基于卡尔曼滤波的电能质量分析方法综述_于静文

第34卷 第2期 2010年2月 电 网 技 术 Power System Technology Vol. 34 No. 2 Feb. 2010 文章编号：1000-3673（2010）02-0097-07 中图分类号：TM 714 文献标志码：A 学科代码：470·4051

基于卡尔曼滤波的电能质量分析方法综述

于静文，薛蕙，温渤婴

（中国农业大学 信息与电气工程学院，北京市 海淀区 100083）

A Survey on Kalman Filtering Based Methods for Power Quality Analysis

YU Jing-wen, XUE Hui, WEN Bo-ying

(College of Information and Electrical Engineering, China Agriculture University, Haidian District, Beijing 100083, China)

ABSTRACT: An outline of power quality and its analysis and detection methods is given; then basic principles of three kinds of Kalman filtering, i.e., traditional Kalman filtering, extended Kalman filtering and unscented Kalman filtering, are surveyed and the application of these methods in power quality analysis is summarized; the comparative analysis on advantages and disadvantages of these methods are performed; finally, the existing defects in Kalman filtering are pointed out and the development trend of Kalman filtering is prospected.

KEY WORDS: power quality; Kalman filtering; extended Kalman filtering; unscented Kalman filtering

摘要：首先对电能质量问题及其分析检测方法进行简单介绍；然后主要综述了常规卡尔曼滤波、扩展卡尔曼滤波和无迹卡尔曼滤波这3种卡尔曼滤波的基本原理，并对其在电能质量分析中的应用进行了系统的总结，对比分析了各种方法的利弊；最后对卡尔曼滤波方法现存的问题及今后的发展趋势进行了展望。

关键词：电能质量；卡尔曼滤波；扩展卡尔曼滤波；无迹卡尔曼滤波

能质量的内涵越来越丰富，现有用于电能质量检测的方法很多。离散傅里叶变换(discrete Fourier transform，DFT)和快速傅里叶变换(fast Fourier transform，FFT)已经成为现代频谱分析和谐波分析的基础，一些改进的算法大大提高了FFT方法的计算精度和速度[3-6]。此外还有其他一些常用的方法：最小绝对值(least absolute value，LAV)状态估计[7]、Teager能量算子(Teager energy operator，TEO)[8]技术、小波变换技术[9-10]、遗传算法[11]等，每种方法都存在各自的优缺点。文献[12]简单介绍了几种不同的信号处理方法在检测电能质量扰动时的性能。

卡尔曼滤波(Kalman filtering，KF)适用于平稳和非平稳过程，已成为控制、信号处理与通信等领域最基本、最重要的计算方法和工具之一。但随着科学技术的快速发展，人们对其数值稳定性、实用性和有效性等提出了更高的要求，同时也对其如何改进进行了大量的研究。在电力系统中，卡尔曼滤波主要用于负荷预测[13-15]、介损测量[16]、发电机状态变量估计[17]、电机在线估计[18]、风电场风速 预测[19-20]、电能质量分析[21-22]等。而在电能质量分析中，卡尔曼滤波已广泛应用于频率跟踪、测量谐波分量、闪变、暂降等场合。本文着重从卡尔曼滤波原理、分类及其在电能质量分析中的应用进展进行系统的介绍和分析，并对今后的研究方向进行 展望。

0 引言

20世纪80年代末以来，随着现代敏感电力电子设备的广泛应用以及新型电力负荷的迅速发展，电能质量问题引发的事故在国内外日益增多，电能造成质量已成为电力部门及用户日益关注的问题。电能质量问题的主要原因是电力负荷构成的变化和大量谐波注入电网[2]。根据电能质量扰动频率特征、持续时间、幅值变化等的不同，可将电能质量扰动分为瞬时、短期和长期电压扰动。电能质量这一术语用来描述许多不同类型的电力系统扰动，包括电压骤降(voltage sag)、瞬态过电压(transient overvoltage)、谐波畸变(harmonic distortion)和闪变(flicker)。

随着电网结构和负荷构成的不断变化，现代电

[1]

1 常规卡尔曼滤波

根据经典物理学可知，在没有外部干扰时，一个系统未来的状态可根据目前的状态从已知的运动方程中确定出来。但任何实际的系统总是存在外部干扰，人们对其运动方程的描述不可能很准确。可以认为：任何实际物理系统的行为都由2部分组

