2019-2020学年湖南师大附中九年级(上)第一次联考数学试卷 (含解析)

2019-2020学年湖南师大附中九年级（上）第一次联考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 下列运算正确的是( )

A. 𝑎2+𝑎3=𝑎5 C. (𝑎+3)2=𝑎2+9 A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°

3. 若𝑎<𝑏，则下列式子中错误的是( )

B. (𝑎3)2=𝑎5 D. −2𝑎2·𝑎=−2𝑎3

2. 如图，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐷=30°，∠𝐸=35°，则∠𝐵的度数为( )

A. 𝑎−3<𝑏−3 B. 𝑎+3<𝑏+3

C. 2𝑎<2𝑏

11

D. −2𝑎<−2𝑏

4. 某小组7位同学的中考体育测试成绩(满分50分)依次为47，50，49，47，50，48，50，则这组

数据的众数与中位数分别是( )

A. 50，47 A. −1<𝑎<3 A. 1

B. 50，49 B. 𝑎>3 B. 2

C. 49，50 C. 𝑎< −1 C. −3.5

D. 50，48 D. 𝑎> −1 D. −5

5. 在平面直角坐标系中，若点𝑃(𝑎−3,𝑎+1)在第二象限，则a的取值范围为( )

6. 已知一元二次方程2𝑥2+𝑚𝑥−7=0的一个根为𝑥=1，则另一根为( )

7. 如图是“北大西洋公约组织”标志的主体部分(平面图)，它是由四个完全

𝑂𝐴=𝑂𝐶，𝑂𝐴⊥𝑂𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=相同的四边形OABC拼成的.测得𝐴𝐵=𝐵𝐶，36°，则∠𝑂𝐴𝐵的度数是( )

A. 116° B. 117° C. 118° D. 119°

8. 如图所示，已知∠1=∠2，𝐴𝐶=𝐴𝐷，增加下列条件：①𝐴𝐵=𝐴𝐸，

②𝐵𝐶=𝐸𝐷，③∠𝐶=∠𝐷，④∠𝐵=∠𝐸，其中能使△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷成立的条件有( )

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

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9. 如图，半径为3的⊙𝑂中有弦AB，以AB为折痕对折，劣弧恰好经过圆

⏜的长为( ) 心O，则𝐴𝑂𝐵

A. 𝜋 B. 2𝜋 C. 3𝜋

𝑏

D. 4𝜋

10. 若𝑎𝑏>0，则函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏与函数𝑦=𝑥在同一坐标系中的大致图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

11. 圆锥的底面半径为4，母线长为10，则该圆锥的侧面积为( )

A. 80𝜋

个结论：

B. 40𝜋 C. 20𝜋 D. 10𝜋

12. 如图，已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象如图，有下列5

①𝑎𝑏𝑐>0；②𝑏<𝑎+𝑐；③4𝑎+2𝑏+𝑐>0；④2𝑐<3𝑏；⑤𝑎+𝑏>𝑚(𝑎𝑚+𝑏)(𝑚≠1的实数)． 其中正确结论的有( )

A. ①②③ B. ①③④ C. ③④⑤ D. ②③⑤

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 13. 因式分解：3𝑦2−12= ______ ．

14. 将数字302000用科学记数法表示为______．

15. 一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的球共10个，从中随机摸出一个球，若摸到红色球

的概率为5，则袋子中红色球的个数是______．

16. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，点D是AB的中点，且𝐷𝐶=5𝑐𝑚，则𝐴𝐵= ______ ．

3

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17. 设𝑥1，𝑥2是方程5𝑥2−3𝑥−1=0的两个实数根，则𝑥+𝑥的值为______ ．

1

2

11

20−𝑥>5

{18.不等式组2(𝑥+1)+2≤10𝑥的整数解共有______个．

3

三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）

19. 小芳去商店购买甲、乙两种商品．现有如下信息：

信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元，按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元；

信息2：甲商品零售单价比甲进货单价多1元，乙商品零售单价比乙进货单价的2倍少1元． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元？

(2)若小芳准备用不超过400元钱购买100件甲、乙两种商品，其中甲种商品至少购买多少件？

四、解答题（本大题共7小题，共57.0分） 20. 计算下列各题：

(1)√3×(−√6)+|−2√2|+()−3．

2(2)√24×√−4×√×(1−√2)0．

38

1

1

1

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21. 先化简，再求值：(𝑥−1−𝑥+1)÷𝑥2−1，其中𝑥=−3．

