几何计数(一)题库版

7-8-1几何计数(一)

教学目标

1。掌握计数常用方法;

2、熟记一些计数公式及其推导方法; 3。根据不同题目灵活运用计数方法进行计数.

本讲主要介绍了计数得常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等,并渗透分类计数与用容

斥原理得计数思想、

知识要点

一、几何计数

在几何图形中,有许多有趣得计数问题,如计算线段得条数,满足某种条件得三角形得个数,若干个图分平面所成得区域数等等。这类问题瞧起来似乎没有什么规律可循,但就是通过认真分析,还就是可以找到一些处理方法得、常用得方法有枚举法、加法原理与乘法原理法以及递推法等。ｎ条直线最多将平面分成 个部分;ｎ个圆最多分平面得部分数为n(n—１)＋2;n个三角形将平面最多分成3n(ｎ—1)+2部分;n个四边形将平面最多分成４n(n－１)+2部分……

在其它计数问题中,也经常用到枚举法、加法原理与乘法原理法以及递推法等。解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解。

排列问题不仅与参加排列得事物有关,而且与各事物所在得先后顺序有关;组合问题与各事物所在得先后顺序无关,只与这两个组合中得元素有关。

二、几何计数分类

数线段:如果一条线段上有n+１个点(包括两个端点)(或含有ｎ个“基本线段”),那么这n+1个点把这条线段一共分成得线段总数为n+(ｎ—1)+…+2+1条

数角:数角与数线段相似,线段图形中得点类似于角图形中得边.

数三角形:可用数线段得方法数如右图所示得三角形(对应法),因为DE上有15条线段,每条线段得两端点与点Ａ相连,可构成一个三角形,共有1５个三角形,同样一边在BC上得三角形也有１5个,所以图中共有30个三角形。

数长方形、平行四边形与正方形:一般得,对于任意长方形(平行四边形),若其横边上共有n条线段,纵边上共有m条线段,则图中共有长方形(平行四边形)mｎ个、

例题精讲

模块一、简单得几何计数

【例 1】 七个同样得圆如右图放置,它有___＿_＿_条对称轴.

【考点】简单得几何计数 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】2008年,迎春杯,六年级,初赛,试题 【解析】 如图:6条.

【答案】条

【例 2】 下面得表情图片中:,没有对称轴得个数为( )

(Ａ) ３ (B) 4 (C) 5 (D) 6 【考点】简单得几何计数 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2０0９年,第14届,华杯赛,初赛,第1题

【解析】 通过观察可知,第1,2,5这三张图片就是有对称轴得,其她得5张图片都没有对称轴,所以没有对称轴得

个数为５,正确答案就是C。

【答案】 【巩固】 中心对称图形就是:绕某一点旋转１8０°后能与原来得图形重合得图形,轴对称图形就是:沿着一条直

线对折后两部分完全重合得图形,图得4个图形中,既就是中心对称图形又就是得轴对称图形得有 个。

【考点】简单得几何计数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】２009年,希望杯,第七届,五年级,一试,第７题 【解析】 共有3个,除第二个外其余都就是。

【答案】个

【例 3】 两条直线相交所成得锐角或直角称为两条直线得“夹角”、现平面上有若干条直线,它们两两相交,并

且“夹角”只能就是3０°,60°或９0°、问:至多有多少条直线？

【考点】简单得几何计数 【难度】１星 【题型】填空 【关键词】20０5年,第十届,华杯赛,初赛,试题,第12题 【解析】 至多有6条直线,如图:

【答案】条

【例 4】 下图就是王超同学为＂环境保护专栏”设计得一个报头,用到基本得几何图形:线段、三角形、四边

形、圆、弧线,其中用得最多得一种图形就是_＿＿＿____ 。

【考点】简单得几何计数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】20０3年,希望杯,第一届,四年级,二试,第９题 【解析】 观察图形发现就是:线段最多

【答案】线段最多

【例 5】 下面得与图中共有＿_＿_个正方形。

【考点】简单得几何计数 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 在得图中,边长为1得正方形个;边长为2得正方形个; 边长为３得正方形个;边长为4得正方形个;边

长为５得正方形有,总共有 (个)正方形、在得图中边长为１得正方形个;边长为2得正方形个; 边长为3得正方形个;边长为4得正方形个;总共有 (个)、

【答案】个

【巩固】 请瞧下图,共有多少个正方形？

【考点】简单得几何计数 【难度】2星 【题型】填空【关键词】

【解析】 假设最小得正方形边长为１,则面积为1得正方形有9个;面积为4得正方形有4个;面积为16得正方

形有1个、因此共有９+4＋1＝14个.

