初中几何辅助线技巧秘籍

初中几何辅助线技巧大全

一 初中几何常见辅助线口诀

人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。

…

线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。

\" 圆形 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。

、

注意点 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

二 由角平分线想到的辅助线

口诀：

}

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；

②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线

E（一）、截取构全等

几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地

OFDAC图1-1B去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。

^

如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

如图1-2，ABAC。

3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，

1AE=2（AB+AD）.求证：∠D+∠B=180 。

BAAEAAADADBCOEEAPDCACDDBBBEF图2-4E图1-2图2-2NEDCB4.已知：如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD 的中点，F为BC

上的点，∠FAE=∠DAE。求证：AF=AD+CF。

ADB图C2-5B图1-4图2-1图2-3图1-3DCDPCMFFC例1． 已

CAFEEAECFADHBEDDB图2-6FCBBH知：如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=9

图2-7图3-2图示3-1C10 ,CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH2证：BD=2CE。

分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。

*

例3．已知：如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长

A交AE于M。

求证：AM=ME。

分析：由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥

12BFNDCME图3-3AF，

12从而

12有BF

12AEFBDMnC

图3-4

CHDEAFGBA AD IC C D …B BA 1 2 A \\ C C 图4-1图4-2E已知，B B 如图，∠C=2∠A，AC=2BC。求证：△ABC是直角三角形。

@ C

A B

2．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC⊥AC

A

…

1 2 C

B ,

3．已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD

E

A

D

\"

B D C

4．已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD

A 、

C

B D

三 由线段和差想到的辅助线

口诀：

线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：

;

1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等

于另一条；

2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。

一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：

例1、 已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明：（法一）

将DE两边延长分别交AB、AC于M、N， 在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）

（

AMBDENC

在△BDM中，MB+MD>BD；（2） 在△CEN中，CN+NE>CE；（3） 由（1）+（2）+（3）得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

图11

∴AB+AC>BD+DE+EC （法二：图1-2）

延长BD交AC于F，廷长CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：

AB+AF>BD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）…（1）

)

AGFECDB图12

GF+FC>GE+CE（同上）（2） DG+GE>DE（同上）（3） 由（1）+（2）+（3）得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC。

二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内

BGAEDF图21C角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：

例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC。 分析：因为∠BDC与∠BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；

。

证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角， ∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC 证法二：连接AD，并廷长交BC于F，这时∠BDF是△ABD的 外角，∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∴∠BDF+ ∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。

注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外

角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

三、 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：

AN例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE+CF>EF。

！ 分析：要证BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定理

E2314BD图31FC证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，

∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。

证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC， 在△DBE和△NDE中： DN=DB（辅助线作法） ∠1=∠2（已知） ED=ED（公共边） ∴△DBE≌△NDE（SAS）

,

∴BE=NE（全等三角形对应边相等） 同理可得：CF=NF

在△EFN中EN+FN>EF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE+CF>EF。

注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全

等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。

四、 截长补短法作辅助线。

例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点

求证：AB-AC>PB-PC。 -

分析：要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为

欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再连接PN，则PC=PN，又在△PNB中，PB-PN即：AB-AC>PB-PC。

证明：（截长法）

在AB上截取AN=AC连接PN,在△APN和△APC中 AN=AC（辅助线作法） ∠1=∠2（已知） AP=AP（公共边）

∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形对应边相等）

#

∵在△BPN中，有PB-PN延长AC至M，使AM=AB，连接PM，

N

A21PD图61C在△ABP和△AMP中

BMAB=AM（辅助线作法） ∠1=∠2（已知） AP=AP（公共边）

>

∴△ABP≌△AMP（SAS）

∴PB=PM（全等三角形对应边相等）

又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边)

∴AB-AC>PB-PC。

例1．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。

例2如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，

【

A D

E B

~

C

求证：∠ADC+∠B=180º

DCAEB例3已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。 求证：BC=AB+DC。

B A D )

例4如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DM⊥A

1B于M，且AM=MB。求证：CD=2DB。

A

>

C

~

M

C

D

B

1．如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。

D

C

E

A B

？

2.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，

BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求证：BD=DE+CE

四 由中点想到的辅助线

口诀：

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

@

在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到

三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。

例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。

解：因为AD是ΔABC的中线，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中线，故SΔCDE=SΔACD=1，

因DF是ΔCDE的中线，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。 ∴ΔCDF的面积为。

—

（二）、由中点应想到利用三角形的中位线

例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。

证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF， ∵ME是ΔBCD的中位线， ∴ME

CD，∴∠MEF=∠CHE，

∵MF是ΔABD的中位线， ∴MF

AB，∴∠MFE=∠BGE，

∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，

@

从而∠BGE=∠CHE。

（三）、由中线应想到延长中线

例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。

解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。 在ΔACD和ΔEBD中，

∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD， ∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE， 从而BE=AC=3。

.

