第２３卷 第２期 ２０ｌ４年６月 河南教育学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｅｎａｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） ＶＯ１．２３ ＮＯ．２ Ｊｕｎ．２Ｏｌ４ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—０８３４．２０１４．０２．０１６ 常微分方程课程教学改革的探索与实践 何春花 ，郑群珍 ，姬利娜 （１．河南农业大学信息与管理科学学院，河南郑州４５０００２；２．河南教育学院数学与统计学院，河南郑州４５００４６） 摘要：常微分方程是高等院校数学及相关专业的主要课程之一．结合常微分方程理论性强和应用性强的特点， 提出了在常微分方程课程教学中实行“基础理论奠基＋思想方法提升＋建模竞赛应用＋科研论文探究”四位一体 的教学模式，以期能为培养创新型人才服务． 关键词：常微分方程；教学模式；四位一体 中图分类号：Ｇ６４２．０ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７—０８３４（２０１４）０２—００６８—０２ 常微分方程理论从创立至今已有３００多年的历史，该课程是数学及相关专业的核心课程之一，综合性很强，基础知识多 及应用范围广是它的两个显著特点．它既是对先行课（数学分析、高等代数）的延续，又是后续课（偏微分方程、泛函分析和微 分几何）的基础．一方面，数学分析中的积分理论和高等代数中的方程（或方程组）理论是求解常微分方程的基础，常微分方程 的教学可以检查学生对所学过的数学分析、高等代数中知识的掌握程度及应用能力；另一方面，常微分方程又是进一步学习 偏微分方程及其相关学科的基础，因为偏微分方程的求解问题通常可以经过适当变换归结为常微分方程的求解问题．因此可 见，该课程在数学及相关专业的课程体系中起承前启后的作用． 关于该课程教学模式改革的探讨已有很多实践经验和理论研究结果可以借鉴．已有成果涉及了教育理念 。 、教学方 式 、教学内容 以及评价机制 Ｉ９ 等方面的内容．常微分方程课程教学要传授学生必要的基础知识，但更重要的是培养 他们的能力，即让学生学会学习，学会思考，学会如何获取信息，如何分析和解决实际问题，如何发展和创新．本文结合该课程 已有的教学改革成果，根据数学及相关专业学生的知识背景以及培养目标，提出了课堂教学采用“基础理论奠基＋思想方法 提升＋建模竞赛应用＋科研论文探究”四位一体的教学模式．在新的教学模式应用中，实现教学目标、教学内容以及教学方法 的全面配套变革，以最终实现学生能自主学习、学以致用并可自行进行合作研究的教学效果． １ 抓好基本理论和基本技能的奠基工作 微分方程的相关概念、方程求解问题、方程解的存在性唯一性定理和一次偏微分方程是常微分方程的核心内容，相关的 基本定理和求解方法是在课堂教学中起奠基作用的．理论教学必须有一定的高度和深度．结合常微分方程课时较少的现状， 在教学过程中对重要、核心的内容做到精讲，对少数难度较大的定理粗讲．整个课程的重心放在方程求解方法和理论应用上， 对繁杂的定理证明过程不细讲，只要求学生会应用定理结论解决问题． ２ 融入数学思想方法升华教学内容 在常微分方程课堂教学过程中以具体的教学内容为载体融人数学思想方法，使学生能够深化理解、发展思维、提高素质． 例如，在常数变易法、代换法、逐次逼近法中都体现了化归的数学思想 ．化归思想是指在解决数学问题的过程中，把待解决 的问题进行转化，将复杂的问题化为简单的问题，将困难的问题化为容易的问题，将未解决的问题化为已解决的问题．在一阶 微分方程的初等解法中，抓住可分离变量方程和恰当方程两个中心，利用化归思想将其他几种类型的方程都归结为这两种方 程．化归思想在待解决的问题和已解决的问题之间架起了桥梁．在教学过程中融人数学思想方法，不仅可以使学生站在更高 层面理解学习内容、体会问题本质，还可以使学生领悟学习方法，在后续课程的学习中受益并形成创新意识、敢于挑战新的 问题． 此外，学生已有的认知结构概括度越高、包容范围越广，那么对新知识的同化越容易．例如微积分和线性代数包含大量数 学的经典思想、方法和原理，换元法概括度高、包容范围广．该方法在微积分里经常使用，通过换元化繁为简，化难为易，实现 从未知向已知转化，从而达到解决问题的目的．