2013届河南省偃师高中高三第二次月考数学(文)试卷

文科数学试卷

时间：120分钟 满分：150分

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.

1．定义集合运算:AB{z|zxy,xA,yB}，设A{1,2},B{0,2},则集合AB的真子集个数为 A．7

B．8 C．15 D．16

2．已知i是虚数单位，复数z=A．第一象限

510i对应复平面上的点P位于（ ）

34iC．第三象限

D．第四象限

B．第二象限

3．已知命题p：xR，|sinx|1，则p是（ ）

A．xR,|sinx|1 B．xR,|sinx|1 C．xR,|sinx|1 D．xR,|sinx|1 4．如图给出的是的一个程序框图，则其输出的结果是（ ） A．21 B．21 C．21 D．21 5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为1,

19202122开始 S=0，i=0 S=S+2i S20070，则S2009的值是（ ）

A．0 B．2 C．2008 D．2009 6．已知

否 i=i+1 i>19 是 输出S cos22，则sin2＝（ ）

sin(45)2A．

3113 B． C． D．

2244结 束 7． a、b是两条异面直线，则“a⊥b”是“存在经过a且与b垂直的平面”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D.既不充分也不必要条件

8．某中学高一年级有350人,高二年级有280人，用分层抽样法从高中三个年级抽选学生代表，已知从高三年级抽取了7人，从高一年级抽取的人数比从高二年级抽取的人数多2人，则该校高中的学生总数是（ ）

A．945 B．910 C．900 D．875

9．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点

数为b，向量m(a,b),n(1,2)，则向量m与向量n垂直的概率是（ ）

1111A． B． C． D．

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10．已知f(x)是定义在（－∞，∞）上的偶函数，且在(,0]上是增函数，设af(ln13)，

bf(log43),cf(0.41)，则a,b,c,的大小关系是（ ）

A．abc B．bac C．cab D．bca

11．设平面内有△ABC及点O，若满足关系式(OBOC)(OBOC2OA)0，那么△ABC一定是

A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形

12．过双曲线M：x2y2b21的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐

近线分别相交于B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是 ( ) A.10 B.5 C.

103 D.52 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二、填空题：本大题中每小题4分，共16分.把答案直接填在题中的横线上.

13．定义在R上的函数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)x22x，则f(3) ． 14．如图，是一个几何体的三视图，其中主视图是两直角边长分别为1,2的主视图 直角三角形，俯视图为边长分别为1,2的矩形，左视图为直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的面体的体 俯视图

积为 ．

15．如果满足ABC60，AC12，BCk的三角形恰有一个，那么k的取值范围是 。

16．设f(x)是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f(x)fx()0恒成立. 如果实数m、n满足不等式f(m26m21)f(n28n)0,那么m2n2 的取值范围是 。

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知f(x)4cos2x43asinxcosx，将f (x)的图象向左平移4，再向上平移2个长

度单位后，图象关于直线

x12对称．

（1）求实数a的值，并求f(x)取得最大值时x的集合； （2）求f(x)的单调递增区间．

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左视图

18．（本小题满分12分）

某校从参加高三年级第一学期期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数，满分为100分），将数学成绩进行分组并根据各组人数制成如下频率分布表：

（Ⅰ）将上面的频率分布表补充完整，并估计本次考试全校85分以上学生的比例； （Ⅱ）为了帮助成绩差的同学提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩为90,100中任选出两位同学，共同帮助成绩在40,50中的某一个同学，试列出所有基本事件；若A1同学成绩为43分，B1同学成绩为95分，求A1、B1两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的概率．

19．（本小题满分12分） 面ABCD．

（Ⅰ）求证：BDAA1；

2（Ⅱ）设ABa，BAC30，四边形AAC11C的面积为3a，

分 组 [ 40, 50 ) [ 50, 60 ) [ 60, 70 ) [ 70, 80 ) [ 80, 90 ) [ 90, 100 ] 合 计 频 数 2 3 14 15 4 频 率 0.04 0.06 0.28 0.30 0.08 如图棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，平面AAC11C平

D1C1A1B1DCAB求棱柱ABCDA1B1C1D1的体积． 20．（本小题满分12分）

22 在平面直角坐标系xOy中，已知圆xy12x320的圆心为Q，过点P(0，2)且

，B． 斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量OAOB与PQ共线？如果存在，求k值；如果不存在，

请说明理由．

21.已知函数f (x)=(a+1)lnx+ax2+1. (Ⅰ)讨论函数f (x)的单调性； (Ⅱ)设a ≤-2，证明：对任意x2, x2(0,+∞)，|f (x1) - f (x2)| ≥ 4| x1- x2|.

