周末考试

惠东高级中学2014-2015学年度上学期高三年级

第二次周末考试 文科数学试题

命题人：刘整东 时间：2014.11.23

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．在等差数列an中，a13a3a1510，则a5的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】

试题分析：在等差数列

an中，a13a3a110所以5，

a54d3(a52d)a510d5a510，所以a52.

考点：等差数列的性质

*

2．已知数列{an}，若点{n，an}（n∈N）在直线y＋2＝k（x﹣5）上，则数列{an}的前9项和S9＝（ ）

A．18 B．﹣45 C．22 D．﹣18 【答案】D 【解析】

试题分析：由已知，an＋2＝k（n－5），即an＝kn－5k－2， 注意到an＋1－an＝k（定值），故{an}为等差数列，且a5＝－2， 故S9＝9a5＝－18

考点：等差数列通项公式，前n项和

23．设{an}为公比q1的等比数列，若a2011和a2012是方程4x8x30的两根，

则a2013a2014（ ）

A．25 B．18 C．10 D．9 【答案】B 【解析】

2试题分析：因为{an}为公比q1的等比数列，a2011和a2012是方程4x8x30的

两根，则

a201112，

a201232，所以公比q3，

13a2013a2014q2(a2011a2012)9()18．

22考点：等比数列及根与系数的关系

4．某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（ ）

ˆ5x10 B．yˆ5x10 A．yˆ5x10 D．yˆ5x10 C．y【答案】D 【解析】

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试题分析：因为销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，所以其线性回归方程的斜率为负，答案只能在C和D中产生，又因为实际问题当销售价格x（元/件）趋向于0时，销售量y（件）应为正，即直线的纵截距应为正，故只能选择D. 考点：线性回归方程.

5．设m、n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A．m∥，n∥且∥，则m∥n B．m⊥，n⊥且⊥，则m⊥n C．m⊥，n，m⊥n．则⊥ D．m，n，m∥，n∥，则∥ 【答案】B 【解析】

试题分析：对于A，直线m,n可能平行、相交、异面，不对；对于B，由面面垂直性质得正确；对于没有m内，不对；对于D，没有说明m,n是两条相交直线，不对，故答案为B.

考点：空间中直线与直线、平面与平面的位置关系.

6．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ）

A．12, 24, 15, 9 B．9, 12, 12, 7 C．8, 15, 12, 5 D．8, 16, 10, 6

【答案】D 【解析】

试题分析：由题意可知：抽样比为

401，所以高级职称的160人应抽8人，中级80020职称的320人应抽16人，具有初级职称的200人应抽10人，其余人员120人应抽6人；所以上述各层中依次抽取的人数分别是8, 16, 10, 6. 考点:简单随机抽样的应用.

7．已知an是等比数列，a6a10a4a849,则a5a9等于 A.7 B.7 C.14 D.不确定 【答案】B 【解析】

试题分析：因为

an是等比数列，可设公比为q，则

a6a10q(a5a9),a4a81(a5a9),q则

(a6a10)(a4a8)(a5a9)249，所以a5a97

考点：等比数列性质的应用

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8．已知x,y的值如表所示：如果y与x呈线性相关且回归直线方程为ybx72，则

b

A．1111 B． C． D． 221010

【答案】B 【解析】

试题分析：因为回归直线恒过样本中心点(x,y)，所以回归直线方程为ybx的直线过点(3,5)，解得b答案为B．

考点：线性回归直线方程．

72

1， 2x1,y1，x2,y2，xn,yn，9．对两个变量x和y进行回归分析，得到一组样本数据： ，

则下列说法中不正确的是（ ）

A．由样本数据得到的回归方程ybxa必过样本点的中心x,y B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

^yiyi来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟2C．用相关指数R1i1n2yyin2i1合效果越好

^yiyi来刻画回归效果，R2的值越 大，说明模型的拟2D．用相关指数R1i1n2yyin2i1合效果越好

【答案】C 【解析】

^yiyi来刻画回归效果，R2的值越大，残差平方2试题分析：相关指数R1i1n2yyin2i1和越小，模型的模拟效果越好.

考点：线性回归方程的应用.

10．已知数列{an}的前n项和Snan1(a0)，则数列{an}（ ） A.一定是等差数列 B.一定是等比数列

C.或者是等差数列，或者是等比数列

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D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【答案】C 【解析】

试题分析：a1S1a1,anSnSn1(a1)an1(n1).当a1时，Sn0，此时是等差数列而不是等比数列；当a1时是等比数列.故选C 考点：等差数列、等比数列.