22. 进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息解决下列问题：

3𝑥𝑥2𝑥

(1)这次学校抽查的学生人数是______； (2)将条形统计图补充完整；

(3)如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？

23. 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别

是BD、AC的中点，𝐴𝐵=𝐶𝐷，EF与GH有什么位置关系？请说明理由．

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24. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，以AB为直径的⊙𝑂交BC于点D，

过点D作𝐸𝐹⊥𝐴𝐶于点E，交AB延长线于点F． (1)判断直线EF与⊙𝑂的位置关系，并说明理由； (2)若⊙𝑂半径为5，𝐶𝐷=6，求DE的长； (3)求证：𝐵𝐶2=4𝐶𝐸⋅𝐴𝐵．

𝐶(𝑎,𝑏)为25. 在平面直角坐标系xOy中，定义直线𝑦 = 𝑎𝑥+ 𝑏为抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥的特征直线，

其特征点．设抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥与其特征直线交于A、B两点(点A在点B的左侧)．

(1)当点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(1,3)时，特征点C的坐标为________；

(2)若抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥，如图所示，请求出点A、点B的坐标(用含a，b代数式表示)； (3)设抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为(1,0)，𝐷𝐸//𝐶𝐹．

①若特征点C为直线𝑦 = – 4𝑥上一点，求点D及点C的坐标；

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②若21

26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+3与x轴交于点𝐴(3,0)，𝐵(−1,0)，与y轴交

于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点(异于点A、𝐶)，连接BC，AC，PA，PB，PB与AC交于点D，设点P的横坐标为m．

①若△𝐶𝐵𝐷，△𝐷𝐴𝑃的面积分别为𝑆1和𝑆2，当𝑆1−𝑆2最小时，求点P的坐标；

②过点P作x轴的垂线，交AC于点𝐸.以原点O为旋转中心，将线段PE顺时针旋转90°，得到线段𝑃′𝐸′.当线段𝑃′𝐸′与直线PE有交点时，设交点为F，求交点F的路径长．

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-------- 答案与解析 --------

1.答案：D

解析： 【分析】

本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方的运算法则及完全平方公式． 【解答】

解：𝐴.𝑎2和𝑎3不是同类项，不能合并，故此选项错误； B.(𝑎3)2=𝑎6，故此选项错误；

𝐶(𝑎+3)2=𝑎2+6𝑎+9，故此选项错误； D.−2𝑎2·𝑎=−2𝑎3 ，此选项正确． 故选D．

2.答案：B

解析：解：∵∠𝐷=30°，∠𝐸=35°， ∴∠1=∠𝐷+∠𝐸=30°+35°=65°， ∵𝐴𝐵//𝐶𝐷， ∴∠𝐵=∠1=65°． 故选：B．

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出∠1，再根据两直线平行，同位角相等解答即可．

本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．

3.答案：D

解析： 【分析】

本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质，可得答案． 【解答】

解：A、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A正确； B、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故B正确； C、不等式的两边都乘2，不等号的方向不变，故C正确；

1

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D、不等式的两边都乘以−2，不等号的方向改变，故D错误； 故选：D．

4.答案：B

解析：解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中50出现了3次，次数最多，故众数是50；

将这组数据从小到大的顺序排列为：47，47，48，49，50，50，50，处于中间位置的那个数是49，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是49． 故选B．

众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．

本题考查了中位数和众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

5.答案：A

解析： 【分析】

本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，属于基础题． 根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可． 【解答】

解：∵点𝑃(𝑎−3,𝑎+1)在第二象限， ∴{

𝑎−3<0 ①

，

𝑎+1>0 ②

解不等式①得，𝑎<3， 解不等式②得，𝑎>−1， ∴−1<𝑎<3． 故选：A．

6.答案：C

解析： 【分析】

𝑥2是一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的两根时，𝑥1+𝑥2=本题考查了根与系数的关系：若𝑥1，−𝑎，𝑥1𝑥2=𝑎.设方程的另一个根为t，根据两根之积得到1×𝑡=−2，然后解一次方程即可．