【答案】个

【巩固】 如下图就是一个围棋盘,它由横竖各19条线组成、问:围棋盘上有多少个右图中得小正方形一样得正

方形?

【考点】简单得几何计数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】第二届,华杯赛,初赛,试题,第1５题

【解析】 我们先在右图小正方形中找一个代表点,例如右下角得点E作为代表点。然后将小正方形按题意放在

围棋盘上,仔细观察点E应在什么地方、通过观察,不难发现:ﻫ(1)点E只能在棋盘右下角得正方形ＡBCD(包括边界)得格子点上.

(２)反过来,右下角正方形ＡBCD中得每一个格子点都可以作为小正方形得点E,也只能作为一个小正方形得点E。

这样一来,就将“小正方形得个数”化为“正方形ABCＤ中得格子点个数”了。很容易瞧出正方形ABCD中得格子点为10×10=100个。

答:共有10０个。

【答案】个

【例 6】 下图中共有____个正方形、

【考点】简单得几何计数 【难度】２星 【题型】解答

【解析】 每个正方形中有:边长为1得正方形有个;边长为2得正方形有个; 边长为３得正方形有个;边长为4得

正方形有个;总共有(个)正方形。现有5个得正方形,它们重叠部分就是4个得正方形、因此,图中正方形得个数就是.

【答案】

【例 7】 图中有＿_____个正方形、

【考点】简单得几何计数 【难度】2星 【题型】解答 【答案】

【巩固】 数一数:图中共有__＿＿___＿ 个正方形。 【考点】简单得几何计数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2003年,希望杯,第一届,四年级,二试,第1０题 【解析】 按面积从小到大4+1７+９＋4+1＝35个 【答案】个

【巩固】 图中共有 个正方形、

【考点】简单得几何计数 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 得正方形1个;得正方形４个;得正方形5个;２2得正方形4个;１１得正方形13个.共２7个。

【关键词】２0０8年,第６届,走美杯,4年级,决赛,第7题

【解析】 设最小正方形得边长为,那么边长为得正方形有个,边长为得正方形有个,边长为得正方形有个,边长为

得正方形有个,边长为得正方形有个,边长为得正方形有个,所以总共有(个)。

【答案】个

【例 8】 下图中共有____＿＿＿__＿_个正方形。

【考点】简单得几何计数 【难度】３星 【题型】填空 【关键词】2006年,迎春杯,中年级,初试,4题

【解析】 分类计算边长为1得正方形有１2个;长为2得正方形有１个;边长为3得正方形有４个;边长为4得有

1个;边长为1个对角线得有1个;边长为2个对角线得有1个;所以一共有:(个)

【答案】个

【巩固】 图1中共有 个正方形、

【考点】简单得几何计数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】200４年,希望杯,第二届,五年级,一试,第12题 【解析】 5+４+1＋5＋４+1=2０ 【答案】个

【例 9】 图中共有多少个长方形?

【考点】简单得几何计数 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 利用长方形得计数公式:横边上共有ｎ条线段,纵边上共有m条线段,则图中共有长方形(平行四边

形)mn个.所以有(4+3+２+１)×(4+3+2＋1)＝100。

【答案】

【例 10】 数一数,下边图形中有 个平行四边形、

【考点】简单得几何计数 【难度】１星 【题型】填空 【关键词】２０10年,迎春杯,四年级,初试,4题

【解析】 本题就是一道几何计数问题,应不漏不重地按规律去数,每相邻两个三角形可组成一个平行四边形,共

计6个.

【答案】个

【例 11】 图5中有 个平行四边形、

【考点】简单得几何计数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2004年,第2届,希望杯,4年级,1试