二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中横线上) 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .

【答案】200 【解析】

试题分析：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，

由图知V28410200．故选C． 2考点：空间几何体的三视图.

12．已知数列an中，Sn是前n项和，Sn2an1，则数列的通项an= . 【答案】an2n1 【解析】

试题分析：∵数列an中，Sn是前n项和，Sn2an1，∴a1S12a11，解得，∴an2an1，∴an是首a11，n2时，anSnSn12an1（2an11）项为-1，公比为2的等比数列，∴an2n1． 考点：数列递推式．

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13．已知直线l⊥平面α，直线 m平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则 l⊥ m ；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中正确命题序号是 ． 【答案】①③ 【解析】

试题分析：直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥m，故①正确；当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，故②不正确；当l∥m有α⊥β，故③正确；当l⊥m有α∥β或α∩β，故④不正确；综上可知①③正确，故答案为：①③． 考点：平面的基本性质及推论．

3，5，7的平均数是4，则这个样本的方差是 ． 14． 一个样本a，【答案】5 【解析】

3，5，7的平均数是4可得试题分析：由样本a，差为

2222143454742a3574a1；所以样本的方

445.

考点：样本数值特征.

三、解答题(本大题共6个大题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．某中学高三年级从甲（文）、乙（理）两个年级组各选出7名学生参加高校自主招生数学选拔考试，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是85，乙组学生成绩的中位数是83．

（1）求x和y的值；

2（2）计算甲组7位学生成绩的方差s；

（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲组至少有一名学生的概率．

7【答案】（1）x5，y3（2）40;（3）. 10【解析】 试题分析：（1）利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可． （2）根据所给的茎叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差． （3）设甲班至少有一名学生为事件A，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案． 试题解析：（1）∵甲组学生的平均分是85，

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∴ ∴

. 1分

.

∵乙组学生成绩的中位数是83， ∴

. 2分

（2）甲组7位学生成绩的方差为：

5分

（3）甲组成绩在90分以上的学生有两名，分别记为乙组成绩在90分以上的学生有三名，分别记为

，

. 6分

从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：

. 9分

其中甲组至少有一名学生共有7种情况：

. 11分

记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生”为事件

，

则. 12分

答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生的概率为.

13分

考点：1.古典概型及其概率计算公式；2.茎叶图；3.极差、方差与标准差． 16．如图，已知三棱锥PABC的则面PAB是等边三角形，D是AB的中点，

PCBCAC2, PB22.

（1）证明：AB平面PCD； （2）求点C到平面PAB的距离.

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【答案】（1）证明见解析；（2）

23 3【解析】

试题分析：(1)利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全.(2)利用棱锥的体积公式V1Sh求体积.(3)证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用3面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.(4)在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算，在求点到平面的距离时，可以通过转化去求解.

试题解析：证明：(1)∵PCBCAC2,PB22,PAB是等边三角形 ∴PC2BC2PB2,故PCB是直角三角形，PCB900 ∴PCBC

同理可证PCAC

∵BC,AC平面ABC，∴PC平面ABC 又∵AB平面ABC，∴ABPC 又∵D是AB的中点，∴ABCD ∵PCCDC, ∴AB平面PCD (2) ∵BCAC2,ABPB22,

∴AC2BC2AB2,故ACB是直角三角形，ACB900

11ACBC222 22 由（1）可知，PC是三棱锥PABC的高

114∴VPABCSABCPC22

333∴SABC又∵PAB是边长为22等边三角形， ∴SABP113PAPBsin600222223 222123SPABhh 33设点C到平面PAB的距离为h，则VCPAB∵VCPABVPABC,即

23423 h，解得h33323 3∴点C到平面PAB的距离为

考点：1、直线与平面垂直的判定；2、点到平面的距离. 17．设数列an满足a12,an1an322n1

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（1）求数列an的通项公式；

（2）令bnnan，求数列bn的前n项和Sn 【答案】（1）an22n1；（2）Sn【解析】

试题分析：（1）本题递推公式是an1anf(n)型，故可采取累加法求通项公式；(Il)求数列前n项和，首先研究其通项公式，根据通项公式的不同类型用相应的求和方法，常见的求和方法有分组求合法、错位相减法、裂项相消法等，本题由（1）可求得

