新余市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

新余市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________

一、选择题

1． 在等比数列{an}中，已知a1=3，公比q=2，则a2和a8的等比中项为（ A．48

B．±48C．96

D．±96

2姓名__________ 分数__________

）

2． 已知集合Ay|yx5,Bx|yA．1, B．1,3 C．3,5 D．3,5x3,AB（ ）

【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．3． 是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（ A．1+iB．﹣1﹣i

C．﹣1+i

D．1﹣i

），则f（2）的值为（

）

）

4． 已知幂函数y=f（x）的图象过点（，A．

B．﹣

C．2

D．﹣2

5． 设数集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，如果把b﹣a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（ A．

B．

C．

D．

）

）

6． 已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（0＜X＜4）=0.8，则P（X＞4）的值等于（ A．0.1）

B．0.2

C．0.4

D．0.6

7． 已知函数f（x）的定义域为[a，b]，函数y=f（x）的图象如下图所示，则函数f（|x|）的图象是（

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A．B．C．D．

8． 已知a∈R，复数z=（a﹣2i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内对应的点为M，则“a=0”是“点M在第四象限”的（

）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件　

9． 已知集合M={0，1，2}，则下列关系式正确的是（ A．{0}∈MB．{0}M10．若f(x) A．8

C．0∈M

D．0M

）

f(x2),(x2)则f(1)的值为（ ）x2,(x2)1 8C．2

D．

B．

1 2）

C. 11．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是，，，已知8b5c，C2B，则cosC（ A．

7 25B．7 257 25D．

242512．已知集合A{x| lgx0}，B={x| A．(0,3]

B．(1,2]

1x3}，则AB（ ）21C．(1,3] D．[,1]2【命题意图】本题考查对数不等式解法和集合的运算等基础知识，意在考查基本运算能力．

二、填空题

13．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为　　．14．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得 M点的仰角∠m．

MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=　　

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15．在极坐标系中，O是极点，设点A，B的极坐标分别是（2的距离是　　　　　　．16．已知函数f（x）=围是　　．，），（3，），则O点到直线AB

，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范

17．若实数x，y满足x2+y2﹣2x+4y=0，则x﹣2y的最大值为　　．

18．B，C的对边分别为a，b，c，在△ABC中，角A，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=　

，则=　　．三、解答题

19．一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与x的函数关系式，并求出函数的定义域．

20．已知函数f（x）=ax2﹣2lnx．

（Ⅰ）若f（x）在x=e处取得极值，求a的值；

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（Ⅱ）若x∈（0，e]，求f（x）的单调区间；（Ⅲ） 设a＞

，g（x）=﹣5+ln，∃x1，x2∈（0，e]，使得|f（x1）﹣g（x2）|＜9成立，求a的取值范围．

21．甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化•印象莆田”知识竞赛活动，进行针对性训练，近8次的训练成绩如下（单位：分）：甲 83 81 93 79 78 84 88 94乙 87 89 89 77 74 78 88 98

（Ⅰ）依据上述数据，从平均水平和发挥的稳定程度考虑，你认为应派哪位选手参加？并说明理由；（Ⅱ）本次竞赛设置A、B两问题，规定：问题A的得分不低于80分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值100元的奖品，问题B的得分不低于90分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值300元的奖品．答题顺序可自由选择，但答题失败则终止答题．选手答题问题A，B成功与否互不影响，且以训练成绩作为样本，将样本频率视为概率，请问在（I）中被选中的选手应选择何种答题顺序，使获得的奖品价值更高？并说明理由．　

22．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第3，4，5组的频率；

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（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．

23．有编号为A1，A2，…A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：编号直径

A11.51

A21.49

A31.49

A41.51

A51.49

A61.51

A71.47

A81.46

A91.53

A101.47

其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品．

（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个．（ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ⅱ）求这2个零件直径相等的概率．

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24．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点．（1）求证：BD1∥平面A1DE；（2）求证：A1D⊥平面ABD1．

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新余市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：∵在等比数列{an}中，a1=3，公比q=2，∴a2=3×2=6，

=384，

∴a2和a8的等比中项为故选：B．　

2． 【答案】D

=±48．

【解析】Ay|y5,Bx|y3． 【答案】D

【解析】解：由于，（z﹣又z+

=2 ②

由①②解得z=1﹣i故选D．　

4． 【答案】A

x3x|x3,AB3,5，故选D.

