专题4.1 任意角 弧度制与任意角的三角函数(重难点突破)(解析版)

专题4.1 任意角、弧度制与任意角的三角函数

一、考纲要求

1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念． 2.能进行弧度与角度的互化．

3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

二、考情分析

三、考点梳理

考点一 角的概念 1．角的定义

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类

角的分类

象限角：角的终边在第几象限，这

按终边位置 个角就是第几象限角不同分类

轴线角：角的终边落在坐标轴上

正角：按逆时针方向旋转形成的角按旋转方向

负角：按顺时针方向旋转形成的角

不同分类

零角：射线没有旋转

3．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．

知识点二 弧度制及应用 1．弧度制的定义

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．弧度制下的有关公式 角α的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 知识点三 任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 l|α|＝r(弧长用l表示) π180①1°＝180 rad；②1 rad＝π° 弧长l＝|α|r 11S＝2lr＝2|α|r2 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 定义 y叫做α的正弦，记作sin α Ⅰ 各象Ⅱ 限符Ⅲ 号 Ⅳ － ＋ － － － ＋ ＋ － － ＋ x叫做α的余弦，记作cos yx叫做α的正切，记作tan α α ＋ ＋ 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 四、题型分析

重难点题型突破1 角的表示、象限角与轴线角

例1、（1）若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－3x上，则角α的取值集合是( ) A．2k,kZ 3B．2k2,kZ 3C．k2,kZ 3D．k,kZ 3【答案】D

【解析】因为直线y＝－3x的倾斜角是

2π

，所以终边落在直线y＝－3x上的角的取值集合为3

k,kZ，故选D.

3（2）给出下列四个命题：

3π4π

①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．

43其中正确命题的个数为( )

A．1 B．2 C．3 【答案】C

3π4ππ4π【解析】：－是第三象限角，故①错误；＝π＋，所以是第三象限角，故②正确；

4333－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故③正确； －315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故④正确，故选C.

π

kπ≤α≤kπ＋，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) 【变式训练】（1）集合α4





D．4

α

（2）若角α是第二象限角，则是( )

2

A．第一象限角 C．第一或第三象限角 【答案】（1）B （2）C.

ππ【解析】（1）当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤的终边一样，当k＝2n＋1(n

44ππ

∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋的终边一样．

44ππαπ

（2） ∵α是第二象限角，∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.

2422αα

当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．故选C.

22重难点题型突破2 扇形的周长与面积

例2、已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( ) A．2 1

C. 2【答案】A

B．1 D．3 B．第二象限角 D．第二或第四象限角

11

【解析】解法一：设此扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则2r＋l＝4，面积S＝rl＝r(4－2r)＝－r2

22l2

＋2r＝－(r－1)2＋1，故当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.从而α＝＝＝2.

r12l4

解法二：设扇形圆心角的弧度数为α，弧长为l，则l＋＝4.故l＝.

α2

1＋α1l2

又S＝lr＝＝

22α

1884

＝≤＝1.当且仅当α＝，即α＝2时，S取最大值． 22α4α4＋41＋α＋＋4

αα

2

4

例3、(2020·四川乐山、峨眉山二模)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出1

计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”

22π

指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径长为4的弧田(如图所示)，按

3照上述公式计算出弧田的面积为________．

【答案】：43＋2

2πππ11【解析】：由题意可得∠AOB＝，OA＝4.在Rt△AOD中，易得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝OA＝×4

33622π31

＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD＝AOsin ＝4×＝23，可得弦AB＝2AD＝43.所以弧田面积＝(弦×矢＋

3221

矢2)＝×(43×2＋22)＝43＋2.

2

【变式训练1】．（四川省蓉城名校联盟2018-2019学年期末联考）如图，在扇形AOB中半径OA=4，弦长AB=4，则该扇形的面积为（ ）

A．

16 3B．

8 3C．8

D．43 【答案】B

【解析】扇形AOB中，半径OA=4，弦长AB=4，∴∠AOB=∴该扇形的面积为：S扇形=

， 3128××4=．故选B。

323【变式训练2】．（山东省潍坊市2018-2019学年期中）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆

材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦AB1尺，弓形高CD1寸，则阴影部分面积约为（注：3.14，sin22.55，1尺=10寸）（ ） 13

