2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：10.2 双曲线及其性质

§10.2 双曲线及其性质

考纲解读

考点 考纲内容 要求 2013 浙江省五年高考统计 2014 2015 2016 2017 1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现1.双曲线的实世界和解决实际问题中定义和标准的作用. 方程 2.了解双曲线的定义,掌握双曲线的几何图形和标准方程. 1.理解双曲线的简单几何2.双曲线的性质. 几何性质 2.理解数形结合的思想. 掌握 7,约2分 13(文),4分 9,5分 16,4分 理解 9(文),517(文),49,6分 7,约3分 分 分 分析解读 1.考查双曲线的定义、标准方程及简单的几何性质,一般以选择题、填空题的形式出现,难度不大.

2.重点考查双曲线的渐近线、离心率以及解双曲线上一点与两焦点构成的三角形.

3.预计2019年高考试题中,对双曲线的考查仍会以选择题、填空题的形式出现,难度适中.

五年高考

考点一 双曲线的定义和标准方程

1.(2017天津文,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( ) A.-2

=1 B.

2

-=1

C.-y=1 答案 D

D.x-=1

2.(2017天津理,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( ) A.-=1 C.-=1 答案 B

3.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)已知方程取值范围是( ) A.(-1,3) B.(-1,答案 A

) C.(0,3) D.(0,

-)

B.-=1 D.-=1

.若经过F和P(0,4)两点

=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的

4.(2015天津,6,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,线y=4x的准线上,则双曲线的方程为( )

2

),且双曲线的一个焦点在抛物

A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1

答案 D

5.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( ) A.-=1

B.

-=1

C.

-=1 D.

-=1

答案 A

6.(2016浙江文,13,4分)设双曲线x-=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 . 答案 (2,8)

7.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是 . 答案 2

教师用书专用(8—10)

8.(2015广东,7,5分)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为( ) A.-=1 C.

-=1

B.-=1

2

D.-=1

答案 C

9.(2015福建,3,5分)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|

等于( )

A.11 B.9 C.5 D.3 答案 B

10.(2015安徽,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( ) A.x-=1 答案 C

考点二 双曲线的几何性质 1.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C1:的离心率,则( )

A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<1 C.m1 D.m2.(2017课标全国Ⅱ文,5,5分)若a>1,则双曲线-y=1的离心率的取值范围是( ) A.(,+∞) B.(,2) C.(1,) D.(1,2) 答案 C

2

2

B.-y=1

2

C.-x=1

2

D.y-=1

2

+y=1(m>1)与双曲线C2:-y=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2

22

3.(2017课标全国Ⅰ文,5,5分)已知F是双曲线C:x-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( ) A. B. C. D. 答案 D

4.(2017课标全国Ⅱ理,9,5分)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)+y=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( ) A.2 B.答案 A

5.(2016课标全国Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为( ) A.

B. C.

D.2

C.

D.

2

2

2

答案 A

6.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若则y0的取值范围是( ) A.C.

B. D.

2

·<0,

答案 A

7.(2015课标Ⅱ,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( ) A. B.2 C. D. 答案 D

8.(2015重庆,10,5分)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+

,则该双曲

线的渐近线斜率的取值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-,0)∪(0,) D.(-∞,-)∪(,+∞) 答案 A

9.(2015湖北,8,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则( ) A.对任意的a,b,e1>e2

B.当a>b时,e1>e2;当aD.当a>b时,e1e2 答案 D

10.(201川,5,5分)过双曲线x-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=( ) A.

B.2

C.6 D.4

2

答案 D

22

11.(2014课标Ⅰ,4,5分)已知F为双曲线C:x-my=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )

A. B.3 C.m D.3m 答案 A

12.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为

,则C2的渐近线方程为( )

A.x±y=0 B.x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0 答案 A

13.(2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.3 答案 B

14.(2015浙江,9,6分)双曲线-y=1的焦距是 ,渐近线方程是 . 答案 2

;y=±

x

2

15.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 . 答案

16.(2017课标全国Ⅲ文,14,5分)双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a= . 答案 5

17.(2017北京文,10,5分)若双曲线x-=1的离心率为答案 2

18.(2017课标全国Ⅰ理,15,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为 . 答案

2

,则实数m= .

19.(2016北京,13,5分)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a= . 答案 2

20.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为 . 答案

2

2

21.(2014北京,11,5分)设双曲线C经过点(2,2),且与-x=1具有相同渐近线,则C的方程为 ;渐近线方程为 . 答案

-=1;y=±2x

教师用书专用(22—28)

22.(2014广东,4,5分)若实数k满足0-=1与曲线

-=1的( )

A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等 答案 A

23.(2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=( ) A. B. C.答案 A

24.(2013湖北,5,5分)已知0<θ<,则双曲线C1:-=1与C2:A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 答案 D

-=1的( )

D.

25.(2013天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为A.1 B. C.2 D.3 答案 C

26.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为 . 答案 27.(2013江苏,3,5分)双曲线答案 y=±x

28.(2013陕西,11,5分)双曲线答案 9

三年模拟

2

,则p=( )

-=1的两条渐近线的方程为 .