1[(3n1)22n12] 9an22n1，故bnnann22n1，是等差乘以等比型，故采取错位相减法求和．

试题解析：（1）由已知a12，an1an322n1得，

an(anan1)(an1an2)3(22n322n5(a2a1)a1 2分

2)2 4分

222n343222n1 6分

14（2）由bnnann22n1知 Sn12223325从而22Sn123225327①

-235n22n1．①

n22n1．②

②

得

(12)Sn22222n1n22n1222n14=n22n114．

10分 即Sn

考点：1、累加法求通项公式；2、错位相减法求和．

18．某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．

1[(3n1)22n12]． 12分 9

（1）求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差S1、S2，并根据结

果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？

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22

（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率． 【答案】（1）甲班参加；（2）P7． 10【解析】 试题分析：（1）由题意知求出x=5，y=6．从而求出乙班学生的平均数为83，分

22

别求出S1和S2，根据甲、乙两班的平均数相等，甲班的方差小，得到应该选派甲班的学生参加决赛．

（2）成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名，由此能求出随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率． 试题解析：（1）甲班的平均分为x1748284(80x)9083x5，易知

5y6．

2S1227.2；又乙班的平均分为x283， ∴S257.2；

2∵x1x2，S12S2，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．

（2）85分及以上甲班有2人，设为a,b；乙班有3人，设为x,y,z，从这5人中抽取2人的选法有：ab,ax,ay,az,bx,by,bz,xy,xz,yz，共10种，其中甲班至少有1名学生的选法有7种，则甲班至少有1名学生被抽到的概率为P考点：1．古典概型及其概率计算公式；2．茎叶图．

19．如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点

7. 10

（1）证明：BC1//ACD； 1（2）设AA的体积 11ACCB2,AB22，求三棱锥DACE【答案】（1）详见解析；（2）10 5【解析】 试题分析：（1）要证明直线和平面平行，只需证明直线和平面内的直线平行，本题连接于点F，易证DF是ABC1的中位线，，由三角形的中位线定理易证AC1交AC1试卷第9页，总12页

；（2）求四面体体积，难点在于求高，若不易求，BC1//DF，进而证明BC1//ACD1则可考虑等体积转化，本题VDA1CEVCA1DE，易证CD面ABB1A1，则CD2的高，再求底面A1DE的面积，进而求体积．

F，则F为AC1的中点， 试题解析：（1）连接AC1交AC1于点

又D是AB的中点，连接DF，则BC1//DF． 2分 因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD， 4分 所以BC1∥平面A1CD 5分

（2）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC, 因为CD平面ABC， 所以AA1⊥CD， 6分 由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB， 7分 又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1， 8分 由AA1=AC=CB=2，AB=22得

∠ACB=90°，CD=2，A1D=6，DE=3，A1E=3， 故A1D+DE=A1E，DE⊥A1D， 所以VDA1CEVCA1DE2

2

2

116321. 12分 32

考点：1、直线和平面平行的判定定理；2、四面体的体积．

20．（本题小满12分）设数列{an}的前n项和Sn满足：Snnan2n(n1)，等比数列{bn}的前n项和为Tn，公比为a1，且T5T32b5． （1）求数列{an}的通项公式; （2）设数列{111}的前n项和为Mn，求证：Mn．

anan1【答案】（1）an4n3；（2）详见解析． 【解析】

试题分析：（1）考虑到anSn1Sn，因此可以利用条件中给出的关系式

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Snnan2n(n1)得到{an}的一个递推公式：Snnan2n(n1)①，

②-①，即an1an4，Sn1(n1)an12(n1)n②，an1(n1)an1nan4n，再由条件等比数列{bn}的前n项和为Tn，公比为a1，且T5T32b5可知a11，从而数列{an}是1为首项，4为公差的等差数列，从而an4n3；（2）考虑利用列项相消法

求

数

列

{1}anan1的前

n项和

Mn从

：

Mn11111111(1)(1)45594n34n144n111111(1Mn，即)Mn． 4，而

试题解析：（1）∵Snnan2n(n1)①，∴Sn1(n1)an12(n1)n②，②-①，

an1(n1)an1nan4n，∴an1an4，又∵等比数列{bn}，T5T32b5，

∴T5T32b5b4b5，q1，∴a11，∴数列{an}是1为首项，4为公差的等差数列， ∴

an14(n1)4n3；（2）由（1）可得

1111()， anan1(4n3)(4n1)44n34n1∴

111111111(1)(1)45594n34n144n1111(1Mn，) 411即Mn． Mn考点：1．等差等比数列的运算；2．列项相消法求数列的和．

，∴

惠东高级中学2014-2015学年度上学期高三年级 第二次周末考试 文科数学答题卷

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分)

11、 12、

试卷第11页，总12页

13、 14、

三、解答题（写出必要的文字解答过程，共80分）

试卷第12页，总12页