98 于静文等：基于卡尔曼滤波的电能质量分析方法综述 Vol. 34 No. 2

测量更新(校正) 计算增益矩阵： TKk=Pk/k−1Hk⋅ T(HkPk/k−1Hk+Rk)−1 成，一部分是根据已知运动方程正确地预测出来，另一部分是均方为零的随机分量[23]。根据这一原理，1960年Kalman和Bucy发现线性高斯模型能通过卡尔曼滤波器得到解析解，据此提出了卡尔曼滤波器

[24]

时间更新(预测)向前递推状态变量：ˆk/k−1=Akxˆk−1 x向前递推误差协方差：Pk/k−1=Ak−1Pk−1⋅T Ak−1+Qk−1，它是滤波理论的重大突破。下面对其进

行简单介绍。

假设线性离散方程为

xk+1=Akxk+wk (1)

zk=Ηkxk+γk (2)

式中：xk∈R为状态向量；zk∈R为量测向量；wk∈Rp为系统噪声向量；γk∈Rm为量测噪声向量；Ak为状态转移矩阵；Ηk为量测转移矩阵。假设系

n

m

更新估计： ˆk=xˆk/k−1+Kk(zk−Hkxˆk/k−1)x更新误差协方差： Pk=(I−ΚkHk)Pk/k−1 ˆ0和P0为初始值x 图1 常规卡尔曼滤波工作原理 Fig. 1 Principle diagram of the traditional Kalman filtering

卡尔曼滤波更适合于单一频率指数幅值的信号和各种高频谐波的检测，不会出现采不到高频谐波和泄漏的情况，在某些采样频率下比FFT、DFT更精确和敏感[27]。1992年Soliman等人提出，当电压信号的频率在数据窗内线性变换时，用10状态常规卡尔曼滤波可以动态追踪电力系统的幅值、相位和频率[28]，试验分别测试了采样速度、数据窗大小、噪声程度和谐波大小不同时的情况。试验表明，用常规卡尔曼滤波进行电能质量在线测量具有较好的性能。文献[29]用3个卡尔曼滤波来实时估计三相电压的均方根(root mean square，RMS)幅值和相角，实现监测和分析电力系统电压暂降和中断的功能，并在数字信号处理器(digital signal processor，DSP)上进行实时试验，证明了其可行性。

统噪声和量测噪声是互不相关的零均值高斯白噪声，方差阵分别为Qk、Rk，笔者的目的是要递推地

定义状态 在每次获得观测量zk之后估计状态量xk。ˆk/k−1=E(xkyk−1)，量的一步预测为x其他类推，则卡

尔曼滤波递推方程如下。

状态1步预测为

ˆk/k−1=Ak−1xˆk−1 (3) x1步预测误差方差阵为

Pk/k−1=Ak−1Pk−1A+Qk−1 (4)

Τ

k−1

状态估计为

ˆk=xˆk/k−1+Kk(zk−Hkxˆk/k−1) (5) x估计误差方差阵为

Pk=(I−KkHk)Pk/k−1 (6) 滤波增益矩阵为

Kk=Pk/k−1HkΤ(HkPk/k−1HkΤ+Rk)−1 (7)

2 扩展卡尔曼滤波

由于在实际中广泛存在的是非线性状态空间模型，使得常规卡尔曼滤波在电能质量分析中的应用存在困难，于是便出现了诸多针对非线性模型的次优方法[30-33]，其中应用最广泛的是扩展卡尔曼滤波(extended Kalman filtering，EKF)。EKF是将非线性系统线性化，与线性卡尔曼滤波公式完全类似。其主要思想是对非线性函数的泰勒展开式进行截断，实现非线性函数的线性化。根据泰勒展开式进行的是1阶还是2阶截取，EKF主要分为1阶EKF(first order EKF)和2阶EKF(second order EKF)。电能质量分析中最常用的是1阶EKF，原理简述如下。

假如非线性系统可表示为

x(t)=f[x(t),t]+w(t) (8) y(t)=h[x(t),t]+v(t) (9) 式中：x(t)为系统状态向量；y(t)为系统量测向量；f和h是关于状态的非线性函数；w和v均是均值为

