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初中几何辅助线技巧秘籍

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初中几何辅助线技巧大全

一 初中几何常见辅助线口诀

人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助线,如何添把握定理和概念。 还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。线段和差及倍半,延长缩短可试验。

线段和差不等式,移到同一三角去。三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现,对称中心等分点。梯形问题巧转换,变为△和□。 平移腰,移对角,两腰延长作出高。如果出现腰中点,细心连上中位线。 上述方法不奏效,过腰中点全等造。证相似,比线段,添线平行成习惯。 等积式子比例换,寻找线段很关键。直接证明有困难,等量代换少麻烦。 斜边上面作高线,比例中项一大片。

\" 圆形 半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径连。 切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证明是切线,半径垂线仔细辨。 是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。 圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。 要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内接圆,内角平分线梦圆 如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。 若是添上连心线,切点肯定在上面。要作等角添个圆,证明题目少困难。

注意点 辅助线,是虚线,画图注意勿改变。假如图形较分散,对称旋转去实验。 基本作图很关键,平时掌握要熟练。解题还要多心眼,经常总结方法显。 切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。分析综合方法选,困难再多也会减。 虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。

二 由角平分线想到的辅助线

口诀:

}

图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。

角平分线具有两条性质:a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线;

②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。 通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线

E(一)、截取构全等

几何的证明在于猜想与尝试,但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的,希望同学们能掌握相关的几何规律,在解决几何问题中大胆地

OFDAC图1-1B去猜想,按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。

^

如图1-1,∠AOC=∠BOC,如取OE=OF,并连接DE、DF,则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

如图1-2,ABAC。

3.已知:如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD,CE⊥AB,

1AE=2(AB+AD).求证:∠D+∠B=180 。

BAAEAAADADBCOEEAPDCACDDBBBEF图2-4E图1-2图2-2NEDCB4.已知:如图2-6,在正方形ABCD中,E为CD 的中点,F为BC

上的点,∠FAE=∠DAE。求证:AF=AD+CF。

ADB图C2-5B图1-4图2-1图2-3图1-3DCDPCMFFC例1. 已

CAFEEAECFADHBEDDB图2-6FCBBH知:如图2-7,在Rt△ABC中,∠ACB=9

图2-7图3-2图示3-1C10 ,CD⊥AB,垂足为D,AE平分∠CAB交CD于F,过F作FH2证:BD=2CE。

分析:给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角形。

*

例3.已知:如图3-3在△ABC中,AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线,过顶点B作BFAD,交AD的延长线于F,连结FC并延长

A交AE于M。

求证:AM=ME。

分析:由AD、AE是∠BAC内外角平分线,可得EA⊥

12BFNDCME图3-3AF,

12从而

12有BF

12AEFBDMnC

图3-4

CHDEAFGBA AD IC C D …B BA 1 2 A \\ C C 图4-1图4-2E已知,B B 如图,∠C=2∠A,AC=2BC。求证:△ABC是直角三角形。

@ C

A B

2.已知:如图,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB,求证:DC⊥AC

A

1 2 C

B ,

3.已知CE、AD是△ABC的角平分线,∠B=60°,求证:AC=AE+CD

E

A

D

\"

B D C

4.已知:如图在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,求证:BC=AB+AD

A 、

C

B D

三 由线段和差想到的辅助线

口诀:

线段和差及倍半,延长缩短可试验。线段和差不等式,移到同一三角去。 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法:

;

1、截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等

于另一条;

2、补短:将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。

对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想办法放在一个三角形中证明。

一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出来,可连接两点或廷长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明,如:

例1、 已知如图1-1:D、E为△ABC内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明:(法一)

将DE两边延长分别交AB、AC于M、N, 在△AMN中,AM+AN>MD+DE+NE;(1)

AMBDENC

在△BDM中,MB+MD>BD;(2) 在△CEN中,CN+NE>CE;(3) 由(1)+(2)+(3)得:

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

图11

∴AB+AC>BD+DE+EC (法二:图1-2)

延长BD交AC于F,廷长CE交BF于G,在△ABF和△GFC和△GDE中有:

AB+AF>BD+DG+GF(三角形两边之和大于第三边)…(1)

)

AGFECDB图12

GF+FC>GE+CE(同上)(2) DG+GE>DE(同上)(3) 由(1)+(2)+(3)得:

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC。

二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内

BGAEDF图21C角时如直接证不出来时,可连接两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角处于这个三角形的内角位置上,再利用外角定理:

例如:如图2-1:已知D为△ABC内的任一点,求证:∠BDC>∠BAC。 分析:因为∠BDC与∠BAC不在同个三角形中,没有直接的联系,可适当添加辅助线构造新的三角形,使∠BDC处于在外角的位置,∠BAC处于在内角的位置;

