文科数学试卷
时间:120分钟 满分:150分
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1.定义集合运算:AB{z|zxy,xA,yB},设A{1,2},B{0,2},则集合AB的真子集个数为 A.7
B.8 C.15 D.16
2.已知i是虚数单位,复数z=A.第一象限
510i对应复平面上的点P位于( )
34iC.第三象限
D.第四象限
B.第二象限
3.已知命题p:xR,|sinx|1,则p是( )
A.xR,|sinx|1 B.xR,|sinx|1 C.xR,|sinx|1 D.xR,|sinx|1 4.如图给出的是的一个程序框图,则其输出的结果是( ) A.21 B.21 C.21 D.21 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为1,
19202122开始 S=0,i=0 S=S+2i S20070,则S2009的值是( )
A.0 B.2 C.2008 D.2009 6.已知
否 i=i+1 i>19 是 输出S cos22,则sin2=( )
sin(45)2A.
3113 B. C. D.
2244结 束 7. a、b是两条异面直线,则“a⊥b”是“存在经过a且与b垂直的平面”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.某中学高一年级有350人,高二年级有280人,用分层抽样法从高中三个年级抽选学生代表,已知从高三年级抽取了7人,从高一年级抽取的人数比从高二年级抽取的人数多2人,则该校高中的学生总数是( )
A.945 B.910 C.900 D.875
9.把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为a,第二次出现的点
数为b,向量m(a,b),n(1,2),则向量m与向量n垂直的概率是( )
1111A. B. C. D.
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10.已知f(x)是定义在(-∞,∞)上的偶函数,且在(,0]上是增函数,设af(ln13),
bf(log43),cf(0.41),则a,b,c,的大小关系是( )
A.abc B.bac C.cab D.bca
11.设平面内有△ABC及点O,若满足关系式(OBOC)(OBOC2OA)0,那么△ABC一定是
A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
12.过双曲线M:x2y2b21的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐
近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( ) A.10 B.5 C.
103 D.52 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题:本大题中每小题4分,共16分.把答案直接填在题中的横线上.
13.定义在R上的函数f(x)是奇函数,当x0时,f(x)x22x,则f(3) . 14.如图,是一个几何体的三视图,其中主视图是两直角边长分别为1,2的主视图 直角三角形,俯视图为边长分别为1,2的矩形,左视图为直角边长为1的等腰直角三角形,则这个几何体的面体的体 俯视图
积为 .
15.如果满足ABC60,AC12,BCk的三角形恰有一个,那么k的取值范围是 。
16.设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(x)fx()0恒成立. 如果实数m、n满足不等式f(m26m21)f(n28n)0,那么m2n2 的取值范围是 。
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知f(x)4cos2x43asinxcosx,将f (x)的图象向左平移4,再向上平移2个长
度单位后,图象关于直线
x12对称.
(1)求实数a的值,并求f(x)取得最大值时x的集合; (2)求f(x)的单调递增区间.
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左视图
18.(本小题满分12分)
某校从参加高三年级第一学期期末考试的学生中抽出50名学生,并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数,满分为100分),将数学成绩进行分组并根据各组人数制成如下频率分布表:
(Ⅰ)将上面的频率分布表补充完整,并估计本次考试全校85分以上学生的比例; (Ⅱ)为了帮助成绩差的同学提高数学成绩,学校决定成立“二帮一”小组,即从成绩为90,100中任选出两位同学,共同帮助成绩在40,50中的某一个同学,试列出所有基本事件;若A1同学成绩为43分,B1同学成绩为95分,求A1、B1两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的概率.
19.(本小题满分12分) 面ABCD.
(Ⅰ)求证:BDAA1;
2(Ⅱ)设ABa,BAC30,四边形AAC11C的面积为3a,
分 组 [ 40, 50 ) [ 50, 60 ) [ 60, 70 ) [ 70, 80 ) [ 80, 90 ) [ 90, 100 ] 合 计 频 数 2 3 14 15 4 频 率 0.04 0.06 0.28 0.30 0.08 如图棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,平面AAC11C平
D1C1A1B1DCAB求棱柱ABCDA1B1C1D1的体积. 20.(本小题满分12分)
22 在平面直角坐标系xOy中,已知圆xy12x320的圆心为Q,过点P(0,2)且
,B. 斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ)是否存在常数k,使得向量OAOB与PQ共线?如果存在,求k值;如果不存在,
请说明理由.
21.已知函数f (x)=(a+1)lnx+ax2+1. (Ⅰ)讨论函数f (x)的单调性; (Ⅱ)设a ≤-2,证明:对任意x2, x2(0,+∞),|f (x1) - f (x2)| ≥ 4| x1- x2|.