𝑏

𝑐

7

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【解答】

解：设方程的另一个根为t，

根据题意得1×𝑡=−2，解得𝑡=−3.5． 故选C．

7

7.答案：B

解析：∵∠𝐴𝑂𝐶=90°，∠𝐴𝐵𝐶=36°，

∴∠𝐴𝑂𝐶+∠𝐴𝐵𝐶=90°+36°=126°．

∴∠𝑂𝐴𝐵+∠𝑂𝐶𝐵=360°−126°=234°．

∴∠𝑂𝐴𝐵=

×234°=117°．

8.答案：B

解析： 【分析】

本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的判定方法有“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”.根据∠1=∠2可得∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐷，再根据𝐴𝐶=𝐴𝐷及增加的条件逐一判断即可． 【解答】

解：∵∠1=∠2，𝐴𝐶=𝐴𝐷， ∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐷．

∴当添加①𝐴𝐵=𝐴𝐸，可用SAS判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷，故①成立； 当添加②𝐵𝐶=𝐸𝐷，SSA不可判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷，故②不成立； 当添加③∠𝐶=∠𝐷，可用ASA判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷，故③成立； 当添加④∠𝐵=∠𝐸，可用AAS判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷，故④成立． 共3个成立的条件，选项B正确． 故选B．

9.答案：B

解析： 【分析】

本题考查的是弧长的计算及翻折变换的性质，根据题意画出图形，作出辅助线利用数形结合解答．连

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⏜于点D，交弦AB于点E，根据折叠的性质可知𝑂𝐸=𝐷𝐸=𝐴𝑂，接AO，过O作𝑂𝐷⊥𝐴𝐵，交𝐴𝐵2再根据直角三角形的性质得出∠𝐴𝑂𝐸=60∘，∠𝐴𝑂𝐵=2∠𝐴𝑂𝐸=120∘，然后根据弧长公式计算即可得到答案． 【解答】

⏜于点D，交弦AB于点E， 解：如图所示，连接AO，过O作𝑂𝐷⊥𝐴𝐵，交𝐴𝐵

1

⏜折叠后恰好经过圆心， ∵𝐴𝐵

∴𝑂𝐸=𝐷𝐸=2𝐴𝑂， ∴∠𝑂𝐴𝐸=30∘， ∴∠𝐴𝑂𝐸=60∘，

∴∠𝐴𝑂𝐵=2∠𝐴𝑂𝐸=120∘， ∵⊙𝑂的半径为4，

，

故选B．

1

10.答案：C

解析：解：∵𝑎𝑏>0，∴分两种情况：

(1)当𝑎>0，𝑏>0时，一次函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一三象限，选项C符合；

(2)当𝑎<0，𝑏<0时，一次函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，无符合选项． 故选：C．

根据𝑎𝑏>0及一次函数与反比例函数图象的特点，可以从𝑎>0，𝑏>0和𝑎<0，𝑏<0两方面分类讨论得出答案．

本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．

11.答案：B

解析： 【分析】

本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于

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圆锥的侧面扇形的弧长．

圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【解答】

解：圆锥的侧面积=2𝜋×4×10÷2=40𝜋． 故选B．

12.答案：C

解析：解：①由图象可知：𝑎<0，对称轴𝑥=−2𝑎=1，所以𝑏>0，𝑐>0，𝑎𝑏𝑐<0，故①错误； ②当𝑥=−1时，𝑦=𝑎−𝑏+𝑐<0，即𝑏>𝑎+𝑐，故②错误；

③由对称知，当𝑥=2时，函数值大于0，即𝑦=4𝑎+2𝑏+𝑐>0，故③正确； ④当𝑥=3时函数值小于0，𝑦=9𝑎+3𝑏+𝑐<0，且𝑥=−2𝑎=1， 即𝑎=−2，代入得9(−2)+3𝑏+𝑐<0，得2𝑐<3𝑏，故④正确； ⑤当𝑥=1时，y的值最大．此时，𝑦=𝑎+𝑏+𝑐， 而当𝑥=𝑚时，𝑦=𝑎𝑚2+𝑏𝑚+𝑐， 所以𝑎+𝑏+𝑐>𝑎𝑚2+𝑏𝑚+𝑐，

故𝑎+𝑏>𝑎𝑚2+𝑏𝑚，即𝑎+𝑏>𝑚(𝑎𝑚+𝑏)，故⑤正确． 综上所述，③④⑤正确． 故选：C．

由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

考查二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．

𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

13.答案：3(𝑦+2)(𝑦−2)