证法一:延长BD交AC于点E,这时∠BDC是△EDC的外角, ∴∠BDC>∠DEC,同理∠DEC>∠BAC,∴∠BDC>∠BAC 证法二:连接AD,并廷长交BC于F,这时∠BDF是△ABD的 外角,∴∠BDF>∠BAD,同理,∠CDF>∠CAD,∴∠BDF+ ∠CDF>∠BAD+∠CAD,即:∠BDC>∠BAC。

注意:利用三角形外角定理证明不等关系时,通常将大角放在某三角形的外

角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明。

三、 有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,如:

AN例如:如图3-1:已知AD为△ABC的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE+CF>EF。

! 分析:要证BE+CF>EF,可利用三角形三边关系定理

E2314BD图31FC证明,须把BE,CF,EF移到同一个三角形中,而由已知∠1=∠2,

∠3=∠4,可在角的两边截取相等的线段,利用三角形全等对应边相等,把EN,FN,EF移到同个三角形中。

证明:在DN上截取DN=DB,连接NE,NF,则DN=DC, 在△DBE和△NDE中: DN=DB(辅助线作法) ∠1=∠2(已知) ED=ED(公共边) ∴△DBE≌△NDE(SAS)

,

∴BE=NE(全等三角形对应边相等) 同理可得:CF=NF

在△EFN中EN+FN>EF(三角形两边之和大于第三边) ∴BE+CF>EF。

注意:当证题有角平分线时,常可考虑在角的两边截取相等的线段,构造全

等三角形,然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。

四、 截长补短法作辅助线。

例如:已知如图6-1:在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任一点

求证:AB-AC>PB-PC。 -

分析:要证:AB-AC>PB-PC,想到利用三角形三边关系,定理证之,因为

欲证的线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边AB-AC,故可在AB上截取AN等于AC,得AB-AC=BN,再连接PN,则PC=PN,又在△PNB中,PB-PN即:AB-AC>PB-PC。

证明:(截长法)

在AB上截取AN=AC连接PN,在△APN和△APC中 AN=AC(辅助线作法) ∠1=∠2(已知) AP=AP(公共边)

∴△APN≌△APC(SAS),∴PC=PN(全等三角形对应边相等)

#

∵在△BPN中,有PB-PN延长AC至M,使AM=AB,连接PM,

N

A21PD图61C在△ABP和△AMP中

BMAB=AM(辅助线作法) ∠1=∠2(已知) AP=AP(公共边)

>

∴△ABP≌△AMP(SAS)

∴PB=PM(全等三角形对应边相等)

又∵在△PCM中有:CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边)

∴AB-AC>PB-PC。

例1.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,且∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE。

例2如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,AD+AB=2AE,

A D

E B

~

C

求证:∠ADC+∠B=180º

DCAEB例3已知:如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,A=108°,BD平分ABC。 求证:BC=AB+DC。

B A D )

例4如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD是∠CAB的平分线,DM⊥A

1B于M,且AM=MB。求证:CD=2DB。

A

>

C

~

M

C

D

B

1.如图,AB∥CD,AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE,求证:AD=AB+CD。

D

C

E

A B

2.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B,C在AE的异侧,

BD⊥AE于D,CE⊥AE于E。求证:BD=DE+CE

四 由中点想到的辅助线

口诀:

三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。

@

在三角形中,如果已知一点是三角形某一边上的中点,那么首先应该联想到

三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质(直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质),然后通过探索,找到解决问题的方法。

(一)、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

即如图1,AD是ΔABC的中线,则SΔABD=SΔACD=SΔABC(因为ΔABD与ΔACD是等底同高的)。

例1.如图2,ΔABC中,AD是中线,延长AD到E,使DE=AD,DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2,求:ΔCDF的面积。

解:因为AD是ΔABC的中线,所以SΔACD=SΔABC=×2=1,又因CD是ΔACE的中线,故SΔCDE=SΔACD=1,

因DF是ΔCDE的中线,所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。 ∴ΔCDF的面积为。

(二)、由中点应想到利用三角形的中位线

例2.如图3,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证:∠BGE=∠CHE。

证明:连结BD,并取BD的中点为M,连结ME、MF, ∵ME是ΔBCD的中位线, ∴ME

CD,∴∠MEF=∠CHE,

∵MF是ΔABD的中位线, ∴MF

AB,∴∠MFE=∠BGE,

∵AB=CD,∴ME=MF,∴∠MEF=∠MFE,

@

从而∠BGE=∠CHE。

(三)、由中线应想到延长中线

例3.图4,已知ΔABC中,AB=5,AC=3,连BC上的中线AD=2,求BC的长。

解:延长AD到E,使DE=AD,则AE=2AD=2×2=4。 在ΔACD和ΔEBD中,

∵AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD, ∴ΔACD≌ΔEBD,∴AC=BE, 从而BE=AC=3。

.