选做题（本小题满分10分．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按

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所做的第一题记分．作答时，在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑）

22．选修4—1：几何证明选讲

如图，圆O的直径AB10，弦DEAB于点H，HB2． （Ⅰ）求DE的长；

（Ⅱ）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若

PCDHOPC25，求PD的长．

23．选修4—4：极坐标系与参数方程

ABx＝2t,已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标

y＝4t＋a,方程为ρ＝42cos（θ＋

E4）．

（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化写为直角坐标系方程；

（Ⅱ）若圆C上有且仅有三个点到直线l距离为2，求实数a的值．

24．选修4—5：不等式选讲

已知不等式xpx12xp．

（Ⅰ）如果不等式当p2时恒成立，求x的范围； （Ⅱ）如果不等式当2x4时恒成立，求p的范围．

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偃师高中2013届高三月考数学（文科）参及评分标准

一、选择题：AACBD CCDCB CA 二、填空题：13. －3，14. 三、解答题：

17.解：（１）f(x)23asin2x2cos2x2，将f(x)的图象平移后的解析式为

2，15.0k12 或k83，16. (9, 49) 3g(x)f(x)22sin2x23acos2x．

4g(x)的图象关于直线x对称，有g(0)g()，即23a33a， 126解得a1． „„„4分

f(x)23sin2x2cos2x24sin(2x)26则．

xk2x2k3时，f(x)取得最大值2． 62，即当

因此f(x)取得最大值时x的集合是{x|x=k,k∈Z} „„8分

3（２）由

2k22x62k2，解得

k6xk3．

因此，f(x)的单调递增区间是

[k6,k]3(kZ)． „„„12分

18.解：（Ⅰ）第五行以此填入 12 0.24 „„„„„2分 第七行以此填入 50 1 „„„„„4分 估计本次全校85分以上学生比例为32％ „„„„„6分

1 „„„„„12分 4319.解：（Ⅰ）略 „„6分 （Ⅱ）Va3 „„„„„12分

2（Ⅱ）

20．解：（1）圆的方程可写成(x6)y4，所以圆心为Q(6，0)，过P(0，2)且斜率为k的直线方程为ykx2．代入圆方程得x(kx2)12x320， 整理得(1k)x4(k3)x360． ①

222222，B等价于 直线与圆交于两个不同的点A[4(k3)]2436(1k2)42(8k26k)0，

解得33k0，即k的取值范围为，0． „„„„„„„6分 44 版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com

（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OAOB(x1x2，y1y2)，

由方程①，

4(k3) ②, 又y1y2k(x1x2)4． ③ 21k而P(0，，2)Q(6，，0)PQ(6，2)． x1x2所以OAOB与PQ共线等价于(x1x2)3(y1y2)，„„„„„„„„8分

将②③代入上式，解得k3． 4由（Ⅰ）知k，0，故没有符合题意的常数k．„„„„„„„„„12分

34a12ax2a120．解：.(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，f(x). 2axxx当a≥0时，f(x)＞0，故f(x)在(0,+)单调增加； 当a≤－1时，f(x)＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；

当－1＜a＜0时，令f(x)＝0,解得x=a1.当x∈(0, 2aa1)时, f(x)＞0； 2ax∈(a1，+)时，f(x)＜0, 故f(x)在（0, 2aa1a1）单调增加，在（，+）2a2a单调减少.

(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少. 所以f(x1)f(x2)4x1x2等价于

f(x1)f(x2)≥4x1－4x2,

即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令g(x)=f(x)+4x,则

g(x)a12ax+4 x

8分

2ax24xa1＝.

x于是

4x24x1(2x1)2＝≤0. g(x)≤

xx从而g(x)在（0，+）单调减少，故

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g(x1) ≤g(x2)，

即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，

故对任意x1,x2∈(0,+) ，f(x1)f(x2)4x1x2. 12分 22.（Ⅰ）DE8 „„5分 （Ⅱ）PD2 „„10分 23.解（I）由42cos(

即4cos4sin，„„„„„„2分 由24)得4cos4sin.

xcos,得，x2y24x4y0即(x2)2(y2)28.

ysin22 所以圆C的直角坐标方程为(x2)(y2)8.„„„„„„5分 （II）直线的参数方程x2t,可化为y2xa，

y4ta 由圆的半径为22知，圆心（2，-2）到直线y2xa的距离为恰好为2. „„„„„„8分

所以6a52，解得a610.„„„„„„10分 24.（Ⅰ）x1或x3 „„5分 （Ⅱ）p1 „„10分

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