=﹣2i ①

）i=2，可得z﹣

【解析】解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（，∴α=，即f（x）=故f（2）=

=

，

，

）代入可得=

α

，

故选：A．　

5． 【答案】C

【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，∴根据题意，M的长度为，N的长度为，当集合M∩N的长度的最小值时，M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是故选：C．

=

．

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6． 【答案】A

【解析】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2P（0＜X＜4）=0.8，

∴P（X＞4）=（1﹣0.8）=0.1，故选A．　

7． 【答案】B

【解析】解：∵y=f（|x|）是偶函数，

∴y=f（|x|）的图象是由y=f（x）把x＞0的图象保留，x＜0部分的图象关于y轴对称而得到的．故选B．

【点评】考查函数图象的对称变换和识图能力，注意区别函数y=f（x）的图象和函数f（|x|）的图象之间的关系，函数y=f（x）的图象和函数|f（x）|的图象之间的关系；体现了数形结合和运动变化的思想，属基础题．　

8． 【答案】A

【解析】解：若a=0，则z=﹣2i（1+i）=2﹣2i，点M在第四象限，是充分条件，

若点M在第四象限，则z=（a+2）+（a﹣2）i，推出﹣2＜a＜2，推不出a=0，不是必要条件；故选：A．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查了复数问题，是一道基础题．　

9． 【答案】C

【解析】解：对于A、B，是两个集合的关系，不能用元素与集合的关系表示，所以不正确；对于C，0是集合中的一个元素，表述正确．

对于D，是元素与集合的关系，错用集合的关系，所以不正确．故选C

【点评】本题考查运算与集合的关系，集合与集合的关系，考查基本知识的应用　

10．【答案】B【解析】

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试题分析：f1f32考点：分段函数。11．【答案】A【解析】

31，故选B。8考

点：正弦定理及二倍角公式.

【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如sin理

2cos21,cos2cos2sin2,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定

abc2R，余弦定理a2b2c22bccosA， 实现边与角的互相转化.sinAsinBsinC12．【答案】D

【解析】由已知得A=x0{}12二、填空题

13．【答案】　12　．

【解析】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，所以15﹣x=12，即所求人数为12人，故答案为：12．　

14．【答案】　150　

【解析】解：在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=100m，所以AC=100在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，由正弦定理得，

，因此AM=100

m．

m．

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在RT△MNA中，AM=100得MN=100

×

=150m．

m，∠MAN=60°，由

故答案为：150．　

15．【答案】　

【解析】解：根据点A，B的极坐标分别是（2）、（﹣，故AB的斜率为﹣

），

，故直线AB的方程为 y﹣

=

=﹣，

（x﹣3），即x+3

y﹣12=0，

，

），（3，

），可得A、B的直角坐标分别是（3，

　．

所以O点到直线AB的距离是故答案为：

．

【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．　

16．【答案】　（0，1）　．

【解析】解：画出函数f（x）的图象，如图示：

令y=k，由图象可以读出：0＜k＜1时，y=k和f（x）有3个交点，即方程f（x）=k有三个不同的实根，故答案为（0，1）．

【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．　

17．【答案】10第 10 页，共 15 页

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【解析】【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x﹣2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣2y过图形上的点A的坐标，即可求解．