在ΔABE中,因AE2+BE2=42+32=25=AB2,故∠E=90°, ∴BD=

=

=

,故BC=2BD=2

例4.如图5,已知ΔABC中,AD是∠BAC的平分线,AD又是BC边上的中线。求证:ΔABC是等腰三角形。

证明:延长AD到E,使DE=AD。 仿例3可证: ΔBED≌ΔCAD, 故EB=AC,∠E=∠2, 又∠1=∠2,

∴∠1=∠E,

∴AB=EB,从而AB=AC,即ΔABC是等腰三角形。

(四)、直角三角形斜边中线的性质

A AA AA E D AF # A6 8: CBEEFEB》 B D MDD C FD D ACD23B E C 4CCD BD1CDB 例5.如图6,已知梯形ABCD中,AB

BD

BDECM图图2图511

2:如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.

AEF

B

DC3:如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分∠BAE.

ABDEC

中考应用

(09崇文二模)以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE,BADCAE90,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:AM与DE的位置关系及数量关系.

(1)如图① 当ABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是 ,

~

线段AM与DE的数量关系是 ;

(2)将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后,如

图②所示,(1)问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由.

(二)、截长补短

1.如图,ABC中,AB=2AC,AD平分BAC,且AD=BD,求证:CD⊥AC

ACBD

2:如图,AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E,求证;AB=AC+BD

0ADEBC03:如图,已知在ABC内,BAC60,C40,P,Q分别在BC,CA

上,并且AP,BQ分别是BAC,ABC的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP

|

ABQP

4:如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分ABC,求证:

AC1800

ADC

BC

5:如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC

A 中考应用

*

1P2BDC

(08海淀一模)

(三)、平移变换

为△ABC的角平分线,直线MN⊥AD于为MN上一点,△ABC周长记为长记为

PA,△EBC周

PB.求证

PB>

PA.

%

2:如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:AB+AC>AD+AE.

ABDEC

(四)、借助角平分线造全等

1:如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD

A

2:(06郑州市中考题)如图,△ABC中,A

BEODCD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. (1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=a,AC=b,求AE、BE

A:

的长.

E

中考应用

BGCFD(06北京中考)如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:

(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;

(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,

B 请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立若成立,请证明;若不成立,请说明理M

E O

图①

由。

B F E D

%

P N

A

图②

F }

DC

C

A 图③

(第23题图)

(五)、旋转

1:正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.

ADF

BEC2:D为等腰RtABC斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

(1) 当MDN绕点D转动时,求证DE=DF。 (2) 若AB=2,求四边形DECF的面积。

/

BAEMCFA

N

3.如图,ABC是边长为3的等边三角形,BDC是等腰三角形,且

BDC1200,以D为顶点做一个600角,使其两边分别交AB于点M,交AC于

AMNBC点N,连接MN,则AMN的周长为 ;

中考应用

D

(07佳木斯)已知四边形ABCD中,ABAD,BCCD,ABBC,

∠ABC120,∠MBN60,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或

它们的延长线)于E,F.

当∠MBN绕B点旋转到AECF时(如图1),易证AECFEF. 当∠MBN绕B点旋转到AECF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系请写出你的猜想,不需证明.

A

E

A

A

E M

B B

M

B F C D D D C C ; F (西城09年一模)已知:PA=2,PB=4,ABCD,使P、D 以AB为一边作正方形N N N* F

两点落在直线AB的两侧.

(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

EM

(图1) (图2) (图3)

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

(09崇文一模)在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,

D为ABC外一点,且MDN60,BDC120,BD=DC. 探究:当M、N分别

在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.

图1 图2 图3

{

(I)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间

的数量关系是 ; 此时

Q ; L(II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想(I)问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明;

(III) 如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时, 若AN=x,则Q= (用x、L表示).

六 梯形的辅助线

口诀:

梯形问题巧转换,变为△和□。平移腰,移对角,两腰延长作出高。如果出现腰中点,细心连上中位线。上述方法不奏效,过腰中点全等造。

通常情况下,通过做辅助线,把梯形转化为三角形、平行四边形,是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下:

` 作法 平移腰,转化图形 ADC为三角形、平行四边形。 平移对角线。转化为三角形、平行四边形。 BCEBE DA E延长两腰,转化为三角形。 B:ADC 作高,转化为ADC直角三角形和矩形。 BEF A中位线与腰中点连线。 DEBCF

(一)、平移

1、平移一腰:

例1. 如图所示,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,AB∥DC,AD=15,AB=16,BC=17. 求CD的长.