A．6.33平方寸 C．6.37平方寸 【答案】A

B．6.35平方寸 D．6.39平方寸

【解析】连接OC，设半径为r，AD5寸，则ODr1

22在直角三角形OAD中，OA2AD2OD2 即r5r1，解得r13

2则sinAOC5 ，所以AOC22.5则AOB222.545 1345132169所以扇形OAB的面积S166.33

3608三角形OAB的面积S2所以选A。

【变式训练3】．（福建师范大学附属中学2018-2019学年期末）一个钟表的分针长为 10，经过35分钟，分针扫过图形的面积是( )

A．

1101260 所以阴影部分面积为S1S266.33606.33 235 3B．

175 3C．

315 3D．

175 6【答案】B

【解析】经过35分钟，分针走了7个大格，每个大格30 则分钟走过的度数为730210因为钟表的分针长为10 所以分针扫过图形的面积是

210175102 故选B。 36032m

，求cos α，tan α的值． 4

重难点题型突破3 任意角的三角函数

例4、已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sin α＝

【解析】 设P(x，y)．由题设知x＝－3，y＝m，

m2mm

所以r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，r＝3＋m2，所以sin α＝＝＝，

r422所以r＝3＋m2＝22，3＋m2＝8，解得m＝±5.

－3615

当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，所以cos α＝＝－，tan α＝－；

4322－3615

当m＝－5时，r＝22，x＝－3，y＝－5，所以cos α＝＝－，tan α＝.

4322

例5、(2020·白银摸底)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A(x,3)是角θ终边上一点且cosθ＝－

10

，则x＝( ) 10

B．33 D．－1

A．－33 C．1 【答案】D 【解析】cosθ＝－＝－1.

10x10<0及A(x,3)是角θ终边上一点⇒x<0，由三角函数的定义，得2＝－，解得x1010x＋9

【变式训练1】．若角α的终边经过点P(1，3)，则cos α＋tan α的值为( ) 1＋23A.

21＋3C.

2【答案】A.

x1y

【解析】：因为角α的终边经过点P(1，3)，则x＝1，y＝3，r＝|OP|＝2，所以cos α＝＝，tan α＝＝3，

r2x1＋23

那么cos α＋tan α＝，故选A.

2

【变式训练2】．（重庆西南大学附属中学校2019届月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转

－1＋3B． 2－1＋23D． 2

后，终边经过点P(2，1)，则cos2（ ） 4C．A．

2 3B．

22 32 3D．22 3【答案】B

【解析】设旋转之后的角为，由题得，sin3，cos6，又因为22， 4233

所以得cos2cos(22)sin22sincos23622，故选B。 3338，且【变式训练3】．（山东省淄博市淄川中学2018-2019学年期中）已知角的终边上一点m，3cos，则实数m的值为（ ）

5A．6 【答案】B

【解析】由已知得，

B．﹣6

C．10

D．﹣10

3mcoscos0，m0，且， 225m8223m2825m，两边同时平方得9(m)25m解得m6（舍去）或m6答案选B。

五、迁移应用

1．（安徽省合肥市第十一中学2018-2019学年月考）225化为弧度为( )

A．

3 4B．7 4C．5 4D．3 4【答案】C 【解析】22522552，故选C。 36042．（上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年期中）如果是第三象限的角，那么列哪个象限的角（ ）

A．第一象限 【答案】B

【解析】是第三象限的角，则2k,2kB．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

3必然不是下

32，kZ， 所以

22k,k，kZ；所以可以是第一、第三、或第四象限角，故选B。 3333233．（重庆西南大学附属中学校2019届月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转

后，终边经过点P(2，1)，则cos2（ ） 4B．

A．2 322 3C．2 3D．22 3

【答案】B

【解析】设旋转之后的角为，由题得，sin3，cos6，又因为22， 42333622，故选B。 333所以得cos2cos(22)sin22sincos21sin234．（甘肃省武威第一中学2018-2019学年测试）化简的结果为（ ） 2cos31cos42sin4A．－3 【答案】A

B．－1

C．1

D．3

1sin232sin4cos23 【解析】22cos3cos31cos4sin42sin4因为sin40,cos30 所以原式2sin4cos3213故选A。 sin4cos343

5.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P－5，－5.

(1)求sin(α＋π)的值；

5

(2)若角β满足sin(α＋β)＝13，求cos β的值。

4443

【解析】(1)由角α的终边过点P－5，－5，得sin α＝－5.所以sin(α＋π)＝－sin α＝5.

435123

(2)由角α的终边过点P－5，－5，得cos α＝－5.由sin(α＋β)＝13，得cos(α＋β)＝±13. 5616

由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－65或cos β＝65.