解析：解：3𝑦2−12， =3(𝑦2−4)， =3(𝑦+2)(𝑦−2)．

先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

14.答案：3.02×105

解析：

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【分析】

此题主要考查的是用科学记数法表示较大数的方法．要注意是科学记数法的表示形式𝑎×10𝑛中，a的取值范围为：1≤|𝑎|<10．

科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数． 【解答】

解：302000=3.02×105． 故答案为3.02×105．

15.答案：6

解析： 【分析】

此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率𝑃(𝐴)=𝑛，首先设袋子中红球有x个，利用概率公式求即可得方程，进而解答即可． 【解答】

解：设袋子中红球有x个，根据题意可得：10=5， 解得：𝑥=6， 故答案为：6．

𝑥

3

𝑚

16.答案：10cm

解析：解：∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，点D是AB的中点， ∴𝐴𝐵=2𝐶𝐷=10𝑐𝑚， 故答案为：10cm．

根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．

本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

17.答案：−3

解析：解：∵𝑥1，𝑥2是方程5𝑥2−3𝑥−1=0的两个实数根， ∴𝑥1+𝑥2=5，𝑥1⋅𝑥2=−5， ∴𝑥+𝑥=

1

2

31

11

𝑥1+𝑥2𝑥1⋅𝑥2

=

351−5=−3．

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故答案为：−3．

+通分后可得𝑥1⋅𝑥2，𝑥1⋅𝑥2=−，根据根与系数的关系可得出𝑥1+𝑥2=5、将代入𝑥1+𝑥2=5、𝑥𝑥5

1

2

1

2

3111𝑥+𝑥3

𝑥1⋅𝑥2=−即可得出结论．

5

本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出𝑥1+𝑥2=5、𝑥1⋅𝑥2=−5是解题的关键．

3

1

1

18.答案：12

20−𝑥>5①

解析：解：{ 10𝑥

2(𝑥+1)+2≤②

3

∵解不等式①得：𝑥<15， 解不等式②得：𝑥≥3， ∴不等式组的解集为3≤𝑥<15，

不等式组的整数解为3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，共12个， 故答案为：12．

先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，即可得出答案．

本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．

19.答案：解：(1)设甲、乙两种商品的进货单价分别为x、y元．

𝑥+𝑦=5

{， 3(𝑥+1)+2(2𝑦−1)=19𝑥=2

解得：{ 𝑦=3

答：甲、乙两种商品的进货单价分别为2元、3元；

(2)由(1)得：甲商品零售价为𝑥+1=3(元)，乙商品零售价为2𝑦−1=35(元) 设甲种商品购买m件． 3𝑚+5(100−𝑚)≤400， 解得：𝑚≥50，

答；甲种商品至少购买50件．

解析：(1)根据题意，列出方程组求解，即可解决问题． (2)根据题意列出关于m的不等式，即可解决问题．

本题考查了二元一次方程组和不等式的实际应用，解题关键是根据题中所给的信息找出其中的等量关系进行求解，难度一般．

20.答案：解：(1)原式=−3√2+2√2+8

=8−√2； (2)原式=2√2−√

2

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=

3√2

． 2

解析：(1)先化简二次根式再利用负整数指数幂进行计算即可； (2)根据二次根式的化简、零指数幂进行计算即可．

本题考查了二次根式的混合运算以及零指数幂运算，掌握运算法则是解题的关键．

21.答案：解：

先化简， 原式=

3𝑥(𝑥+1)−𝑥(𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥−1)

𝑥2−12𝑥

×

2𝑥2−2𝑥𝑥2−1

=2×

𝑥−12𝑥=2𝑥+1

将𝑥=−3代入原式得，2×(−3)+1=−5

解析：先将𝑥−1−𝑥+1进行通分后再计算即可

此题主要考查分式的化简求值，分式通分中常利用平方差公式进行计算．

3𝑥

𝑥

22.答案：(1)40

(2)𝐶项目的人数为40−12−14−4=10(人) 条形统计图补充为：

(3)估计全校报名军事竞技的学生有1000×40=100(人)．

4

解析：

解：(1)这次学校抽查的学生人数是12÷30%=40(人)， 故答案为：40人； (2)见答案 (3)见答案 【分析】

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(1)利用A项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数； (2)计算出C项目的人数后补全条形统计图即可；