在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°， ∴BD=

=

=

，故BC=2BD=2

。

例4．如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。

证明：延长AD到E，使DE=AD。 仿例3可证： ΔBED≌ΔCAD， 故EB=AC，∠E=∠2， 又∠1=∠2，

】

∴∠1=∠E，

∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

（四）、直角三角形斜边中线的性质

A AA AA E D AF # A6 8： CBEEFEB》 B D MDD C FD D ACD23B E C 4CCD BD1CDB 例5．如图6，已知梯形ABCD中，AB

BD

BDECM图图2图511

2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

？

AEF

B

DC3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

ABDEC

中考应用

（09崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．

（1）如图① 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，

~

线段AM与DE的数量关系是 ；

（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如

图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由．

（二）、截长补短

1.如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC

，

ACBD

2：如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD

0ADEBC03：如图，已知在ABC内，BAC60，C40，P，Q分别在BC，CA

上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

|

ABQP

4：如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求证：

AC1800

ADC

BC

；

5:如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

A 中考应用

*

1P2BDC

（08海淀一模）

（三）、平移变换

为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于为MN上一点，△ABC周长记为长记为

PA，△EBC周

PB.求证

PB＞

PA.

%

2：如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

ABDEC

（四）、借助角平分线造全等

1：如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

A

2：（06郑州市中考题）如图，△ABC中，A

BEODCD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE

A：

的长.

E

中考应用

BGCFD（06北京中考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，

B 请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理M

E O

图①

由。

B F E D

%

P N

A

图②

）

F }

DC

C

A 图③

(第23题图)

（五）、旋转

，

1：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

ADF

BEC2：D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1） 当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 （2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。

/

BAEMCFA

N

3.如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且

BDC1200，以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于

AMNBC点N，连接MN，则AMN的周长为 ；

中考应用

D

（07佳木斯）已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，

∠ABC120，∠MBN60，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或

它们的延长线）于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF． 当∠MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明．

》

A

E

《

A

A

E M

B B

M

B F C D D D C C ； F （西城09年一模）已知:PA=2,PB=4,ABCD,使P、D 以AB为一边作正方形N N N* F

两点落在直线AB的两侧.

(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

￥

EM

（图1） （图2） （图3）

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

（09崇文一模）在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，

D为ABC外一点，且MDN60,BDC120,BD=DC. 探究：当M、N分别

在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．

图1 图2 图3

{

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间

的数量关系是 ； 此时

Q ； L（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明；

（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时， 若AN=x，则Q= （用x、L表示）．

六 梯形的辅助线

口诀：

梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。

通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下：

` 作法 平移腰，转化图形 ADC为三角形、平行四边形。 平移对角线。转化为三角形、平行四边形。 BCEBE DA E延长两腰，转化为三角形。 B:ADC 作高，转化为ADC直角三角形和矩形。 BEF A中位线与腰中点连线。 DEBCF

（一）、平移

1、平移一腰：

例1. 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的长.

解：过点D作DE∥BC交AB于点E.

\\

DC

又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形. 所以DE＝BC＝17，CD＝BE. 在Rt△DAE中，由勾股定理，得 AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝. 所以AE＝8.

所以BE＝AB－AE＝16－8＝8. 即CD＝8.

例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的

AEBABDC取值范围。 | 解：

过点B

A

作

D

BM

11(BCAEDE)[BC(AEDE)]2211(BCAD)(31)12211EFGH(BCBGCH)2H 2B C E

DHBDED12BE5S梯形ABCD(ADBC)DH2512565225252AC2CE2(52)2(52)2100AE2SABDSACDSDCE

S梯形ABCDSDBEEHDE2DH2AC2DH2

1521229BHBD2DH22021221611SDBEBEDH(916)12150(cm2)22DCAB如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于

BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论A . !

解：四边形ABCD是等腰梯形.

·

证明：延长AD、BC相交于点E，如图所示. ∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA， ∴△DAB≌△CBA. ∴∠DAB＝∠CBA.

EB ED FD C

∴EA＝EB.

又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.

而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°， ∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.

^

DCAB

又AD不平行于BC，

∴四边形ABCD是等腰梯形.

（三）、作对角线

即通过作对角线，使梯形转化为三角形。 例

9

如图

6，在直角梯形

ABCD

中，AD

BEFC1(BCEF)1cm2AE3BE3cm

S梯形ABCD(ADBC)AE43cm22

A

D

E

111OEADEF(BCAD)222B

C

（

EF1BG21(BCAD)BGBCCGBCAD2若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别

为11cm，35cm，则它的腰长为__________cm.

2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为（ ）

A. 19

A

DB. 20 C. 21 D. 22

BC

3. 如图所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，则梯形ABCD的面积为（ ）

A. 130 B. 140 C. 150 D. 160

ABDEC

F

A D M E

*4. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的长. —

B

}

C

ADBC

5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.

ADBC

6. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长.

ADBEC

7. 如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的长.