这一方法在常微分方程中关于一阶齐次微分方程或者可以化为齐次微分方程 的求解问题、Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ方程的求解问题、常微分方程的参数解以及Ｒｉｃｃａｔｉ方程的求解问题也都有巧妙的应用． ３结合数学建模竞赛运用微分方程基本理论 常微分方程课程的特点是“从实践中来，到实践中去”．微分方程是对自然科学和工程技术中各种不同系统的数学描述， 收稿日期：２０１４—０１—０９ 基金项目：河南省大中专毕业生就业创业研究课题（ＪＹＢ２０１３４０８）；河南省教师教育课程研究课题（２０１３一ＪＳＪＹＹＢ一１１１）；河南 教育学院教育教学改革研究项目（ＪＹＸＭ２０１３１５） 作者简介：何春花（１９７７一），女，河南通许人，河南农业大学信息与管理科学学院讲师． 第２期 何春花等：常微分方程课程教学改革的探索与实践 ｌ二ｌ ｊ｛｛６９ Ｏ¨ 在生物、经济、物理、化学等学科中都有微分方程的应用．很多常微分方程反映的是物理、生物、化学以及气象中的关系模型， 注重微分方程应用，把微分方程理论结果用于解释客观现象，可以培养学生的学习兴趣和积极性．在课堂教学过程中可以注 意数学建模思想的引入，给学生系统地介绍一些方程的实际背景，理论求解以及解的实际意义．结合全国数学建模竞赛培训 课程给学生介绍捕鱼问题、单摆问题和生物种群问题等，从实际背景出发列出方程，然后运用学过的微分方程知识进行求解， 最后再返回到实际问题中，来解释某些实际现象．简单讲授这类模型的研究方法及结果，既巩固了课堂的理论知识，降低了纯 理论讲解的枯燥性，提高了学生的学习兴趣，又极大地增强了学生的学习能力，能够使学生更加理解常微分方程“从实践中 来，到实践中去”的含义，激发学生的学习兴趣． 常微分方程在数学建模中的应用和常微分方程的出现，将生产生活实际与数学理论巧妙地结合起来，给人们提供一种新 的思维和解决问题的方式，把人们的理论从知识型向能力型转变．正因为常微分方程的这种重要意义，才使得它的应用会越 来越广泛． ４指导学生进行小论文撰写。提升创新能力 为落实教育部“要积极推动研究性教学，提高大学生的创新能力”的，结合大学生课外创新创业训练项目可组织学生 成立项目组．依据项目组成员知识结构，通过查阅资料以及讨论，明确研究内容并制订研究方案．这种在课程教学中给学生研 究式的学习训练能充分发挥学生的潜能和优势，进而调动学生的学习积极性，提高教学的质量和层次．还可以根据情况加入 研究实验，将其设在课后或者课程介绍之后．教师带领学生在相关方向确立专题研讨，或者参加建模竞赛．还可以指导学生撰 写科技论文，使得优秀学生充分发挥优势． “基础理论奠基＋思想方法提升＋建模竞赛应用＋科研论文探究”四位一体教学模式的各个模块是相辅相成的．基础理 论是基石，只有做好奠基工程，才能真正做好数学思想方法引入以及建模应用和科研论文撰写的工作．数学思想方法的学习 以及建模竞赛的应用和科研论文的撰写，都有助于更好地理解基础理论．数学思想方法的融入有助于学生更好地运用所学基 础理论建立数学模型并解决实际问题． 常微分方程四位一体教学模式，从学生角度看，有利于提高学习效率、发挥学生学习的积极性和能动性，促进个性化发 展；从教师角度看，也可以提高课堂效率和质量，及时了解学生学习的情况和想法．近几年来，这种教学模式在河南农业大学 和河南教育学院得到了顺利实施并取得了良好效果，学生在考研成绩和录取率、毕业论文撰写、全国大学生数学建模竞赛等 方面都取得了不同程度的进步和提高．同时，常微分课程组的老师也在积极准备建设和申请校精品课程，学习国家级精品课 程的经验，并努力缩小与省级精品课程的差距． 参考文献 刘会民，那文忠，刘兵．《常微分方程》教学改革基础上的大学生创新能力培养［Ｊ］．鞍山师范学院学报，２００８，１０（６）：１４—１６ 欧乾忠．在常微分方程教学中融人数学建模思想探析［Ｊ］．贺州学院学报，２０１２，２８（４）：１３９—１４１． 韩祥临，欧阳成．《常微分方程》精品课程的教学改革与教学实践［Ｊ］．湖州职业技术学院学报，２０１２（１）：８一ｌ１． 刘旭东．常微分方程课程教学改革［Ｊ］．新乡学院学报：自然科学版，２０１２，２９（６）：５６６—５６７． 蓝师义．常微分方程教学改革的探索［Ｊ］．广西民族大学学报：自然科学版，２００９，１５（３）：１０２—１０４． 乔宗敏．应用型背景下的《常微分方程》课程改革研究［Ｊ］．合肥师范学院学报，２０１１，２９（６）：２０—２２． 唐永昆，赵萍．