∀x∈R，f（x）≤f（x0） C． ﹣x0是﹣f（x）的极小值点
B． ﹣x0是f（﹣x）的极小值点D． ﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点
考点：函数在某点取得极值的条件；函数的图象与图象变化．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：
A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；
B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点；
C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点；
D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点．解答：
解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；
对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；
17
对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；
对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．故选：D．点评：
本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
16．已知f（x）=3sinx﹣πx，对任意的x∈（0，①f′（x）＞0；②f′（x）＜0；③f（x）＞0；④f（x）＜0．其中正确的是（ ） A． ①③
B． ①④
C． ②③
D． ②④
），给出以下四个结论：
考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．
分析：根据导数的意义分别分析四个选项解答．解答：
解：由已知f'（x）=（3sinx﹣πx）'=3cosx﹣π，因为x∈（0，
），
），所以cosx∈（0，1），所以f'（x）＜0，所以f（x）在x∈（0，是减函数，所以f（x）＜f（0）=0；故②④正确；故选D．
18
点评：
本题考查了利用导数判断函数的单调性；首先正确求导，然后判断导数的符号．
17．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有（ ） A． 24种
B． 60种
C． 90种
D． 120种
考点：排列、组合的实际应用．专题：转化思想．分析：
根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案．解答：
解：根据题意，使用倍分法，
五人并排站成一排，有A55种情况，
而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，
则B站在A的右边的情况数目为×A55=60，故选B．点评：
本题考查排列、组合的应用，注意使用倍分法时，注意必须保证其各种情况是等可能的．
18．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
19
A． [﹣（﹣∞，﹣（﹣∞，﹣
，]B． （﹣
，+∞），+∞）
，）C．
D．
）∪（）∩（
考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：导数的综合应用．分析：
求函数的导数，因为函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调函数，所以在（﹣∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，再利用一元二次不等式的解得到a的取值范围即可．解答：
解：函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1的导数为f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调函数，∴在（﹣∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，即﹣3x2+2ax﹣1≤0恒成立，∴△=4a2﹣12≤0，解得﹣
≤a≤
∴实数a的取值范围是故选：A点评：
本题主要考查函数的导数与单调区间的关系，以及恒成立问题的解法，利用导数是解决本题的关键．
19．现有5种不同颜色的染料，要对如图中的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是（ ）
20
A． 120B． 140C． 240D． 260
考点：计数原理的应用；排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：
可分步研究涂色的种数，从A处开始，再涂B处，C处时进行分类，分A，C相同，与不同两类，由计数原理计算出不同的着色结果数选出正确选项解答：
解：由题意，先涂A处，有5种涂法，再涂B处4种涂法，第三步涂C，若C与A同，则D有四种涂法，若C与A不同，则D有三种涂法，由此得不同的着色方案有5×4×（1×4+3×3）=260种故选D点评：
本题考查计数原理的应用，解题的关键是理解“公共边的两块区域不能使用同一种颜色，”根据情况对C处涂色进行分类，这是正确计数，不重不漏的保证．
20．设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜l，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（ ） A． [
）B． [
）
C． [
）
D． [
）
考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点．专题：创新题型；导数的综合应用．分析：
设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得．
21
解答：解：设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，
由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），
∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x，＞﹣时，g′（x）＞0，
∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，
当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，
故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得故选：D
≤a＜1
点评：本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．
二、填空（每题4分）21．函数f（x）=
的单调递增区间是 （0，e） ．
考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．
22
分析：求出函数的导数为y′的解析式，令y′＞0
求得x的范围，即可得到函数的单调递增区间．
解答：解：由于函数的导数为y′=，
令y′＞0 可得 lnx＜1，解得0＜x＜e，故函数
的单调递增区间是 （0，e），
故答案为：（0，e）．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题． 22．设．
=a，则二项式
的展开式中的常数项为 24
考点：二项式系数的性质；定积分．专题：计算题．分析：
求定积分求得a的值，求得二项式的展开式的通项公式，再在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．解答：
解：∵a=
=（x2﹣x）
=2，则二项式
=
，
故它的展开式的通项公式为Tr+1=
•x4﹣r•2r•x﹣r=
•x4﹣2r，=24，
令4﹣2r=0，可得 r=2，故展开式的常数项为 故答案为 24．
23
点评：
本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
23．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 1560 条毕业留言．（用数字作答）
考点：排列、组合的实际应用．专题：排列组合．
分析：通过题意，列出排列关系式，求解即可．解答：
解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了故答案为：1560．
点评：本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．
24．四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有 42 种（用数字作答）．
=40×39=1560条．
考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：
根据题意，分2步进行分析，①、先在编号为1，2，3的三个盒子中，取出2个盒子，②、将4个小球放进取出的2个盒子中，且不能有空盒，用排除法分析即可；由分步计数原理计算可得答案．解答：
