浅谈数学类比法(2)

浅谈数学类比法

惠州市第一中学 数学科组 李海媚

科学史上有许多创造发明及现代科学研究，都广泛地运用了类比推理，例如仿生学可以说是专门使用了类比推理的科学。我们也可以用类比法来解决某些数学问题。为了解数

学问题B，我们可以联想到一个已经会解的问题A，问题B和问题A有许多类似的属性，于是我们推想问题B与问题A可能有某个或几个类似的结论，或者推测可以用解决问题A的类似方法来解决问题B，这种利用类比推理来寻找解决途径的方法叫类比法。 其推理过程是：对象A具属性a、b、c、d

对象B具属性a、b、c

则对象B也可能具有属性d。下面浅谈数学类比法的一般方法。 一、 一般与特殊的类比

研究一个较复杂的命题时，先解决命题的一个特殊情况，然后对解决特殊情况时 所用的方法，所得的结果进行分析，大胆地与一般情况相类比，看能不能“照此办理”。当特殊问题不易求解时，也可先解决一般性问题。

例1：已知xR，为正常数，且1f(x)

f(xa)1f(x)则f(x)是否为周期函数？若是，求它的周期，若不是，说明理由。

分析：拿到已知条件很可能毫无思路，但我们注意到特例f(x)=tanx满足约束条件时，思路就豁然开朗了：

因为tan(x4)1tanx1tanx且f(x)tanx是以44

为周期的周期函数，所以可以猜测f(x)是以4a为周期的周期函数。证明:f(xa)1f(x)1f(x)1f(x)1f(x)f(x)f(x)

f(x)1f(x)1f(x)11f(xa)1f(x2a)f(xa)a1f(xa)1111f(x4a)f(x2a)2af(x2a)因此，f(x)是以4a为周期的周期函数。199532199521993例2：计算(1995年北京市初中数学竞赛题）

19953199521996分析：本题很难就此计算，我们不妨将这种特殊情况转换成一般情况，看其规律，进行

求解。

1995aa32a2(a2)(a2)(a21)1993

322aa(a1)(a2)(a1)1996二、 生疏与熟悉的类比

对于某一数学问题，虽然我们暂时还不知道应该如何求解时，但发现这一问题的 某些部分（条件、结论、图形、形式、数据等等）与我们熟悉的另一问题相类似，则可将两者加以类比，看能否把解决后一问题的方法移植过来，并逐步消除可能出现的差异，最后找出解决原来问题的解法。

例2：设a、、b、满足2abc8a70 22bcbc6a60求a的取值范围。（1986全国高中数学竞赛试题）解：把已知条件与我们熟悉的二元一次方程组的解法进行类比，容易想到代入法消c，

2

由此得：b4(a214a13)b2(a28a7)20因为b20，所以方程有非负根，从而有2222(a14a13)4(a8a7)02a14a13022a14a132a8a7即2a14a130解得1a9

三、 复杂与简单的类比

数学中常常有这样的情况，从一些简单的问题引出的结论，可以推广到更复杂的 情况去，例如：平面几何中的许多结论可以平行地推选广到立体几何中去，反过来，本来是比较复杂的问题，解决它有困难时，又可先研究与之相应的简单情况，通过类比，看这个复杂问题是不是简单的推广，能否参照解决简单问题时所用的方法来解决问题。

例4:四面体ABCD中,BAC30,BAD60,ACa,AD3a,求证:ABCD

BEAACCEDDB分析：将问题退到平面上，将平面ABC绕AB顺时针旋转，使之与平面ABD在同一平 面上，此时，CD与AB（或其延长线）交于E，由平面几何的知识易知AE是

Rt△ACD斜边上的高，受此启发，我们在原图中作DE⊥AB，垂足是E，连结EC，则

3

在RtADE中,AE3acos60在ACE中,EC3a21a2AC2AE22ACAEcos30因此有AE2EC2AC2,AEC90即ABEC,AB平面ECD从而可得结论ABCD

四、“数”与“形”的类比

“数”与“形”是数学研究中的两个主要的对象，也是反映数学问题的两个侧面，它们既是对立的，又是统一的。“数”与“形”结合，寓“数”与“形”，寓“理”于

例5:若不等式x3x4a的解集不是空集,则实数的取值范围是什么?“形”，相互类比，相互转化是数学学习与研究中运用广泛，意义深刻的思维方法。 分析：此题若是用一般的分段讨论的方法去掉绝对值符号，则化费较长的时间，但是如

解:x3x4在数轴上可以看成是点M(x,0)与点(3,0)和点(4,0)的距离之和,显然当点M在点AB之间时取得最小值1,即x3x4的最小值为11x3x4aa1果联想到绝对值的几何意义，将数与形结合起来，此题不到一分钟便可得到答案。 类比还有很多方法，如正面和反面的类比，“有限”与“无限”的类比，与其他学科解决问题的经验或方法类比等等。类比法是一种发现问题、解决问题的方法，但任何时候，用类比推理得到的猜想都必须经过严密的证明，才能确认它是正确的，否则容易得到错误的结论。

4