选做题(本小题满分10分.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按
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所做的第一题记分.作答时,在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑)
22.选修4—1:几何证明选讲
如图,圆O的直径AB10,弦DEAB于点H,HB2. (Ⅰ)求DE的长;
(Ⅱ)延长ED到P,过P作圆O的切线,切点为C,若
PCDHOPC25,求PD的长.
23.选修4—4:极坐标系与参数方程
ABx=2t,已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标
y=4t+a,方程为ρ=42cos(θ+
E4).
(Ⅰ)将圆C的极坐标方程化写为直角坐标系方程;
(Ⅱ)若圆C上有且仅有三个点到直线l距离为2,求实数a的值.
24.选修4—5:不等式选讲
已知不等式xpx12xp.
(Ⅰ)如果不等式当p2时恒成立,求x的范围; (Ⅱ)如果不等式当2x4时恒成立,求p的范围.
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偃师高中2013届高三月考数学(文科)参及评分标准
一、选择题:AACBD CCDCB CA 二、填空题:13. -3,14. 三、解答题:
17.解:(1)f(x)23asin2x2cos2x2,将f(x)的图象平移后的解析式为
2,15.0k12 或k83,16. (9, 49) 3g(x)f(x)22sin2x23acos2x.
4g(x)的图象关于直线x对称,有g(0)g(),即23a33a, 126解得a1. „„„4分
f(x)23sin2x2cos2x24sin(2x)26则.
xk2x2k3时,f(x)取得最大值2. 62,即当
因此f(x)取得最大值时x的集合是{x|x=k,k∈Z} „„8分
3(2)由
2k22x62k2,解得
k6xk3.
因此,f(x)的单调递增区间是
[k6,k]3(kZ). „„„12分
18.解:(Ⅰ)第五行以此填入 12 0.24 „„„„„2分 第七行以此填入 50 1 „„„„„4分 估计本次全校85分以上学生比例为32% „„„„„6分
1 „„„„„12分 4319.解:(Ⅰ)略 „„6分 (Ⅱ)Va3 „„„„„12分
2(Ⅱ)
20.解:(1)圆的方程可写成(x6)y4,所以圆心为Q(6,0),过P(0,2)且斜率为k的直线方程为ykx2.代入圆方程得x(kx2)12x320, 整理得(1k)x4(k3)x360. ①
222222,B等价于 直线与圆交于两个不同的点A[4(k3)]2436(1k2)42(8k26k)0,
解得33k0,即k的取值范围为,0. „„„„„„„6分 44 版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则OAOB(x1x2,y1y2),
由方程①,
4(k3) ②, 又y1y2k(x1x2)4. ③ 21k而P(0,,2)Q(6,,0)PQ(6,2). x1x2所以OAOB与PQ共线等价于(x1x2)3(y1y2),„„„„„„„„8分
将②③代入上式,解得k3. 4由(Ⅰ)知k,0,故没有符合题意的常数k.„„„„„„„„„12分
34a12ax2a120.解:.(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+),f(x). 2axxx当a≥0时,f(x)>0,故f(x)在(0,+)单调增加; 当a≤-1时,f(x)<0, 故f(x)在(0,+)单调减少;
当-1<a<0时,令f(x)=0,解得x=a1.当x∈(0, 2aa1)时, f(x)>0; 2ax∈(a1,+)时,f(x)<0, 故f(x)在(0, 2aa1a1)单调增加,在(,+)2a2a单调减少.
(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤-2,故f(x)在(0,+)单调减少. 所以f(x1)f(x2)4x1x2等价于
f(x1)f(x2)≥4x1-4x2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令g(x)=f(x)+4x,则
g(x)a12ax+4 x
8分
2ax24xa1=.
x于是
4x24x1(2x1)2=≤0. g(x)≤
xx从而g(x)在(0,+)单调减少,故
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g(x1) ≤g(x2),
即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,
故对任意x1,x2∈(0,+) ,f(x1)f(x2)4x1x2. 12分 22.(Ⅰ)DE8 „„5分 (Ⅱ)PD2 „„10分 23.解(I)由42cos(
即4cos4sin,„„„„„„2分 由24)得4cos4sin.
xcos,得,x2y24x4y0即(x2)2(y2)28.
ysin22 所以圆C的直角坐标方程为(x2)(y2)8.„„„„„„5分 (II)直线的参数方程x2t,可化为y2xa,
y4ta 由圆的半径为22知,圆心(2,-2)到直线y2xa的距离为恰好为2. „„„„„„8分
所以6a52,解得a610.„„„„„„10分 24.(Ⅰ)x1或x3 „„5分 (Ⅱ)p1 „„10分
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