(3)用总人数乘以样本中该校报D的学生数占被调查学生数的比例即可得．

本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

23.答案：解：连接GE、GF、HF、EH．

∵𝐸、G分别是AD、BD的中点， ∴𝐸𝐺=𝐴𝐵，

21

同理𝐻𝐹=2𝐴𝐵，𝐹𝐺=2𝐶𝐷，𝐸𝐻=2𝐶𝐷， 又∵𝐴𝐵=𝐶𝐷，

∴𝐸𝐺=𝐺𝐹=𝐹𝐻=𝐸𝐻， ∴四边形EFGH是菱形． ∴𝐸𝐹⊥𝐺𝐻．

111

解析：连接GE、GF、HF、EH，根据三角形的中位线定理即可证得𝐸𝐺=𝐺𝐹=𝐹𝐻=𝐸𝐻，则四边形EFGH是菱形，利用菱形的性质即可证得．

本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定与性质，正确证明四边形EFGH是菱形是关键．

24.答案：解：(1)𝐸𝐹与⊙𝑂相切，理由如下：

连接AD，OD，如图所示： ∵𝐴𝐵为⊙𝑂的直径， ∴∠𝐴𝐷𝐵=90°． ∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶． ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴𝐶𝐷=𝐵𝐷=2𝐵𝐶． ∵𝑂𝐴=𝑂𝐵，

∴𝑂𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中位线， ∴𝑂𝐷//𝐴𝐶． ∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐶， ∴𝐸𝐹⊥𝑂𝐷． ∴𝐸𝐹与⊙𝑂相切．

(2)解：由(1)知∠𝐴𝐷𝐶=90°，𝐴𝐶=𝐴𝐵=10，

在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐶中，由勾股定理得：𝐴𝐷=√𝐴𝐶2−𝐶𝐷2=√102−62=8． ∵𝑆𝐴𝐶𝐷=2𝐴𝐷⋅𝐶𝐷=2𝐴𝐶⋅𝐷𝐸，

1

1

1

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∴2×8×6=2×10×𝐷𝐸． ∴𝐷𝐸=

245

11

．

1

(3)证明：由(1)得：𝐶𝐷=2𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐶=90°， ∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，

∴∠𝐷𝐸𝐶=90°=∠𝐴𝐷𝐶， ∵∠𝐶=∠𝐶， ∴△𝐶𝐷𝐸∽△𝐶𝐴𝐷， ∴𝐴𝐶=𝐶𝐷， ∴𝐶𝐷2=𝐶𝐸⋅𝐴𝐵， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴𝐵𝐶2=𝐶𝐸⋅𝐴𝐵，

41𝐶𝐷

𝐶𝐸

∴𝐵𝐶2=4𝐶𝐸⋅𝐴𝐵．

解析：(1)连接AD，OD，证明OD是△𝐴𝐵𝐶的中位线，得出𝑂𝐷//𝐴𝐶.由已知条件证得𝐸𝐹⊥𝑂𝐷，即可得出结论；

(2)根据勾股定理求出AD，再由三角形面积计算即可；

(3)由(1)得𝐶𝐷=2𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，证明△𝐶𝐷𝐸∽△𝐶𝐴𝐷，得出𝐴𝐶=𝐶𝐷，则𝐶𝐷2=𝐶𝐸⋅𝐴𝐵，即可得出结论．

本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．

1

𝐶𝐷

𝐶𝐸

25.答案：解：(1)(3,0)；

(2)联立直线𝑦=𝑎𝑥+𝑏与抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥， 得：𝑎𝑥2+(𝑏−𝑎)𝑥−𝑏=0， ∴(𝑎𝑥+𝑏)(𝑥−1)=0， 解得：𝑥=−𝑎，𝑥=1， ∴𝐴(1,𝑎+𝑏)，𝐵(−𝑎,0)． 点A、点B的位置如图所示；

𝑏

𝑏

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；

(3)①如图，

∵特征点C为直线𝑦=−4𝑥上一点， ∴𝑏=−4𝑎．

∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥的对称轴与x轴交于点D， ∴对称轴𝑥=−2𝑎=2． ∴点D的坐标为(2,0)．

∵点F的坐标为(1,0)，∴𝐷𝐹=1． ∵特征直线𝑦=𝑎𝑥+𝑏交y轴于点E， ∴点E的坐标为(0,𝑏)． ∵点C的坐标为(𝑎,𝑏)， ∴𝐶𝐸//𝐷𝐹． ∵𝐷𝐸//𝐶𝐹，

