福建省师大附中2016-2017学年高一期中数学试卷(解析版).doc

2016-2017学年福建省师大附中高一（上）期中数学试卷（实

验班）

参与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．下列大小关系正确的是（ ） A．0.43＜30.4＜log40.3 C．log40.3＜0.43＜30.4

B．0.43＜log40.3＜30.4 D．log40.3＜30.4＜0.43

【考点】指数函数单调性的应用．

【分析】结合函数y=0.4，y=3，y=log4x的单调性判断各函数值与0和1的大小，从而比较大小．

300.40

【解答】解：∵0＜0.4＜0.4=1，3＞3=1，log40.3＜log0.41=0 30.4

∴log40.3＜0.4＜3

x

x

故选C

2．设x0是函数f（x）=lnx+x﹣4的零点，则x0所在的区间为（ ） A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，3）

D．（3，4）

【考点】函数零点的判定定理．

【分析】由函数的解析式可得 f（2）＜0，f（3）＞0，再根据函数的零点的判定定理求得函数的零点x0所在的区间．

【解答】解：∵x0是函数f（x）=1nx+x﹣4的零点，f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3﹣1＞0，∴函数的零点x0所在的区间为（2，3）， 故选C．

3．设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（ ）

A． B． C．

D．

【考点】函数的概念及其构成要素．

【分析】有函数的定义，集合M={x|0≤x≤2}中的每一个x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应，结合图象得出结论．

【解答】解：从集合M到集合能构成函数关系时，对于集合M={x|0≤x≤2}中的每一个x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应． 图象A不满足条件，因为当1＜x≤2时，N中没有y值与之对应． 图象B不满足条件，因为当x=2时，N中没有y值与之对应．

图象C不满足条件，因为对于集合M={x|0＜x≤2}中的每一个x值，在集合N中有2个y值与之对应，不满足函数的定义．

只有D中的图象满足对于集合M={x|0≤x≤2}中的每一个x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应． 故选D．

4．把函数f（x）=log3x图象关于x轴对称后，再向左平移2个单位，得到新函数g（x）的解析式为（ ） A．g（x）=log3（﹣x+2） （﹣x﹣2）

B．g（x）=﹣log3（x﹣2）C．g（x）=log3

D．g（x）=﹣log3（x+2）

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】把函数f（x）=log3x图象关于x轴对称后，得到函数的表达式与原函数相差一个符号，即当x取相同值时，对应的函数值是相反数，据此求解即可． 【解答】解：∵把函数f（x）=log3x图象关于x轴对称后，得到y=log

x，

再向左平移2个单位，得到的函数解析式为g（x）=log故选：D．

（x+2）=﹣log3（x+2）．

5．设函数f（x）=已知f（a）＞1，则实数a的取值范围是（ ）

A．（﹣2，1） ∞，﹣1）∪（0，+∞）

B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（1，+∞）D．（﹣

【考点】分段函数的应用．

【分析】利用分段函数列出不等式真假求解即可．

【解答】解：函数f（x）=已知f（a）＞1，

可得当a＞0时，a＞1，解得a＞1； 当a≤0时，解得a＜﹣2．

综上a∈（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）． 故选：B．

6．现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t的函数关系的是（ ）

，

2

A． B． C．

D．

【考点】函数的图象．

【分析】考查容器的形状来确定其高度的变化规律，选择图形即可． 【解答】解：此容器从下往上口径先由小、变大，再由大变小，

故匀速注入液体其高度增加先是越来越慢，再慢慢变快， C图形变化规律体现了这一变化特征； 故选C．

7．已知定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，2）内为减函数，且f（x+2）为偶函数，则 f（﹣1），f（4），f（

）的大小为（ ）

）

B．f（﹣1）＜f（4）＜f（）＜f（4）

）C．f（

）

A．f（4）＜f（﹣1）＜f（＜f（4）＜f（﹣1）

D．f（﹣1）＜f（

【考点】奇偶性与单调性的综合．

【分析】f（x+2）为偶函数，可得f（x+2）=f（﹣x+2），所以f（4）=f（0），f（），利用定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，2）内为减函数，即可得出结论． 【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，∴f（x+2）=f（﹣x+2）， ∴f（4）=f（0），f（∵0