DCAB

**8. 如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E是AB的中点，且AD＋BC＝CD，则DE与CE有何位置关系（2）E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系

~

ADEBC

1．圆中作辅助线的常用方法：

（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。

（2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。

（3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形。

（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。

（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图1，圆O中，BD⊥OA于D，经常是：①如图1（上）延长BD交圆于C，利用垂径定理。 ②如图1（下）延长AO交圆于E，连结BE，BA，得Rt△ABE。

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图1（上） 图1（下）

（6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径， （7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。

（8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。 ~

（9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。 （10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。

例题1：如图2，在圆O中，B为求∠CBD的度数。

的中点，BD为AB的延长线，∠OAB=500，

解：如图，连结OB、OC的圆O的半径，已知∠OAB=500

∵B是弧AC的中点 ∴弧AB=弧BC ∴AB==BC

又∵OA=OB=OC

∴△AOB≌△BOC（） 图2 ∴∠OBC=∠ABO=500 ∵∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800

]

∴∠CBD=1800 - 500- 500 ∴∠CBD=800

答:∠CBD的度数是800.

例题2:如图3,在圆O中,弦AB、CD相交于点P，求证：∠APD

1的度数=（弧AD+弧BC）的度数。

2 证明：连接AC，则∠DPA=∠C+∠A ?

1∴∠C的度数=弧AD的度数

21∠A的度数=弧BC的度数

21∴∠APD=（弧AD+弧BC）的度数。 图3

2

一、造直角三角形法 1.构成Rt△,常连接半径

例1. 过⊙O内一点M ,最长弦AB = 26cm,最短弦CD = 10cm ,求AM长; ￥

2.遇有直径,常作直径上的圆周角

例2. AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,CB交⊙O于D,过D作⊙O的切线,交AC于E. 求证:CE = AE;

3.遇有切线,常作过切点的半径

例3 .割线AB交⊙O于C、D,且AC=BD,AE切⊙O于E,BF切⊙O于F. 求证:∠OAE = ∠OBF;

4.遇有公切线,常构造Rt△(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长) 例4 .小 ⊙O1与大⊙O2外切于点A,外公切线BC、DE分别和⊙O1、⊙O2切于点B、C和D、E，并相交于P，∠P = 60°。

求证：⊙O1与⊙O2的半径之比为1：3； 5．正多边形相关计算常构造Rt△

例5.⊙O的半径为6,求其内接正方形ABCD与内接正六边形AEFCGH的公共部分的面积. 二、欲用垂径定理常作弦的垂线段

例6. AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F.(1)求证:EC = DF; (2)若AE = 2,CD=BF=6,求⊙O的面积;

三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形

例7. AB是⊙O直径,弦CD⊥AB,M是AC上一点,AM延长线交DC延长线于F. 求证: ∠F = ∠ACM; 四、切线的综合运用

A1．已知过圆上的点，常_________________

例8.如图， 已知：⊙O1与⊙O2外切于P，AC是过P点的割线交⊙O1

O1于A，交⊙O2于C，过点O1的直线AB ⊥BC于B.求证： BC与⊙O2相切.

BPC

例9.如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于E，过E点作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB于C点． 求证：CD与⊙O相切于点E．

2.两个条件都没有,常___________________ 例10. 如图，AB是半圆的直径， AM⊥MN，BN⊥MN，如果AM+BN＝AB，求证: 直线MN与半圆相切；

例11.等腰△ABC中,AB=AC,以底边中点D为圆心的圆切AB边于E点. 求证:AC与⊙D相切;

例12．菱形ABCD两对角线交于点O，⊙O与AB相切。 求证：⊙O也与其他三边都相切； 五、两圆相关题型

1．两圆相交作_____________________

例13.⊙O1与⊙O2相交于A、B，过A点作直线交⊙O1于C点、交⊙O2于D点，过B点作直线交⊙O1于E点、交⊙O2于F点. 求证:CE∥DF;

2.相切两圆作________________________

例14. ⊙O1与⊙O2外切于点P,过P点的直线分别交⊙O1与⊙O2于A、B两点，AC切⊙O1于A点，BC交⊙O2于D点。 求证：∠BAC = ∠BDP；

3．两圆或三圆相切作_________________

例15.以AB=6为直径作半⊙O,再分别以OA、OB为直径在半⊙O内作半⊙O1与半⊙O2，又⊙O3与三个半圆两两相切。 求⊙O3的半径；

4．一圆过另一圆的圆心，作____________

例16.两个等圆⊙O1与⊙O2相交于A、B 两点，且⊙O1过点O2，过B点作直线交⊙O1于C点、交⊙O2于D点.

求证：△ACD是等边三角形； 六、开放性题目 例17．已知：如图，以△ABC的边AB为直径的O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC．

（1）BC与O是否相切请说明理由；

（2）当△ABC满足什么条件时，以点O，B，E，D为顶点的四边形是平行四边形并说明理由． C

C

E D

D A

E B

A O B

O （第23题）