解：根据题意，分2步进行分析，
①、先在编号为1，2，3的三个盒子中，取出2个盒子，有C32=3种取法，
24
②、将4个小球放进取出的2个盒子中，每个小球有2种放法，则4个小球一共有2×2×2×2=24种，
其中有1个空盒，即4个小球都放进其中1个盒子的情况有2种；
则将4个小球放进取出的2个盒子中，且不能有空盒，其放法数目为（24﹣2）=14种，
故四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法为3×14=42种；故答案为：42．点评：
本题考查排列组合的应用，解题时注意盒子与小球都是不同的，其次注意第②步时利用排除法分析较为简便．
25．已知函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是 ﹣1≤a＜7 ．
考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：
首先利用函数的导数与极值的关系求出a的值，由于函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，所以f′（﹣1）f′（1）＜0，进而验证a=﹣1与a=7时是否符合题意，即可求答案．解答：
解：由题意，f′（x）=3x2+4x﹣a，
当f′（﹣1）f′（1）＜0时，函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，解得﹣1＜a＜7，
当a=﹣1时，f′（x）=3x2+4x+1=0，在（﹣1，1）上恰有一根x=﹣，当a=7时，f′（x）=3x2+4x﹣7=0在（﹣1，1）上无实根，
25
则a的取值范围是﹣1≤a＜7，故答案为﹣1≤a＜7．点评：
考查利用导数研究函数的极值问题，体现了数形结合和转化的思想方法．
三、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
26．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，
且乙投球2次均未命中的概率为（Ⅰ）求乙投球的命中率p；
．
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率．
考点：相互事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：
（Ⅰ）由于乙投球2次均未命中的概率为（1﹣p）2=为所求．
（Ⅱ）先利用相互事件的概率乘法公式求出甲投球2次都没有命中的概率，再用1减去此概率，即为所求．解答：
解：（Ⅰ）由于乙投球2次均未命中的概率为（1﹣p）2=
，求得
，求得p的值，即
p=，即乙投球的命中率p为．
26
（Ⅱ）甲投球2次，这2次都没有命中的概率为=，故甲投球2次，至
少命中1次的概率为1﹣=．点评：
本题主要考查相互事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．
27．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点x=0处的切线为l：4x+y﹣5=0，若x=﹣2时，y=f（x）有极值．（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：
（1）先求出函数的导数，得到关于a，b，c的不等式组，解出即可；（2）先求出函数的表达式，求出函数f（x）的导数，从而求出函数的单调区间，函数的最值．解答：
解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c，
得：f′（x）=3x2+2ax+b，
当x=0时，切线l的斜率为﹣4，可得b=﹣4①，当x=﹣2时，y=f（x）有极值，得f′（﹣2）=0，∴12﹣4a+b=0②，由①②得：a=2，b=﹣4，由于切点的横坐标为x=0，∴f（0）=5，∴c=5，∴a=2，b=﹣4，c=5．
27
（2）由（1）得f（x）=x3+2x2﹣4x+5，∴f′（x）=3x2+4x﹣4，
令f′（x）=0，解得：x=﹣2或x=，当x变化时，y′，y的值及变化如下表： x
﹣3
（﹣3，﹣2）
﹣2
（﹣2，）
（
，1） y′ y
1
+
8
递增
0 13
﹣ 递减
0
+递增
4
∴y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值为13，最小值为点评：
．
本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
28．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院人数
机械工程学院海洋学院4
6
医学院4
经济学院6
（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；
（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．
28
考点：
离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：
（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为属于同一学院的方法数为
，由此利用等可能事件概率计
算公式能求出这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率．
（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的概率分布列和数学期望．解答：
解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为
，
，选出3人中任意两个均不
选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：
所以
（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，
，
所以ξ的分布列为
0
P
1
2
3
所以
29
点评：
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．
29．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+
，求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）若g（x）=﹣
，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0
）≤g（x0）成立，求a的取值范围．
考点：
利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：
（Ⅰ）求出切点（1，1），求出求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程．
（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间即可．（Ⅲ）转化已知条件为函数
在[1，e]上的最小值[h（x）]m
，然后求解斜率k，即可
in≤0，利用第（Ⅱ）问的结果，通过①a≥e﹣1时，②a≤0时，③0＜a＜e﹣1
时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围．解答：
解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），
30
∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，
∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．
（Ⅱ），定义域为（0，+∞），
，
①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a
令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，
综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．
当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，即函数
在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．
由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，∴
，∴
，
∵，∴；
②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，
31
③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，
∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）≤0成立． 综上可得所求a的范围是：点评：
本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题得到能力．
或a≤﹣2．
32
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