）=f（﹣），

）=f（﹣

，定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，2）内为减函数，

），

∴f（4）＜f（﹣1）＜f（故选A．

8．函数f（x）=x•e|x|的大致图象为（ ）

A． B． C． D．

【考点】函数的图象．

x

【分析】判断函数为奇函数，排除B，C；又由于当x＞0时，e的增加速度快，问题得以解

决．

|x||x|

【解答】解：因为f（﹣x）=﹣x•e﹣=﹣x•e=﹣f（x），

所以函数判断函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，C；

又由于当x＞0时，e的增加速度越来越快，故排除D； 故选：A．

9．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不得超过0.1%．若初始含杂质1%，每过滤一次可使杂质含量减少．为了达到市场要求，至少过滤的次数为（ ） A．5

B．6

C．7

D．8

x

【考点】等比数列的通项公式． 【分析】设过滤n次，则要求．

【解答】解：设过滤n次，则

（） n≤

，

（） n≤

，由此能求出至少要过滤6次才能达到市场

即 （） n≤，∴n≥=≈5.68．

又∵n∈N，∴n≥6．

即至少要过滤6次才能达到市场要求． 故选：B．

10．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（ ） A．

B．

C．（3，+∞）

D．[3，+∞）

【考点】对数的运算性质；函数的值域；函数的单调性及单调区间；基本不等式． 【分析】由题意f（a）=f（b），求出ab的关系，然后利用“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数， 确定a+2b的取值范围．

【解答】解：因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令1）上为减函数，

所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）． 故选C．

，所以a+2b=

，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，

11．函数g（x）=log2x（x＞）关于x的方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0恰有三个不同的实数解，则实数m的取值范围为（ ） A．（﹣∞，4﹣2C．（﹣，﹣）

）∪（4+2

，+∞）

B．（4﹣2

，4+2

）

D．（﹣，﹣]

【考点】根的存在性及根的个数判断．

|2+m|g|+2m+3=0在x＞内有三个不同实数解可化为t2+mt+2m+3=0【分析】由题意|g（x）（x）有两个根，分别在（0，1），[1，+∞）上或在（0，1），{0}上；从而分别讨论即可． 【解答】∵g（x）=log2x在x＞上单调递增， ∴g（x）＞﹣1，令t=|g（x）|

2

故|g（x）|+m|g（x）|+2m+3=0在x＞内有三个不同实数解可化为

t2+mt+2m+3=0有两个根，分别在（0，1），[1，+∞）上或在（0，1），{0}上； 当若在（0，1），{0}上，则2m+3=0，则m=﹣； 故t=0或t=＞1， 不成立；

若在（0，1），{1}上， 则1+m+2m+3=0， 故m=﹣；

2

故t+mt+2m+3=0的解为t=或t=1，成立；

若在（0，1），（1，+∞）上， 则△=m2﹣4（2m+3）＞0， f（1）=2m+3+m+1＜0； f（0）=2m+3＞0， 解得﹣＜m＜﹣； 故答案为：（﹣，﹣]； 故答案为D

12．用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义

若

2

A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x+ax+2）=0}，且A*B=1，设实数a的所有可能取值构成集合

S，则C（S）=（ ） A．4

B．1

C．2

D．3

【考点】集合的确定性、互异性、无序性．

22【分析】根据A={1，2}，B={x|（x+ax）（x+ax+2）=0}，且A*B=1，可知集合B要么是2

单元素集合，要么是三元素集合，然后对方程|x+ax+1|=1的根的个数进行讨论，即可求得a

的所有可能值，进而可求C（S）．

22【解答】解：由于（x+ax）（x+ax+2）=0等价于

x2+ax=0 ①或x2+ax+2=0 ②， 又由A={1，2}，且A*B=1，

∴集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，

1°集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根， ∴a=0；

2°集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根， 即解得a=±2

，

，

，

综上所述a=0或a=±2∴C（S）=3． 故答案为 D．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．已知2a=3，3b=7，则log756= 1+【考点】对数的运算性质．

．（结果用a，b表示）

ab

【分析】2=3，3=7，可得a=log23=

，b=log37=，ab==．化简即可得

出．

ab

【解答】解：∵2=3，3=7，

∴a=log23=，b=log37=，

∴ab==．

则log756=log7（7×8）=1+3log72=1+故答案为：1+

14．已知函数f（x）的反函数是y=【考点】反函数． 【分析】由y=

．

．

2

，则函数f（2x﹣x）的减区间为 （0，1] ．

，解得x=﹣log3y，把x与y互换可得y=﹣log3x．可得f（x）=﹣log3x．于

，利用二次函数与复合函数的单调性即可得出．

，解得x=﹣log3y，把x与y互换可得y=﹣log3x．

，

2

是f（2x﹣x）=﹣

【解答】解：由y=

∵函数f（x）的反函数是y=∴f（x）=﹣log3x．

2

∴f（2x﹣x）=﹣

2

由2x﹣x＞0，解得0＜x＜2．

=﹣，

∴由复合函数的单调性知函数函数f（2x﹣x）的减区间为（0，1]． 故答案为：（0，1]．

15．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈（﹣1，0）时，

，则f（log220）= ﹣1 ．

2

【考点】函数的周期性；函数的值．

【分析】根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f（log220）的值．

【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）， ∴函数f（x）为奇函数 又∵f（x﹣2）=f（x+2）