解:过点D作DE∥BC交AB于点E.

\\

DC

又AB∥CD,所以四边形BCDE是平行四边形. 所以DE=BC=17,CD=BE. 在Rt△DAE中,由勾股定理,得 AE2=DE2-AD2,即AE2=172-152=. 所以AE=8.

所以BE=AB-AE=16-8=8. 即CD=8.

例2如图,梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰BC的

AEBABDC取值范围。 | 解:

过点B

A

D

BM

11(BCAEDE)[BC(AEDE)]2211(BCAD)(31)12211EFGH(BCBGCH)2H 2B C E

DHBDED12BE5S梯形ABCD(ADBC)DH2512565225252AC2CE2(52)2(52)2100AE2SABDSACDSDCE

S梯形ABCDSDBEEHDE2DH2AC2DH2

1521229BHBD2DH22021221611SDBEBEDH(916)12150(cm2)22DCAB如图所示,四边形ABCD中,AD不平行于

BC,AC=BD,AD=BC. 判断四边形ABCD的形状,并证明你的结论A . !

解:四边形ABCD是等腰梯形.

·

证明:延长AD、BC相交于点E,如图所示. ∵AC=BD,AD=BC,AB=BA, ∴△DAB≌△CBA. ∴∠DAB=∠CBA.

EB ED FD C

∴EA=EB.

又AD=BC,∴DE=CE,∠EDC=∠ECD.

而∠E+∠EAB+∠EBA=∠E+∠EDC+∠ECD=180°, ∴∠EDC=∠EAB,∴DC∥AB.

^

DCAB

又AD不平行于BC,

∴四边形ABCD是等腰梯形.

(三)、作对角线

即通过作对角线,使梯形转化为三角形。 例

9

如图

6,在直角梯形

ABCD

中,AD

BEFC1(BCEF)1cm2AE3BE3cm

S梯形ABCD(ADBC)AE43cm22

A

D

E

111OEADEF(BCAD)222B

C

EF1BG21(BCAD)BGBCCGBCAD2若等腰梯形的锐角是60°,它的两底分别

为11cm,35cm,则它的腰长为__________cm.

2. 如图所示,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,AD=2,BC=8,则此等腰梯形的周长为( )

A. 19

A

DB. 20 C. 21 D. 22

BC

3. 如图所示,AB∥CD,AE⊥DC,AE=12,BD=20,AC=15,则梯形ABCD的面积为( )

A. 130 B. 140 C. 150 D. 160

ABDEC

F

A D M E

*4. 如图所示,在等腰梯形ABCD中,已知AD∥BC,对角线AC与BD互相垂直,且AD=30,BC=70,求BD的长. —

B

}

C

ADBC

5. 如图所示,已知等腰梯形的锐角等于60°,它的两底分别为15cm和49cm,求它的腰长.

ADBC

6. 如图所示,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,AD+BC=10,DE⊥BC于E,求DE的长.

ADBEC

7. 如图所示,梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=2∠B,AD+DC=8,求AB的长.

DCAB

**8. 如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,(1)若E是AB的中点,且AD+BC=CD,则DE与CE有何位置关系(2)E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点,则DE与CE有何位置关系

~

ADEBC

1.圆中作辅助线的常用方法:

(1)作弦心距,以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。

(2)若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时,一般连接中点和圆心,利用垂径定理的推论得出结果。

(3)若题目中有“直径”这一条件,可适当选取圆周上的点,连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形。

(4)连结同弧或等弧的圆周角、圆心角,以得到等角。

(5)若题中有与半径(或直径)垂直的线段,如图1,圆O中,BD⊥OA于D,经常是:①如图1(上)延长BD交圆于C,利用垂径定理。 ②如图1(下)延长AO交圆于E,连结BE,BA,得Rt△ABE。

/

图1(上) 图1(下)

(6)若题目中有“切线”条件时,一般是:对切线引过切点的半径, (7)若题目中有“两圆相切”(内切或外切),往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线(连心线过切点)以沟通两圆中有关的角的相等关系。

(8)若题目中有“两圆相交”的条件,经常作两圆的公共弦,使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决,有时还引两连心线以得到结果。 ~

(9)有些问题可以先证明四点共圆,借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。 (10)对于圆的内接正多边形的问题,往往添作边心距,抓住一个直角三角形去解决。

例题1:如图2,在圆O中,B为求∠CBD的度数。

的中点,BD为AB的延长线,∠OAB=500,

解:如图,连结OB、OC的圆O的半径,已知∠OAB=500

∵B是弧AC的中点 ∴弧AB=弧BC ∴AB==BC

又∵OA=OB=OC

∴△AOB≌△BOC() 图2 ∴∠OBC=∠ABO=500 ∵∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800

]

∴∠CBD=1800 - 500- 500 ∴∠CBD=800

答:∠CBD的度数是800.