式中I为单位阵。式(3)∼(7)就是随机线性离散系统

ˆ0和P0及 卡尔曼滤波的基本方程。只要给定初值x

Qk、Rk，根据k时刻的观测值zk就可以递推计算得

ˆk(k=1,2,\")。常规卡尔曼滤 到k时刻的状态估计x波工作流程如图1所示。

卡尔曼滤波器具有下列优点：1）获得未知分布的均值和协方差仅需保存较少的信息量，却能支持大多数的操作过程；2）均值和协方差具有线性传递性；3）均值和协方差估计的集合能用来表征分布的附加特征等

[25-26]

。1991年，Girgis A. A.、

Chang W. B.和Makram E. B.将常规卡尔曼滤波引入电力系统中，用于追踪时变的电压和电流谐波波形。它既不局限于稳态信号，能追踪时变的谐波信号，也不要求整数周期内整数抽样。文献[27]在时变幅值和多次谐波的2个模型上进行实测，结果表明：与最常见的频域测量方法FFT、DFT相比较，

第34卷 第2期 电 网 技 术 99

零的高斯白噪声。式(8)(9)分别是状态方程和量测方程。为了使卡尔曼滤波应用到非线性系统中，非线性系统必须在指定位置进行泰勒展开，实现线性化。推导过程如下：利用泰勒公式，分别在xt−1=

闪变。文献[35]提出一种基于卡尔曼滤波的实时监控电压闪变的算法，建立的模型是具有线性时不变过渡矩阵的系统电压随机状态空间，用EKF来测量带噪声的单相电压。文献[36]提出一种测量50/60 Hz低频信号调制的卡尔曼滤波方法，用于确定信号和随机信号的调制，产生的参数将电压闪变控制在一个可接受的范围内，这种方法运用了扩展卡尔曼滤波模型，经过典型事例的试验证明了其测量电压闪变的准确性和可靠性，并具有预测电压闪变的功能。文献[37]提出一种基于13状态系统的电压暂降的扩展卡尔曼滤波检测和分析方法，实验室仿真和实际电压暂降仿真表明，这种方法效果明显优于IEC电能质量标准的RMS方法。虽然扩展卡尔曼滤波有很好的发展前景，但它在实际应用中存在明显的缺陷：一是线性化有可能产生极不稳定的滤波；二是EKF需要计算Jacobian矩阵的导数，实现起来较为复杂，而对于一些不可微的情况，EKF可能失效。在模型非线性较强以及系统噪声非高斯时，估计的精度严重降低，甚至会造成滤波器发散。

近几年，更多的人针对EKF对谐波的跟踪和检测提出了更好的改进方法，其中最重要的是扩展复卡尔曼滤波器或复数型扩展卡尔曼滤波(extended complex Kalman filter，ECKF)。文献[38]设计了一种用于估计混有噪声的信号频率的ECKF。由于复数滤波器公式需要多传感器来测量三相信号，文献[39]通过重置由输出误差幅度决定的协方差矩阵

xt−1/t−1和xt=xt/t−1处对状态方程和观测方程进行1阶泰勒展开，可得

xt≈f(xt−1/t−1)+

∂f(xt−1)

xt−1/t−1(xt−1−xt−1/t−1)+wt (10) ∂xt−1

∂h(xt)

xt/t−1(xt−xt/t−1)+vt (11) ∂xt

yt≈h(xt/t−1)+假设

∂f(xt−1)At=xt−1/t−1 (12)

∂xt−1∂h(xt)Ht=xt/t−1 (13)

∂xt

∆yt=yt−h(xt/t−1) ∆xt=xt−1−xt−1/t−1

则式(10)(11)可改写成与常规卡尔曼方程相似的形式：

xk+1=Akxk+wk (14) ∆yk=Hk∆xk+vk (15)

1阶EKF递推方程组与常规卡尔曼滤波递推方程组在形式上相同，不同的是：KF中的Ak和Hk被1阶EKF中的Jacobian矩阵At和Ht代替，并且预测平均值和预测的冗余在EKF中也分别计算，其递推方程与卡尔曼滤波相同，工作原理如图2所示。

在电能质量分析中，A、B矩阵的设计略有不同。1991年，Beides H M和Heydt G T提出用扩展卡尔曼滤波获得电力系统谐波的动态状态估计，经过实验室仿真和实测试验证明扩展卡尔曼滤波能动态地追踪谐波内容和时间