【解答】解：方程x2+y2﹣2x+4y=0可化为（x﹣1）2+（y+2）2=5，即圆心为（1，﹣2），半径为的圆，（如图）

设z=x﹣2y，将z看做斜率为的直线z=x﹣2y在y轴上的截距，经平移直线知：当直线z=x﹣2y经过点A（2，﹣4）时，z最大，最大值为：10．故答案为：10．

18．【答案】=　　．

【解析】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2sin2B．

再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，故a，b，c成等差数列．C=

，由a，b，c成等差数列可得c=2b﹣a，

由余弦定理可得 （2b﹣a）2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab．化简可得 5ab=3b2，∴ =．故答案为：．

【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．　

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三、解答题

19．【答案】

【解析】解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm，在Rt△EOF中，∴∴

依题意函数的定义域为{x|0＜x＜10}

，

，

【点评】本题是一个函数模型的应用，这种题目解题的关键是看清题意，根据实际问题选择合适的函数模型，注意题目中写出解析式以后要标出自变量的取值范围．　

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ） f′（x）=2ax﹣=经检验，a=（Ⅱ）

1）当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上是减函数．2）当a＞0时，①若②若

＜e，即≥e，即0＜a≤

，则f（x）在（0，

）上是减函数，在（

，e]上是增函数；

符合题意．

由已知f′（e）=2ae﹣=0，解得a=

．

，则f（x）在[0，e]上是减函数．

综上所述，当a≤当a＞

时，f（x）的减区间是（0，e]，

，增区间是

．

时，f（x）的减区间是

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（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知f（x）的最小值是f（）=1+lna；

易知g（x）在（0，e]上的最大值是g（e）=﹣4﹣lna；注意到（1+lna）﹣（﹣4﹣lna）=5+2lna＞0，故由题设知解得

＜a＜e2．

，e2）

，

故a的取值范围是（　

21．【答案】

【解析】解：（I）记甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩分别为

，

、，方差分别为．…

、．

，

．…因为

，

，所以甲、乙两位选手的平均水平相当，但甲的发挥更稳定，故应派甲参加．…

（II）记事件C表示为“甲回答问题A成功”，事件D表示为“甲回答问题B成功”，则P（C）=，P（D）=，且事件C与事件D相互独立． …

记甲按AB顺序获得奖品价值为ξ，则ξ的可能取值为0，100，400．P（ξ=0）=P（）=，P（ξ=100）=P（即ξ的分布列为：

0ξP100）=

，P（ξ=400）=P（CD）=400．

所以甲按AB顺序获得奖品价值的数学期望

记甲按BA顺序获得奖品价值为η，则η的可能取值为0，300，400．P（η=0）=P（）=，P（η=300）=P（

）=

．…

，P（η=400）=P（DC）=，

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即η的分布列为：

0ηP300400所以甲按BA顺序获得奖品价值的数学期望

因为Eξ＞Eη，所以甲应选择AB的答题顺序，获得的奖品价值更高．…

．…

【点评】本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想．　

22．【答案】

【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3，第4组的频率为0.04×5=0.2，第5组的频率为0.02×5=0.1；（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10；因为第3，4，5组共有60名志愿者，

所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组

=3；第4组

=2；第5组

=1；

应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．

（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6；在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）；

共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽中共有9种，所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为

．

【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．　

23．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有6个．

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设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P（A）=（Ⅱ）（i）一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6．从这6个一等品零件中随机抽取2个，

所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}共有15种．（ii）“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”记为事件BB的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．∴P（B）=

．

=；

【点评】本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．　

24．【答案】

【解析】证明：（1）连结A1D，AD1，A1D∩AD1=O，连结OE，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，ADD1A1是矩形，∴O是AD1的中点，∴OE∥BD1，

∵OE∥BD1，OE⊂平面ABD1，BD1⊄平面ABD1，∴BD1∥平面A1DE．

（2）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点，∴ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1，

∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，∴A1D⊥AB，

又AB∩AD1=A，∴A1D⊥平面ABD1．

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