∴函数f（x）为周期为4是周期函数 又∵log232＞log220＞log216 ∴4＜log220＜5

∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）

x

又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2+，

∴f（log2）=1 故f（log220）=﹣1 故答案为：﹣1

16．函数f（x）是（0，+∞）上的单调增函数，当n∈N+时，f（n）∈N+，且f[f（n）]=3n，则f（1）的值为 2 ． 【考点】函数单调性的性质．

【分析】结合题设条件，利用列举法一一验证，能够求出f（1）的值．

++

【解答】解：函数f（x）是（0，+∞）上的单调增函数，当n∈N时，f（n）∈N，且f[f

（n）]=3n，

若f（1）=1，则f（f（1））=f（1）=1，与条件f（f（n））=3n矛盾，故不成立；

若f（1）=3，则f（f（1））=f（3）=3，进而f（f（3））=f（3）=9，与前式矛盾，故不成立；若f（1）=n（n＞3），则f（f（1））=f（n）=3，与f（x）单调递增矛盾． 所以只剩f（1）=2．验证之： f（f（1））=f（2）=3， 进而f（f（2））=f（3）=6，

进而f（f（3））=f（6）=9，满足条件， 故答案为：2．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．设全集U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|2a＜x＜a+3} （Ⅰ）当a=1时，求（CUA）∩B；

（Ⅱ）若（CUA）∩B=B，求实数a的取值范围． 【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】（Ⅰ）求得a=1时集合B，CUA，再由交集的定义计算即可得到所求； （Ⅱ）若（CUA）∩B=B，则B⊆CUA，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求． 【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，B=（2，4）， CUA=（﹣∞，1）∪（3，+∞）， （CUA）∩B=（3，4）； （Ⅱ）若（CUA）∩B=B， 则B⊆CUA， 可得2a≥a+3或

或

，

则a≥3或a≤﹣2或≤a＜3， 可得a≤﹣2或a≥．

18．已知函数f（x）为R上的偶函数．当x≤0时，f（x）=4﹣x﹣a•2﹣x（a＞0） （Ⅰ）求函数f（x）在（0，+∞）上的解析式； （Ⅱ）求函数f（x）在（0，+∞）上的最小值．

【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质；二次函数的性质． 【分析】（Ⅰ）根据偶函数的性质秒，即可求出答案，

x2

（Ⅱ）令t=2，则y=t﹣at，t＞1，根据二次函数的性质即可求出．

【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0，而f（x）为R上偶函数

xx

∴f（x）=f（﹣x）=4﹣a•2，

∴当x＞0，f（x）=4﹣a•2，

x2

（Ⅱ）令t=2，则y=t﹣at，t＞1

2

若0≤≤1时，ymin=1﹣a；若＞1，ymin=（）﹣a•=﹣

xx

综上f（x）min=

19．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件： ①对任意正数a，b，都有f（a）+f（b）=f（ab）； ②当x＞1时，f（x）＜0； ③f（2）=﹣1．

（Ⅰ）求f（1）的值域；

（Ⅱ）试用单调性定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数； （Ⅲ）求满足f（3x﹣1）＞2的x的取值集合． 【考点】抽象函数及其应用．

【分析】（I）令a=b=1即可得出关于f（1）的方程，求出f（1）； （II）设0＜x1＜x2，则由函数性质①可得出f（x2）﹣f（x1）=f（

），由函数性质②得出

f（）＜0，故而有f（x2）＜f（x1）；

（III）根据函数性质可得f（）=2，利用函数的单调性和定义域列出不等式组解出x． 【解答】解：（Ⅰ）令a=b=1得f（1）+f（1）=f（1），∴f（1）=0． （Ⅱ）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=f（

），

∵＞1，∴f（）＜0，

∴f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）． ∴f（x）在（0，+∞）上是减函数

（Ⅲ）∵f（2）=﹣1，∴f（4）=2f（2）=﹣2， 又f（4）+f（）=f（1）=0， ∴f（）=﹣f（4）=2，

∵f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，

∴，解得．

故不等式的解集为{x|

}．

2

20．已知函数f（x）=log2（1﹣x）+log2（1+x），g（x）=﹣x．

（Ⅰ）求函数f（x）的值域；

（Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x），求证：函数h（x）在（0，1）上有唯一零点． 【考点】函数零点的判定定理．