[34]

Q，使设计的模型仿真不仅考虑了频率、幅值和相位的测量，也考虑到了实际复杂的网络情况，实验结果表明其性能优于普通的扩展卡尔曼滤波器。文献[40]提出一种PEKF(the proposed variant of the extended Kalman filtering)用于测量电力系统谐波，并在数学上证明了其稳定性，与ADALINE (adaptive linear combiner)、ANF(adaptive notch filter)、MFT(multi frequency tracker)以及现有的常规EKF(ordinary extended Kalman filter，OEKF)和ECKF相比，试验表明其具有更好的性能和更小的计算量，更适合实时实现。Huang在文献[41]中提出一种基于ECKF的鲁棒性算法来提高电力系统的频率估计效果，利用在压缩数据中产生的不良数据来提高频率估计效率，并与ECKF算法进行比较， 证明其提高了系统执行效率。

。1993年，Kamwa

也将EKF引入电力系统电能质量分析中，用于测量

时间更新(预测) 向前递推状态变量： ˆk/k−1=Atxˆk−1 x向前递推误差协方差：Pk/k−1=At−1Pk*−1⋅ AtT−1+Qk−1测量更新(校正) 计算增益矩阵： Kk=Pk/k−1HtT⋅ (HtPk/k−1HtT+Rk)−1 更新估计： ˆk=xˆk/k−1+Kk(zk−Htxˆk/k−1)x更新误差协方差： Pk=(I−ΚkHt)Pk/k−1 ˆ0和P0为初始值 x

图2 扩展卡尔曼滤波工作原理

Fig. 2 Principle diagram of the extended Kalman filtering

3 无迹卡尔曼滤波

为了更精确地拟合非线性函数，Julier提出了

100 于静文等：基于卡尔曼滤波的电能质量分析方法综述 Vol. 34 No. 2

无迹变换(unscented transformation，UT)和无迹卡尔曼滤波(unscented Kalman filtering，UKF)。通过结合无迹变换和无迹卡尔曼滤波来实现非线性系统的状态估计，是近年来用于解决该问题的一种新的热点方法。它通过一组精确选择的Sigma点来匹配随机量的统计特性，UKF 没有涉及非线性映射函数的Jacobian 矩阵计算问题，从而使算法的实现比EKF更为容易, 在保持相当运算量的同时，具有更高的估计精度和更广泛的适用范围。

传统的线性化方法是对非线性映射本身做某种线性近似，然后再应用线性估计的各种方法。而Julier S. J.等人提出的无迹变换则是基于用有限的参数来近似随机量的概率统计特性要比近似任意的非线性映射函数更为容易的思想[42-43]。无迹变换的基本步骤可概括为：关于x的Sigma点集的产生→不确定性的非线性变换与传递→关于y 的统计特性的推算[44]。无迹变换Sigma点集的选取方式不同，会产生很多种变换的演变形式，其目的主要是进一步提高变换的精度，增强算法的稳定性和减小运算量等。在应用UKF时首先要对状态量进行扩展，也就是将模型噪声也作为状态量的一部分，相应地，无迹变换中用到的Sigma点也需要扩展，具体表示如下。扩展状态方程的初始值：

x0=E(x0) (16)

P0=E[(x0−x0)(x0−x0)Τ] (17)

扩展状态量1步预测的协方差阵为

Pk/k−1=∑wic(χi*,k/k−1−xk/k−1)(χi*,k/k−1−xk/k−1) (21)

i=0

2n

然后计算量测空间。量测空间的Sigma点集χk/k−1的创建通过下式实现： χk/k−1=[xk/k−1,xk/k−1+

((n+λ)Pk−1)i,xk/k−1−((n+λ)Pk−1)i] (22)

1步预测的扩展状态Sigma点向量经过观测方程的非线性映射得到：

γk/k−1=h(χk/k−1) (23)

观测量的1步预测为

yk/k−1=∑wimγi,k/k−1 (24)

i=0

2n

m

式中：w0=

λn+λc

；w0=

λn+λ+(n−α2+β)；wim=wic=

1

；β为合并高阶状态分布的先验知识，高

2(n+λ)

