极坐标方程及其应用

① 求圆C的极坐标方程；

ππ

②直线l的极坐标方程是2ρsinθ＋3＝33，射线OM：θ＝3与圆C的交点

为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

【审题立意】本题考查极坐标方程，属于中档题． 【技能突破】求解极坐标方程的题应注意两点：

(1)曲线的极坐标方程化为直角坐标方程时，如果不容易直接转化，要先变形．

(2)已知两曲线的极坐标方程求交点时，可首先化为直角坐标方程，求出直角坐标交点，再化为极坐标．

【解题思路】把直角坐标方程化为极坐标，注意化简，联立求交点坐标． 【参考答案】①圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．

ρ＝2cosθ

② 设P(ρ1，θ1)，则由π

θ＝3

π

，解得ρ1＝1，θ1＝3．

ρsinθ＋3cosθ＝33

设Q(ρ2，θ2)，则由π

θ＝3所以|PQ|＝2． 【变式训练】

π

，解得ρ2＝3，θ2＝3．

(2015·课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1，C2的极坐标方程；

π

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

解析: (1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2， C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0．

π

(2)将θ＝4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0， 得ρ2－32ρ＋4＝0，

解得ρ1＝22，ρ2＝2．故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2．

1

由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为2．

考点二 极坐标与参数方程

例题1 (2015·陕西高考)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1x＝3＋2t，3y＝2t

(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙

C的极坐标方程为ρ＝23sinθ．

(1)写出⊙C的直角坐标方程；

(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标． 【审题立意】本题考查极坐标与参数方程，属于中档题． 【技能突破】参数方程化为普通方程消去参数的方法

(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．

(2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．

(3)常见消参数的关系式：

1①t·t＝1；

11②t＋t2－t－t2＝4； 

2

2t21－t2③1＋t2＋2＝1． 1＋t

【参考答案】(1)由ρ＝23sinθ，得ρ2＝23ρsinθ， 从而有x2＋y2＝23y，所以x2＋(y－3)2＝3． 13

(2)设P3＋t，t，又C(0，3)，

22则|PC|＝

13

3＋2t2＋t－32＝t2＋12， 2

故当t＝0时，|PC|取得最小值， 此时，P点的直角坐标为(3，0)．

3

x＝5＋2t，

例题2(2015·湖南高考)已知直线l：

1

y＝3＋2t

(t为参数)．以坐标原点

为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．

【审题立意】本题考查极坐标与参数方程，属于中档题．

【技能突破】对于同时含有极坐标方程和参数方程的题目，可先同时将它们转化为直角坐标方程求解．

【参考答案】(1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ．①

将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0．②

3

x＝5＋t，2(2)将

1

y＝3＋2t

代入②，得t2＋53t＋18＝0，设这个方程的两个实根

分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18．

【变式训练】

1．(2015·江西八校联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2x＝3－2t2y＝5＋2t

(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，

圆C的方程为ρ＝25sin θ．

(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

(2)若点P坐标(3，5)，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值． 2

x＝3－2t

解析：(1)由

2

y＝5＋2t

得直线l的普通方程为x＋y－3－5＝0．又由

ρ＝25sinθ得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－25y＝0，即x2＋(y－5)2＝5．

(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程， 22

得3－t2＋t2＝5，即t2－32t＋4＝0．

22

由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实数根， t1＋t2＝32

所以，又直线l过点P(3，5)，A、B两点对应的参数分别为

t·t＝412t1，t2，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32．

x＝3＋2cosθ

2．已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参

y＝－4＋2sinθ数)．

①以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程； ②已知A(－2,0)，B(0,2)，圆C上任意一点M(x，y)，求△ABM面积的最大值．

x＝3＋2cosθ

解析：①圆C的参数方程为(θ为参数)，

y＝－4＋2sinθ所以普通方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝4．

∴圆C的极坐标方程：ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0． ②点M(x，y)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为

|2cosθ－2sinθ＋9|

，

2

1π

△ABM的面积S＝2×|AB|×d＝|2cosθ－2sinθ＋9|＝|22sin4－θ＋9|，

d＝

所以△ABM面积的最大值为9＋22．