空间向量专题练习答案

一、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

1.平面α的法向量为（1，0，-1），平面β的法向量为（0，-1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为【答案】或【解析】

解：设平面α的法向量为则cos＜∴＜

，＞=

．

，＞相等或互补，

=（1，0，-1），平面β的法向量为

=-，

=（0，-1，1），

______ ．

，＞=

∵平面α与平面β所成的角与＜∴α与β所成的角为故答案为：

或

．

或

．

利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出．

本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能力，属于基础题．

2.平面α经过三点A（-1，0，1），B（1，1，2），C（2，-1，0），则平面α的法向量可以是【答案】

高中数学试卷第

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______ （写出一个即可）

（0，1，-1）【解析】解：

=（2，1，1），

=（3，-1，-1），

设平面α的法向量则

∴=（0，1，-1）．

=（x，y，z），

，令z=-1，y=1，x=0．

故答案为：（0，1，-1）．设平面α的法向量

=（x，y，z），则

，解出即可．

本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于基础题．

3.已知【答案】

=（1，0，2），=（2，1，1），则平面ABC的一个法向量为______ ．

（-2，3，1）【解析】解：

=（1，0，2），

=（2，1，1），=（x，y，z），

，取x=-2，则z=1，y=3．

设平面ABC的法向量为则

，即

∴=（-2，3，1）．故答案为：（-2，3，1）．设平面ABC的法向量为

=（x，y，z），则

，解出即可．

本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于基础题．

4.在三角形ABC中，A（1，-2，-1），B（0，-3，1），C（2，-2，1），若向量ABC垂直，且||=

，则的坐标为

______ ．

2页，共9页

与平面

高中数学试卷第

【答案】

（2，-4，-1）或（-2，4，1）【解析】

解：设平面ABC的法向量为则∵∴即

，=0，且

?

=0，

=（1，0，2），

=（x，y，z），

=（-1，-1，2），

，

令z=1，则x=-2，y=4，即

=（-2，4，1），

与平面ABC垂直，∥

，

若向量∴向量设=λ∵||=∴

=（-2λ，4λ，λ），，

?|λ|=，

即|λ|=1，解得λ=±1，

∴的坐标为（2，-4，-1）或（-2，4，1），故答案为：（2，-4，-1）或（-2，4，1）

根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结论．本题主要考查空间向量坐标的计算，的关键．

根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本题

高中数学试卷第3页，共9页

二、解答题(本大题共3小题，共36.0分)5.如图，在四棱锥

P-ABCD中，底面ABCD为菱形，

∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面（2）点M在线段PC上，

PQB⊥平面PAD；

，若平面PAD⊥

平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小．

【答案】

解：（1）证明：由题意知：∴AD⊥平面PQB，又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）∵PA=PD=AD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，以Q这坐标原点，分别以

QA，QB，QP为x，y，z轴，PQ⊥AD，BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，

建立如图所求的空间直角坐标系，

由题意知：Q（0，0，0），A（1，0，0），

高中数学试卷第

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P（0，0，∴设∴又∵∴cos＜

），B（0，，0），C（-2，

，

），

，0）

=（-，

是平面MBQ的一个法向量，则

，∴

，

，

，

，，

，，，

平面BQC的一个法向量，

＞=，

∴二面角M-BQ-C的大小是60°．【解析】

（1）由题设条件推导出平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q这坐标原点，分别以用向量法能求出二面角

QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利

PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明

M-BQ-C的大小．

本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧

棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，点E是PC的中点，F在直线PA上．（1）若EF⊥PA，求

的值；

（2）求二面角P-BD-E的大小．

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【答案】

解：（1）∵在四棱锥

P-ABCD中，底

PD⊥底面

面ABCD是正方形，侧棱ABCD，

∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，∵PD=DC=2，点E是PC的中点，F在直线PA上，

∴P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，1），设F（a，0，c），

，则（a，0，c-2）=λ（2，0，-2）=（2λ，0，-2λ），

∴a=2λ，c=2-2λ，F（2λ，0，2-2λ），=（2λ，-1，1-2λ），∵EF⊥PA，∴∴

=．

=（2，0，-2），

，

=4λ-2+4λ=0，解得

（2）P（0，0，2），B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，1，1），

=（0，0，2），设平面BDP的法向量则

设平面BDE的法向量则

=（2，2，0），=（x，y，z），

，取x=1，得=（1，-1，0），=（x，y，z），，取x=1，得

=（1，-1，1），=（0，1，1），

设二面角P-BD-E的大小为θ，

高中数学试卷第

6页，共9页

则cosθ=

==．

∴二面角P-BD-E的大小为arccos．【解析】

（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出

的值．

BDE的法向量，由此能求出二面角

P-BD-E的大

（2）求出平面BDP的法向量和设平面小．

本题考查线段比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

高中数学试卷第7页，共9页

7.如图所示的几何体是由棱台ABC-A1B1C1和

棱锥D-AA1C1C拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，BB1⊥平面ABCD，BB1=2A1B1=2．（Ⅰ）求证：平面（Ⅱ）求二面角

AB1C⊥平面BB1D；A1-BD-C1的余弦值．

【答案】

（Ⅰ）证明：∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC，∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1D，

∵AC?平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面BB1D；（Ⅱ）设BD、AC交于点O，以O为坐标原点，以图所示空间直角坐标系．则

OA为x轴，以OD为y轴，建立如

，，

，，

，

，

，，，

，，，，，

，，，

，

∴

，，

，

，，，，

，

，

，，

．

设平面A1BD的法向量

高中数学试卷第8页，共9页

由，取z=

，得

，，

，

设平面DCF的法向量

，，

，

由，取z=

，得

，，

．

设二面角A1-BD-C1为θ，则【解析】

（Ⅰ）由BB1⊥平面ABCD，得BB1⊥AC，再由ABCD是菱形，得BD⊥AC，由线面垂直的判定可得

AC⊥平面BB1D，进一步得到平面

AB1C⊥平面BB1D；

OA为x轴，以OD为y轴，建立如

．

（Ⅱ）设BD、AC交于点O，以O为坐标原点，以图所示空间直角坐标系．

求出所用点的坐标，

得到平面A1BD与平面DCF的法向量，由

两法向量所成角的余弦值可得二面角本题考查平面与平面垂直的判定，求二面角的平面角，是中档题．

A1-BD-C1的余弦值．考查空间想象能力和思维能力，

训练了利用空间向量

高中数学试卷第9页，共9页