∴四边形DECF为平行四边形． ∴𝐶𝐸=𝐷𝐹=1.∴𝑎=−1． ∴特征点C的坐标为(−1,4)； ②由已知和已证得：

𝐶(𝑎,𝑏)，𝐸(0,𝑏)，𝐹(1,0)，𝐷(−2𝑎,0)， ∵1

𝑏−1

𝑏2𝑎

𝑏

𝑏

11

𝑂𝐸

|<2，

解得：2<|2𝑎|<2， ∴−1<𝑎<−4或4<𝑎<1， ∵𝐷𝐸//𝐶𝐹，𝐶𝐸//𝐷𝐹，

1

1

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∴𝐶𝐸=𝐷𝐹，

由题意可得：1+2𝑎=𝑎， 整理得：𝑏=2𝑎2−2𝑎 即：𝑏=2(𝑎−2)2−2 当𝑏=2(𝑎−2)2−2时，

当−1<𝑎<−4，可得8<𝑏<4． 当4<𝑎<1时，可得−2≤𝑏<0 综上所述：8<𝑏<4或−2≤𝑏<0．

5

1

1

1

1

5

1

11

1𝑏

解析： 【分析】

本题考查了新定义特征点、特征线及二次函数综合应用，题目整体难易适中，对学生最大的难点在于对新定义的理解．

(1)根据点A、B求出直线解析式，得到a、b值，即可写出点C坐标；

(2)联立直线与抛物线解析式，即可求出点𝐴(1,𝑎+𝑏)，𝐵(−𝑎,0)，根据图象描出两点即可； (3)求出点D坐标，根据点F、C、E坐标及平行四边形性质，即可求出特征点C的坐标，根据已知和已证得：𝐶(𝑎,𝑏)，𝐸(0,𝑏)，𝐹(1,0)，𝐷(−2𝑎,0)，由CEDF平行四边形性质可以得出b关于a的函数关系式，利用已知2解：(1)∵𝐴(0,0)，𝐵(1,3)， 代入：直线𝑦=𝑎𝑥+𝑏， 解得：𝑎=3，𝑏=0，∴𝐶(3,0)． 故答案为：(3,0)； (2)见答案； (3)①见答案； ②见答案．

1

𝑏

𝑏

26.答案：解：(1)抛物线的表达式为：𝑦=𝑎(𝑥−3)(𝑥+1)=𝑎(𝑥2−2𝑥−3)，

故−3𝑎=3，解得：𝑎=−1，

故抛物线的表达式为：𝑦=−𝑥2+2𝑥+3；

(2)将点A、𝐶(0,3)的坐标代入一次函数表达式得： 直线AC的表达式为：𝑦=−𝑥+3，

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设点𝑃(𝑚,−𝑚2+2𝑚+3)，则点𝐸(𝑚,−𝑚+3)，

①𝑆1−𝑆2=𝑆△𝐵𝐴𝐶−𝑆△𝐵𝐴𝑃=×𝐴𝐵×(3+𝑚2−2𝑚−3)=2(𝑚2−2𝑚)，

21

∴当𝑚=1时，𝑆1−𝑆2最小，此时点𝑃(1,4)；

②将线段PE顺时针旋转90°，得到线段𝑃′𝐸′，

则点𝐸′、𝑃′的坐标分别为：(−𝑚+3,−𝑚)、(−𝑚2+2𝑚+3,−𝑚)， 当线段𝑃′𝐸′与直线PE有交点时，即点F在𝐸′𝑃′之间， 即−𝑚+3≤𝑚≤−𝑚2+2𝑚+3， 解得：≤𝑚≤

2

3

1+√132

，

1+√132

故交点F的路径长为：

−=

2

3

√13−2． 2

解析：(1)抛物线的表达式为：𝑦=𝑎(𝑥−3)(𝑥+1)=𝑎(𝑥2−2𝑥−3)，即可求解； (2)①𝑆1−𝑆2=𝑆△𝐵𝐴𝐶−𝑆△𝐵𝐴𝑃=2×𝐴𝐵×(3+𝑚2−2𝑚−3)=2(𝑚2−2𝑚)，即可求解； 𝑃′的坐标分别为：(−𝑚+3,−𝑚)、得到线段𝑃′𝐸′，则点𝐸′、(−𝑚2+2𝑚+②将线段PE顺时针旋转90°，

3,−𝑚)，当线段𝑃′𝐸′与直线PE有交点时，即点F在𝐸′𝑃′之间，即可求解．

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形旋转、图形的面积计算等，其中(2)②，关键是求出旋转后对应点的坐标，进而求解．

1

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