斯分布的最佳选择是2。

观测量1步预测的协方差阵为

2n

Pykyk=∑wic(γi,k/k−1−yk/k−1)(γi,k/k−1−yk/k−1)Τ+Rk (25)

i=0

1步预测的互协方差阵为

Pxkyk=∑wic(χi,k/k−1−xk/k−1)(χi,k/k−1−yk/k−1)Τ (26)

i=0

2n

最后得到量测更新过程。更新误差协方差：

式中：x0为模型初始状态变量；x0和P0分别为扩展状态向量的均值和协方差阵。

Sigma点集的创建通过下式实现：

Pk=Pk/k−1−KkPykykKkΤ (27)

计算滤波增益矩阵：

1

Kk=PxkykPy− (28) kyk

χk−1=[xk−1,xk−1+((n+λ)Pk−1)i,xk−1−((n+λ)Pk−1)i](18)

式中：i=0,\",n，n=1,\",2m，m为预测空间维数；

更新估计：

xk=xk/k−1+Kk(yk−yk/k−1) (29)

((n+λ)Pk−1)i表示矩阵(n+λ)Pk−1平方根的第i个行向量或列向量，而矩阵平方根的常见求法是采用

Cholesky分解；Pk−1为k−1点处xk−1的协方差；λ=

UKF在保持相当运算量的同时具有更高的估计精度和更为广泛的适用范围，它在国内的相关研究起步较晚，但发展很快。可查的公开资料主要集中于最近的2∼3年内，而且在电力系统尤其是电能质量方面的研究成果比较少。文献[45]在电能质量幅度和频率估计方面比较了无迹卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波的差异。仿真试验表明，在相等的噪声条件下，无迹卡尔曼滤波与扩展卡尔曼滤波的计算精度相似，但无迹卡尔曼滤波的计算量更小。罗谌持、张明在文献[46]中应用无迹变换，将复数型

α(L+κ)−n，λ决定Sigma取的点数，是由α和κ参

ˆk−1周围的高阶非线性值 数决定的函数，α为控制x

的参数，是介于0.000 1∼ 1之间的一个常数，κ是次要的比例参数，通常设置为0或3−n，以确保Sigma点分布的峭度与高斯分布的峭度一致。Sigma点向量通过状态方程的非线性影射得到：

χk/k−1=f(χk−1) (19) 扩展状态量的1步预测为

2n

2

Sigma点卡尔曼滤波(complex Sigma point Kalman filtering，CSPKF)算法与文献[47]中的扩展复卡尔曼滤波算法进行比较，通过变换，首先将三相电压信号转换成复电压信号，再利用CSPKF算法对发生

xk/k−1=∑wimχi*,k/k−1 (20)

i=0

第34卷 第2期 电 网 技 术 101

谐波畸变和随机噪声干扰的电力系统电压信号的频率进行动态估计和跟踪的过程进行改进。算法仿真表明，CSPKF 算法具有优异的动态跟踪性能，迅速跟踪频率和幅值变化的同时又保持了较低的跟踪误差。

系统的测试，证明了其测量电压暂降的完整性和准确性。Kumar A、Das B和Sharma J在文献[53-]中提出了鲁棒扩展卡尔曼滤波(robust extended

Kalman filtering，REKF)技术来进行动态谐波状态估计，文献[]采用人工神经网络和改进的EKF相结合的方法，人工神经网络用于测量谐波仪的位置和提供虚拟测量(pseudo-measurement)的粗略估计，

4 应用现状

随着卡尔曼滤波的快速发展，除了上述3种形式及其改进算法以外，还出现了其他一些形式，例如集合变换卡尔曼滤波(the ensemble transform

REKF用于进行动态谐波状态估计。文中通过正常负荷情况、负荷突然变化和存在不良数据的

IEEE-14系统测量这3组实验，将REKF与EKF进行比较，证明REKF的性能优于EKF。文献[53]提出的这种状态估计器即使在存在不良数据时也能实时估计电力系统谐波状态，从IEEE-14节点系统仿真结果来看，估计结果与真值相近。

近年来，无迹变换和无迹卡尔曼滤波的研究取得了一些进展。无迹变换主要有：对称Sigma点集无迹变换(symmetric Sigma set UT)[55]、单形Sigma点集无迹变换(simplex Sigma set UT)[56]、变尺度无迹变换(scaled UT)[57]、高阶无迹变换(high order