例题2:如图3,在圆O中,弦AB、CD相交于点P,求证:∠APD

1的度数=(弧AD+弧BC)的度数。

2 证明:连接AC,则∠DPA=∠C+∠A ?

1∴∠C的度数=弧AD的度数

21∠A的度数=弧BC的度数

21∴∠APD=(弧AD+弧BC)的度数。 图3

2

一、造直角三角形法 1.构成Rt△,常连接半径

例1. 过⊙O内一点M ,最长弦AB = 26cm,最短弦CD = 10cm ,求AM长; ¥

2.遇有直径,常作直径上的圆周角

例2. AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,CB交⊙O于D,过D作⊙O的切线,交AC于E. 求证:CE = AE;

3.遇有切线,常作过切点的半径

例3 .割线AB交⊙O于C、D,且AC=BD,AE切⊙O于E,BF切⊙O于F. 求证:∠OAE = ∠OBF;

4.遇有公切线,常构造Rt△(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长) 例4 .小 ⊙O1与大⊙O2外切于点A,外公切线BC、DE分别和⊙O1、⊙O2切于点B、C和D、E,并相交于P,∠P = 60°。

求证:⊙O1与⊙O2的半径之比为1:3; 5.正多边形相关计算常构造Rt△

例5.⊙O的半径为6,求其内接正方形ABCD与内接正六边形AEFCGH的公共部分的面积. 二、欲用垂径定理常作弦的垂线段

例6. AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F.(1)求证:EC = DF; (2)若AE = 2,CD=BF=6,求⊙O的面积;

三、转换割线与弦相交的角,常构成圆的内接四边形

例7. AB是⊙O直径,弦CD⊥AB,M是AC上一点,AM延长线交DC延长线于F. 求证: ∠F = ∠ACM; 四、切线的综合运用

A1.已知过圆上的点,常_________________

例8.如图, 已知:⊙O1与⊙O2外切于P,AC是过P点的割线交⊙O1

O1于A,交⊙O2于C,过点O1的直线AB ⊥BC于B.求证: BC与⊙O2相切.

BPC

例9.如图,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAF交⊙O于E,过E点作直线与AF垂直交AF延长线于D点,且交AB于C点. 求证:CD与⊙O相切于点E.

2.两个条件都没有,常___________________ 例10. 如图,AB是半圆的直径, AM⊥MN,BN⊥MN,如果AM+BN=AB,求证: 直线MN与半圆相切;

例11.等腰△ABC中,AB=AC,以底边中点D为圆心的圆切AB边于E点. 求证:AC与⊙D相切;

例12.菱形ABCD两对角线交于点O,⊙O与AB相切。 求证:⊙O也与其他三边都相切; 五、两圆相关题型

1.两圆相交作_____________________

例13.⊙O1与⊙O2相交于A、B,过A点作直线交⊙O1于C点、交⊙O2于D点,过B点作直线交⊙O1于E点、交⊙O2于F点. 求证:CE∥DF;

2.相切两圆作________________________

例14. ⊙O1与⊙O2外切于点P,过P点的直线分别交⊙O1与⊙O2于A、B两点,AC切⊙O1于A点,BC交⊙O2于D点。 求证:∠BAC = ∠BDP;

3.两圆或三圆相切作_________________

例15.以AB=6为直径作半⊙O,再分别以OA、OB为直径在半⊙O内作半⊙O1与半⊙O2,又⊙O3与三个半圆两两相切。 求⊙O3的半径;

4.一圆过另一圆的圆心,作____________

例16.两个等圆⊙O1与⊙O2相交于A、B 两点,且⊙O1过点O2,过B点作直线交⊙O1于C点、交⊙O2于D点.

求证:△ACD是等边三角形; 六、开放性题目 例17.已知:如图,以△ABC的边AB为直径的O交边AC于点D,且过点D的切线DE平分边BC.

(1)BC与O是否相切请说明理由;

(2)当△ABC满足什么条件时,以点O,B,E,D为顶点的四边形是平行四边形并说明理由. C

C

E D

D A

E B

A O B

O (第23题)

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