上海中小学课外辅导专家
泽仕学堂学科教师辅导讲义
学员姓名：丁鹏程 辅导科目：数学 年级：初二 学科教师：张先安 授课日期及时段 课 题 平面向量复习 重点、难点、考点 实数与向量积，向量的线性运算。 学习目标 掌握向量的基本概念；掌握向量加法与减法的定义、运算法则和几何意义；理解掌握实数与向量积的意义和运算律；理解和掌握平面向量的线性运算的意义，掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示的方法。 教学内容 一、概念梳理 （一）向量的基本概念 1、什么叫向量？ 2、什么是向量方向与模？ 3、什么是相反向量？什么是平行向量？ （二）向量的加法 1、 向量的加法定义 向量加法的定义：如图3，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A， 作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b， 即a+b=AB+BC=AC。 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2、 向量加法的法则： （1）向量加法的三角形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。零位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。 （2）向量加法的平行四边形法则（平行四边形法则） 如图4，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形， 则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。 3、 向量a，b的加法也满足交换律和结合律： ①对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a。 泽仕学堂教务处
1
上海中小学课外辅导专家 ②两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段。 ③当a，b不共线时，|a+b|＜|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边)； 当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|； 当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。其中当向量a的长度大于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|；当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|。 一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|。 ④如图5，作AB=a，AD=b，以AB.AD为邻边作ABCD，则BC=b，DC=a。 因为AC=AB+AD=a+b，AC=AD+DC=b+a，所以a+b=b+a 。 如图6，因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c， AD=AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c)， 所以(a+b)+c=a+(b+c)。 综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。 特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法。 （三）用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回归物理问题，从而解决物理问题。 （四）向量的减法 由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量。于是-(-a)=a。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。 所以，如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。 1、平行四边形法则 图1 如图1，设向量AB=b，AC=a，则AD=-b，由向量减法的定义，知AE=a+(-b)=a-b。又b+BC=a，所以BC=a-b。 由此，我们得到a-b的作图方法。 图2 泽仕学堂教务处
2
上海中小学课外辅导专家 2、三角形法则 如图2，已知a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b，即a-b可以表示为从b的终点 指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义。 （1）定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。 与数x的相反数是-x类似，我们规定，与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a 。 （2）向量减法的定义。我们定义a-b=a+(-b)， 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。 规定：零向量的相反向量是零向量。 (3)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现。 （五）实数与向量相乘 我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|=|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反。 由(1)可知，λ=0时，λa=0。 根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律。 实数与向量的积的运算律： 设λ、μ为实数，那么 (1)λ(μa)=(λμ)a； (2)(λ+μ)a=λa+μ； (3)λ(a+b)=λa+λb. 特别地，我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb。 向量共线的等价条件是：如果a(a≠0)与b共线，那么有且只有一个实数λ，使b=λa。共线向量可能有以下几种情况： (1)有一个为零向量； (2)两个都为零向量； (3)同向且模相等； (4)同向且模不等； (5)反向且模相等； (6)反向且模不等。 数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|²|a|确定。它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小。向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形。 (六) 向量的线性运算 1、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量a、b，以及任意实数λ、1、2，恒有λ(1a±2b)=λ1a±λ2b。 2、一般来说，如果a、b是两个不平行的向量，c是平面内的一个向量，那么c可以用a、b表示，并且通常将其表达式整理成c=xa＋yb的形式，其中x、y是实数。 3、平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解。（即，可以作出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量。 泽仕学堂教务处
3
上海中小学课外辅导专家 二、应用拓展 例1 化简： (1)BC+AB (2)DB+CD+BC (3)AB+DF+CD+BC+FA 例2 若AC=a+b，DB=a-b ①当a、b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？ ②当a、b满足什么条件时，|a+b|=|a-b|？ ③当a、b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？ ④a+b与a-b可能是相等向量吗？ 例3 已知：平行四边形ABCD，点M，N分别是边DC,BC的中点，射线AM与BC相交于点E。设：AB=a，AD =b， 分别求向量AM，AN，AE关于a，b的分解式。 例4 在三角形ABC中，已知AB=a，BC=b，G是重心， 请写出AG关于a，b的分解式。 例5 已知：在任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点． 求证：EF1(ABBC) 2 BDGEABEDMCNAC泽仕学堂教务处 4
上海中小学课外辅导专家 三、巩固练习 1、已知正方形ABCD的边长为1，AB=a，AC=c，BC=b，则|a+b+c|为( )。 A.0 B.3 C.2 D.22 2、设a=(AB+CD)+(BC+DA)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的为( )。 ①a∥b； ②a+b=a； ③a+b=b； ④|a+b|＜|a|+|b|； ⑤|a+b|=|a|+|b|。 A.①② B.①③ C.①③⑤ D.③④⑤ 3、下列等式中，正确的个数是( )。 ①a+b=b+a ②a-b=b ③0-a=-a ④-(-a)=a ⑤a+(-a)=0 A.5 B.4 C.3 D.2 4、如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点， 则AF-DB等于( )。 A.FD B.FC C.FE D.BE 5、下列式子中不能化简为AD的是( )。 A.(AB+CD)+BC B.(AD+MB)+(BC+CM) C.MBADBM D.OC-OA+CD 6、已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内一点，若OA+OB+OC=0，则O是△ABC的( )。 A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心 117、3[2(2a+8b)-(4a-2b)]等于( )。 A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b 8、设两非零向量e1、e2不共线，且ke1+e2与e1+ke2共线，则k的值为( )。 A.1 B.-1 C.±1 D.0 9、若向量方2x-3(x-2a)=0，则向量x等于( )。 6A.6a B.-6a C.6a D.- a 5510、设向量a，b都不是零向量： (1)若向量a与b同向，则a+b与a的方向_________，且|a+b|_________|a|+|b|； (2)若向量a与b反向，且|a|＞|b|，则a+b与a的方向__________，且|a+b|_________|a|-|b|。 泽仕学堂教务处 5
上海中小学课外辅导专家 11、如图所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，设AB=a，AD=b，AA1=c，则AC1=__ __。(用a 、b 、c表示) 112、在△ABC，AE=5AB，EF∥BC，EF交AC于F，设AB=a，AC=b，则BF用a、b表示的形式BF=_____。 13、在△ABC，M、N、P分别是AB、BC 、CA边上的靠近A、B 、C的三等分点，O是△ABC平面上的任意一点，若11OA+OBOC=3e1-2e2，则OMONOP=________。 14、某人在静水中游泳，速度为43km/h，如果他径直游向对岸，水流速度为4 km/h，则他实际以多大的速度沿何方向游? AA15、在中心为O的正八边形A1A2„A8中，a0=A8A1，ai=ii1(i=1，2，„，7)，bj=OAj(j=1，2，„，8)，试化简a2+a5+b2+b5+b7 16、已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，AD⊥BC于D，求证：|AB|=|DB+DA|+|DC+DA| 17、已知两向量a和b，求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a的方向与b的方向垂直。 18、已知△ABC的重心为G，O 泽仕学堂教务处
6
1为坐标原点，OA=a，OB=b，OC=c，求证：OG=3(a+b+c) 222
上海中小学课外辅导专家
三、本次课后作业： 四、学生对于本次课的评价： ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字： 五、教师评定： 1、学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 2、学生本次上课情况评价：○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
主任签字：
泽仕学堂教务处
泽仕学堂教务处
7
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容