Kalman filtering，ETKF)[48]也在现代工程应用中发挥了越来越重要的作用。就近十几年的发展而言，卡尔曼滤波在电能质量中的主流发展主要集中于对EKF算法进行改进、UKF的改进算法研究以及与其他方法相结合进行电能质量分析。

方程中一些初始量(如噪声协方差矩阵Q、滤波增益矩阵K等)的选择关系到动态追踪特性。文献

[49]设计了一种自适应卡尔曼滤波，该方法的状态模型是线性的，频率作为状态变量与谐波母线电压。它利用统计规则在2个基本噪声协方差矩阵

UT)[58]等。可以根据具体的场合提出特定分布的无迹变换的衍变形式，当然，通常只能根据特定的场合达到其中的部分目标。也可引入代价函数或惩罚函数[15,46,48]来尽可能满足某种条件而不要求一定能够达到。考虑到提高算法的数值稳定性和减小算法运算量，Merwe和Wan借用平方根滤波(square-root

Q模式间进行切换，取代了直接优化的Q模式来进行动态谐波状态估计。采用这种方法可以重置卡尔曼滤波增益K，从而更好地在暂态过程中实现快速追踪，并在新西兰220 kV电网上进行仿真，证明了方法的可行性。文献[50]设计了一种卡尔曼滤波的自校正方法来测量谐波，并与噪声协方差矩阵Q为定值零的方法进行比较，证明了其追踪信号波动的优越性。

除了单独采用卡尔曼滤波进行电能质量分析外，也有人提出将其与其他方法相结合来检测电能质量扰动。文献[51]提出一种新的检测、定位、分类短期扰动的方法，采用相位修正小波变换即S变换和扩展卡尔曼滤波相结合。S变换有很好的时频特性，提供适合于电力系统自动识别的检测、定位和视觉识别，而EKF提供频繁出现的频率短期扰动的自动分类和测量。实验证明，结合ST和EKF可以完整地分类和测量电能质量短期扰动，在有噪声的情况下具有很高的精度。文献[52]采用小波与卡尔曼滤波相结合的方法来自动检测和分析电压暂降。小波用来检测电压波形和更好地估算电压骤降的时间相关的参数，而卡尔曼滤波在这一过程中用来估计电压幅值和相位角，这种方法可用来处理实时系统，并且已通过计算机仿真和实验对低压配电

filtering)，提出应用QR分解和Cholesky分解更新的方法直接非线性传递更新协方差阵的平方根[59]，命名为平方根UKF(square-root UKF，SR-UKF)。

5 结论

卡尔曼滤波是由卡尔曼在20世纪60年代提出的基于贝叶斯滤波原理，用一个状态方程和一个量测方程来完整地描述线性动态过程的方法。扩展卡尔曼滤波算法中传统的解决方法是借助Taylor 级数展开，其后也有很多改进算法。而无迹变换和无迹卡尔曼滤波是通过一组精确选择的Sigma点来匹配随机量的统计特性，易于实现，目前虽取得了一些理论成果，但工程应用较少。因此，卡尔曼滤波的理论研究和分析方法仍有发展空间。

UKF尚存在如下一些亟待解决或突破的问题, 这些问题或许可作为今后无迹变换和无迹卡尔曼滤波在电能质量分析中应用的研究方向：

1）算法的运算量和估算精度的平衡。影响算

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法运算量的一个重要因素是Sigma点集中Sigma点的数目，而估算精度是UT和UKF的主要优势，如何平衡最合适的Sigma点数目很重要。

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2）算法中参数的智能选取问题。UT中涉及到的很多智能参数很有灵活性，其选取影响到程序的稳定性，甚至导致程序崩溃。因此，智能参数的选取显得至关重要。

3）算法的实际应用问题。针对电能质量中信号处理的一些特点，可以针对UT和UKF进行一些改进，而如何改进也显得十分重要。

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收稿日期：2009-10-29。 作者简介：

于静文(1981—)，女，博士研究生，研究方向为信号处理及其在电能质量分析中的应用，E-mail：yujingwen12@yahoo.com.cn；

薛蕙(1973—)，女，副教授，研究方向为电能质量分析；

温渤婴(1958—)，男，教授，博士生导师，研究方向为电力系统自动化、继电保护和电能质量。

于静文

（责任编辑 沈杰）