22【分析】（I）求出f（x）的定义域，根据对数运算性质得出f（x）=log2（1﹣x），令1﹣x=t，

则f（x）=log2t，求出t的范围，利用对数函数的单调性求出f（x）的值域；

（II）先证明g（x）为（0，1）上的单调函数，再利用零点的存在性定理进行判断即可． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）有意义得∴f（x）的定义域为（﹣1，1）．

2∵f（x）=log2（1﹣x）+log2（1+x）=log2（1﹣x），

，解得﹣1＜x＜1，

令t=1﹣x，则f（x）=m（t）=log2t，t∈（0，1]． ∵m（t）=log2t在（0，1]上是增函数，m（1）=0， ∴f（x）的值域为（﹣∞，0]．

22（Ⅱ）h（x）=log2（1﹣x）+﹣x，

2

先证明h（x）在（0，1）上为减函数，证明如下： 设x1，x2为（0，1）上的任意两个数，且x1＜x2，

2222

则h（x1）﹣h（x2）=log2（1﹣x1）﹣log2（1﹣x2）+x2﹣x1

=log2

+（x22﹣x12），

∵0＜x1＜x2＜1，

2222

∴1﹣x1＞1﹣x2＞0，x2＞x1，

∴

＞1，x2﹣x1＞0，

22

∴log2

+（x22﹣x12）＞0，即h（x1）＞h（x2），

∴h（x）在（0，1）上为减函数， 又h（0）=log21+﹣0=＞0， h（

）=log2+﹣=﹣1＜0，

）上有唯一零点，即h（x）在（0，1）上有唯一零点．

∴h（x）在（0，

21．为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度y1与时间t满足关系式：y1=4﹣at（0＜a＜，a为常数），若使用口服方式给药，则药物

在白鼠血液内的浓度y2与时间t满足关系式：y2=，现对小白鼠同时进

行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．

（1）若a=1，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？ （2）若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数a的取值范围． 【考点】分段函数的应用；基本不等式在最值问题中的应用．

【分析】（1）建立血液中药物的浓度与时间t的函数关系是解决本题的关键，要根据得出的函数关系式采取合适的办法解决该浓度的最值问题；二次函数要注意对称轴和区间的关系、对勾函数要注意基本不等式的运用；

（2）分段求解关于实数a的范围问题，注意函数值域思想的应用．

【解答】解：（1）药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为：当a=1时， y=y1+y2=

；

2

﹣）+

①当0＜t＜1时，y=﹣t+②当1≤t≤3时，∵

=

．

+4=﹣（

，所以ymax=f（）=

（当t=

时取到），因为

；

，故ymax=f（

）

，所以ymax=7﹣2

（2）由题意y=

①⇒⇒，又0＜t＜1，得出a≤1；

，令

，则

②

⇒⇒，

由于1≤t≤3得到

所以

，综上得到以0＜．

2

22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，0），且不等式2x≤f（x）≤x+2

对一切实数x都成立． （1）求函数f（x）的解析式；

（2）若对一切实数x∈[﹣1，1]，不等式f（x+t）＜f（）恒成立，求实数t的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．

【分析】（1）通过图象过一点得到a、b、c一关系式，观察发现1≤f（1）≤1，又可的一关

2

系式，再将b、c都有a表示．不等式x≤f（x）≤x+2对一切实数x都成立可转化成两个

一元二次不等式恒成立，即可解得．

2222

（2）由题意可得3x+（8+8t）x+4t+16t＜0 恒成立．设g（x）=3x+（8+8t）x+4t+16t，

则，由此求得t的范围．

2

【解答】解：（1）根据二次函数f（x）=ax+bx+c的图象经过点（﹣2，0），可得4a﹣2b+c=0

①，

2

∵不等式2x≤f（x）≤x+2对一切实数x都成立，∴当x=2时也成立，即4≤4a+2b+c≤4，

∴4a+2b+c=4 ②．

222

由①②求得 b=1，4a+c=2，∴f（x）=ax+x+2﹣4a，∴2x≤ax+x+2﹣4a≤x+2，

即恒成立，∴．

求得a=，∴c=2﹣4a=1，

2

∴f（x）=x+x+1．

（2）∵对一切实数x∈[﹣1，1]，不等式f（x+t）＜f（）恒成立，

22

化简可得 3x+（8+8t）x+4t+16t＜0 恒成立．

22

设g（x）=3x+（8+8t）x+4t+16t，则

，即，即

，

即，∴﹣＜t＜﹣．

2016年12月15日