-=1的离心率为,则m等于 .

A组 2016—2018年模拟·基础题组

考点一 双曲线的定义和标准方程

1.(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,8)点P是双曲线C:-=1(a,b>0)右支上任意一点,F1,F2分别为左、右焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,若4tan=tan,则双曲线C的离心率是( ) A. B. C. D.4 答案 C

2.(2017浙江镇海中学模拟卷二,6)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1的直线l与双曲线的左支交于点A,与右支交于点B.若|AF2|=|BF2|,且|AB|=2b,则双曲线C的离心率是( ) A.

B.

C.

D.

答案 D

3.(2017浙江名校协作体期初,5)点P是双曲线-=1(a>0,b>0)左支上的一点,其右焦点为F(c,0),若M为线段FP的中点,且M到坐标原点的距离为,则双曲线的离心率e的取值范围是( ) A.(1,8] B.答案 B

4.(2018浙江杭州二中期中,12)过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点F的直线l:y=个公共点,则双曲线C的焦距为 ,双曲线C的离心率为 . 答案 8;2

考点二 双曲线的几何性质

5.(2018浙江重点中学12月联考,2)双曲线-=1的离心率是( ) A.

B.

C.

D.

x-4

与C只有一

C.

D.(2,3]

答案 D

6.(2018浙江名校协作体期初,2)双曲线-=1的渐近线方程是( ) A.y=±x C.y=±x 答案 C

7.(2017浙江衢州质量检测(1月),8)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-c,0)(c>0),过点F作圆x+y=的一条切线与圆切于点E,交双曲线右支于点P,若A.

B.

2

2

B.y=±x D.y=±x

=2-,则双曲线的离心率为( )

C. D.2

答案 A

8.(2016浙江嘉兴第一中学期中,7)设双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e=( ) A.1+2 B.4-2 C.5-2 D.3+2 答案 C

B组 2016—2018年模拟·提升题组

选择题

1.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,8)已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,点P是双曲线右支上一点,O为坐标原点.若|PF2|,|PO|,|PF1|成等比数列,则双曲线的离心率为( ) A. B. C.2 D. 答案 A

2.(2018浙江萧山九中12月月考,9)双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,渐近线分别为l1,l2,位于第一象限的点P在l1上,若l2⊥PF1,l2∥PF2,则双曲线的离心率是( ) A. B. C.2 D. 答案 C

3.(2018浙江镇海中学期中,8)已知O,F分别为双曲线E:-=1(a>0,b>0)的中心和右焦点,点G,M分别在E的渐近线和右支上,FG⊥OG,GM∥x轴,且|OM|=|OF|,则E的离心率为 ( ) A.

B.

C.

D.

2

答案 D

4.(2017浙江名校(绍兴一中)交流卷一,9)如图,双曲线-=1(a>0,b>0)的中心在坐标原点,焦点在x轴上,A1,A2为双曲线实轴的两端点,B1,B2为虚轴的两端点,F2为右焦点,直线B2F2与A2B1交于点P,若∠B1PB2为钝角,则该双曲线的离心率的取值范围是( )

A.C.答案 D

5.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,9)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e∈

,A,B是双曲线上

B. D.

关于x轴、y轴均不对称的两个点,线段AB的中垂线与x轴交于P(1,0),AB的中点为C(x0,y0),则x0的取值范围是( ) A.C.

B. D.

答案 B

6.(2017浙江嘉兴基础测试,8)已知双曲线-=1(a>0,b>0)与抛物线y=20x有一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P,若|PF|=17,则双曲线的离心率为( ) A.

B.

2

C. D.答案 B

7.(2016浙江名校协作体测试,7)已知第一象限内的点M既在双曲线C1:-=1(a>0,b>0)上,又在抛物线C2:y=2px(p>0)上,设C1的左、右焦点分别为F1,F2,若C2的焦点为F2,且△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为 ( ) A. B. C.1+ D.2+ 答案 C

8.(2016浙江名校(衢州二中)交流卷五,7)过曲线C1:-=1(a>0,b>0)的左焦点F1作曲线C2:x+y=a的切线,设切点为M,延长F1M交曲线C3:y=2px(p>0)于点N,其中C1,C3有一个共同的焦点,若|MF1|=|MN|,则曲线C1的离心率为( ) A.

B.

-1 C.

+1 D.

2

2

2

2

2

答案 D

C组 2016—2018年模拟·方法题组

方法1 双曲线标准方程的求法

1.已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( ) A.-=1 B.-D.-=1 =1

C.-=1 答案 D

方法2 双曲线的几何性质的解题策略

2.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,9)双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在第一象限,且在双曲线的渐近线上,若PF1⊥PF2,线段PF2的中点Q在双曲线上,则双曲线的离心率是( ) A.-1 B. C. D. 答案 A

3.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,6)已知圆C的圆心与双曲线-y=1(a>0)的右焦点重合,且该圆与此双曲线的渐近线相切,若直线x-( )

y=0被圆C截得的弦长等于1,则双曲线的离心率e的值是

2

A.C.

B.D.

答案 C