【解析】 12+8+３＝２3 【答案】

【例 12】 如右图中共有7层小三角形,求白色小三角形得个数与黑色小三角形得个数之比。

1234567【考点】简单得几何计数 【难度】２星 【题型】填空 【关键词】第三届,华杯赛,初赛,试题,第10题

【解析】 白色小三角形个数＝１＋２＋…+6=＝2１,黑色小三角形个数＝1十2+…+7＝=２8,所以它们得比=＝,

白色与黑色小三角形个数之比就是、

【答案】

【例 13】 如图,由小正方形构成得长方形网格中共有线段______条。

【考点】简单得几何计数 【难度】2 【题型】填空 【关键词】2008年,希望杯,第六届,六年级,一试,第8题

【解析】 横得有5×(1＋2+3+4+5)=75条,竖得有6×(1+2＋3+４)=60条,一共１3５条 【答案】条

【例 14】 图中线段得条数比三角形得个数多 。

【考点】简单得几何计数 【难度】２星 【题型】填空 【关键词】２0０8年,学而思杯,2年级,第6题

【解析】 通过比较发现,线段得条数比三角形得个数多得正好就是条斜边。 【答案】

【例 15】 右图中共有 个三角形。

【考点】简单得几何计数 【难度】２星 【题型】填空 【关键词】2007年,第12届,华杯赛,五年级,决赛,第6题

【解析】 由1个,2个,3个,4个,6个,8个小三角形组成得三角形分别有:8,7,4,３,1,１个,也即一共有8+7+4＋3＋2

＝2４个。

【答案】２4

【例 16】 如图AB,CD,EＦ,MN互相平行,则图中梯形个数与三角形个数得差就是多少?

【考点】简单得几何计数 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 图中共有三角形(1+2+３+４)×4＝40个.梯形(1+２+3+4)×(２＋4)=6０;所以梯形比三角形多６

0—40=2０个.

【答案】个

【例 17】 右边三个图中,都有一些三角形,在图A中,有

_＿_＿个;在图Ｂ中,有＿_＿_＿_个;中图Ｃ中,有_＿＿_＿＿ 个。

ABC【考点】简单得几何计数 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2003年,第1届,希望杯,4年级,1试

【解析】 图Ａ 5个; 图Ｂ 8个; 图C ５个 【例 18】 请瞧下图,共有多少个三角形?

【考点】简单得几何计数 【难度】２星 【题型】填空

【解析】 独立得三角形有7个,由4个三角形组成得三角形有１个,加上最大得三角形,因此共有７＋1+1=９个

三角形.

【答案】

【例 19】 右图中共有 个三角形.

【考点】简单得几何计数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】20１０年,迎春杯,三年级,初赛,2题

【解析】 分类枚举得到:边长就是个单位长度得有个三角形; 边长就是个单位长度得有个三角形

边长就是个单位长度得有个三角形 共有(个)

【答案】个

【例 20】 右图中三角形共有 个.

【考点】简单得几何计数 【难度】４星 【题型】填空 【关键词】200９年,迎春杯,五年级,初赛,4题 【解析】 不可分割得三角形有个。

由个不可分割得三角形构成得三角形有个. 由个不可分割得三角形构成得三角形有个、 由个不可分割得三角形构成得三角形有个. 由个不可分割得三角形构成得三角形有个. 一共有三角形个.

【答案】个

【巩固】 数一数图中有___＿＿＿_个三角形、

【考点】简单得几何计数 【难度】４星 【题型】填空 【关键词】2007年,第5届,走美杯,３年级,初赛,第14题

【解析】 分类枚举,只由一个三角形构成得有6个,由两个小三角形组合而成得三角形有3个。由三个小三角形

组合而成得三角形有３个,所以一共有(个)。

【答案】个

【巩固】 数一数,图中有______＿_＿__＿____＿个三角形。

【考点】简单得几何计数 【难度】４星 【题型】填空 【关键词】2006年,希望杯,第四届,五年级,二试,第９题 【解析】 10个

【答案】个

【例 21】 图中共有 个三角形。

【考点】简单得几何计数 【难度】４星 【题型】填空

【关键词】2０09年,第７届,希望杯,4年级,１试

【解析】 从图形所包含得小块数得个数来数,包含一块得三角形有10个,包含两块得三

角形有10个,包含三块得三角形有10个,包含五块三角形有5个,所以共有35个、

【答案】个

【例 22】 在图中,一共有 10 个三角形, 40 条线段。

【考点】简单得几何计数 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】２010年,学而思杯,2年级,第３题

【解析】 ⑴一共有10个三角形、五角星得每个角上分别有1个小三角形,总共有5个;另外还有5个较大得三

角形,所以共有(个)三角形、⑵一共有４0条线段、中间五角星中有5条长线段,每条长线段上共可以数出:(条)线段,那么五角星中共有(条)线段,、

〈考点〉 图形得计数

【答案】三角形个,线段个

【例 23】 用1０根火柴棒首尾顺次连接接成一个三角形,能接成不同得三角形有 个。 【考点】简单得几何计数 【难度】３星 【题型】填空 【关键词】２006年,希望杯,第四届,五年级,一试,第１3题

【解析】 根据三角行两边之与大于第三边,两边只差小于第三边。知道共有两2种情况:与,所以能接成不同得

三角形个

【答案】个