高等财经院校常微分方程课程教学改革探索［Ｊ］．云南财经大学学报：社会科学版，２０１２，２７（２）：１５０—１５１． 刘会民，那文忠，陶风梅．“常微分方程”课程教学模式的改革与探索［Ｊ］．数学教育学报，２００６，１５（１）：７２—７４． 陈华喜．关于应用型本科院校《常微分方程》课程教学改革的思考［Ｊ］．通化师范学院学报，２０１１，３２（２）：９０—９２． 姬利娜，郑群珍．化归思想在常微分方程教学中的应用［Ｊ］．河南教育学院学报：自然科学版，２０１２，２１（１）：５３—５４． Ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｐｒａｃｔｉｃｅ ｏｆ Ｔｅａｃｈｉｎｇ ａｎｄ Ｒｅｆｏｒｍ ｏｆ Ｏｒｄｉｎａｒｙ Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ＨＥ Ｃｈｕｎ—ｈｕａ ，ＺＨＥＮＧ Ｑｕｎ—ｚｈｅｎ ，ＪＩ Ｌｉ—Ｈａ （１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｅｎａｎ Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５０００２，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｈｅｎａｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｆ ｏＥｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５００４６，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｏｒｄｉｎａｒｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｉｎ ｃｏｕｒｓｅｓ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ ｒｅｌａｔｅｄ ｓｐｅｃｉａｌｔｙ．Ｒｅｆｅｒｒｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｏｆ ｓｔｒｏｎｇ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｅｘｔｅｎｓｉｖｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，ａ ｆｏｕｒ—ｉｎ—ｏｎｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍｏｄｅ ｏｆ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｓｕｇｇｅｓｔｅｄ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｓｅｒｖｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｕｌｔｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｎｏｖａｔｉｖｅ ｔａｌｅｎｔｓ．Ｔｈｅ ｍｏｄｅ ｅｍｐｈａｓｉｚｅｄ ｔｈｅ ｕｎｉｆｉｃａ‘ ｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ ｂａｓｉｃ ｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅ ｉｍｐｒｏｖｉｎｇ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｔｈｏｕｇｈｔ，ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ— ｉｎｇ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｒｉｅｎｔｅｄ ｐａｐｅｒ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｏｒｄｉｎａｒｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍｏｄｅ；ｆｏｕｒ－ｉｎ－ｏｎｅ
