基于小波函数的地震动反应谱拟合方法_张郁山

土木工程学报

CHINACIVILENGINEEＲINGJOUＲNAL

Vol．47Jan．No．12014

基于小波函数的地震动反应谱拟合方法

张郁山

赵凤新

（中国地震灾害防御中心，北京100029）

该方法通过调整给定地震动加速度时程，使其反应摘要：提出一种改进的基于小波函数的地震动反应谱拟合方法，

谱以一定精度拟合目标谱。首先，构造一种用于校正的增量加速度小波函数，该函数具有两个特点：①在反应谱的某个固定控制周期点处，对该函数进行时移和线性调幅处理后，将其叠加在初始地震动时程上，所得地震动时程在该控制周期点处的反应谱值与目标值精确相等；②由该函数积分得到的增量速度和增量位移曲线不出现基线漂移，从而保证将其叠加在初始地震动上不会产生附加的基线漂移。其次，基于该小波函数，提出迭代调整方法，以消除反应谱不同控制周期点之间的耦合效应，实现对整个目标谱的拟合。数值算例表明，该方法合成的地震动时程不仅能够以较高的精度拟合目标谱，而且能够保留初始天然地震动的基本特征，从而能够确保结构地震反应分析结果的合理性与可靠性。此外，该方法具有较快的收敛速度，能够通过有限几步迭代调整实现较高的拟合精度。关键词：抗震设计；结构地震反应；反应谱；时程分析；地震动合成中图分类号：P315．9

文献标识码：A

131X（2014）01-0070-12文章编号：1000-

Matchingmethodofground-motionresponsespectrumbased

onthewaveletfunction

ZhangYushan

ZhaoFengxin

（ChinaEarthquakeDisasterPreventionCenter，Beijing100029，China）

Abstract：Animprovedwavelet-basedspectralmatchingmethodisproposedtomodifygivengroundmotiontomakeitsresponsespectrummatchthetargetspectrummoreprecisely．Anincrementalaccelerationwaveletfunctionisconstructedwithfollowingtwoproperties：①atsomecontrollingperiodofresponsespectrum，afterbeingtime-shiftedandlinear-scaled，thewaveletcanbesuperimposedontotheinitialgroundmotiontogenerateanewonewhosespectrumisequaltothetargetvalueatthiscontrollingperiod；②theincrementalvelocityanddisplacementobtainedbyintegratingthewaveletdonotexhibitbaselinedrift，thusthereisnoadditionalbaselinedriftwhensuperimposingitontotheinitialgroundmotion．Basedonthewavelet，aniterativemodificationmethodisproposedtoeliminatethecouplingeffectsamongdifferentcontrollingperiodsofresponsespectrumtorealizethematchingofwholetargetspectrum．Numericalresultsshowthatthegroundmotionsynthesizedbythemethodcannotonlymatchthetargetspectrumwithrelativelyhighprecision，butalsoretainthebasicfeaturesoforiginalnaturalgroundmotion，sotherationalityandreliabilityofanalysisofstructuraldynamicresponsescanbeensured．Inaddition，theproposedmethodcanrealizehighmatchingprecisionwithlimitediterations．

Keywords：aseismicdesign；structuraldynamicresponse；responsespectrum；time-historyanalysis；ground-motionsynthesis

E-mail：hyszhang@163．com

［3］［4］［5］

大跨度桥梁、超高层建筑与隔震建筑、以及罐、

［6］

均需研究结构地震反应的全过程，高耸构筑物等，

从而全面地把握结构地震反应的特征，为更合理地进

引言

各类重大工程结构的抗震设计，如核电厂中的I

［1］［2］

类物项、水电站中的重要雍水建筑、大型储液

国家自然科学基金（51178436）基金项目：北京市自然科学基金（8112029）、

010）和国家科技重大专项（2011ZX06002-作者简介：张郁山，博士，研究员09-21收稿日期：2012-

行结构抗震设计提供依据。这就需要地震动时间过

程，即地震动时程，作为结构地震反应时程分析计算或试验模拟研究的输入。因此，合理地确定输入地震动时程，是确保结构地震反应分析结果合理性和可靠性的关键，也是地震工程重要的研究课题之一。在现阶段，设计地震动均以反应谱的形式给出，各类抗震

第47卷第1期张郁山等·基于小波函数的地震动反应谱拟合方法

［1-7］

·71·

［25］

设计规范均规定了标准设计反应谱的形式，而且

重大工程场址的地震危险度也以反应谱的形式予以

［8-9］

。相应地，定义结构抗震设计规范也均以反应谱通常要求地震作为确定上述输入地震动时程的依据，

动时程的反应谱按照一定精度拟合或包络目标设计

［1，9］

。此外，地震动反应谱在场地土层地震反应分析工作中，通常也要求输入基岩地震动按照一定精度拟

［8］

合地震危险性计算所得到的基岩地震动反应谱。综上所述，已知地震动反应谱，确定与其相应的地震动时程是地震工程理论研究和工程实践中的重要问题。

相对于确定已知地震动时程的反应谱问题，确定拟合目标反应谱的地震动时程是一个反演问题。在地震工程中，除了神经网络算法和遗传算法外，求解该类问题的主要方法是基于地震动频谱分析

［10-11］

［12］

余弦分区的叠加增量简谐波的拟合方法；赵凤新等

提高了利用频域反演方法获得了时域增量窄带波包，迭代调整的收敛速度和拟合精度，而且该方法还被应［26-28］

。用于合成拟合多目标工程参数的地震动时程则是利用小波变换将给定初始

通过调整小波分量的幅时程分解为一些列小波分量，

值，使得时程的反应谱逼近目标谱。该类方法类似于

［19］

在调整过程最初的基于Fourier变换的调整方法，

中，各小波分量的相位同样保持不变；它们的不同之

处在于，小波变换方法在不同控制点处所叠加的增量时程与初始时程的相应小波分量存在一定的比例关系，而不是与基于Fourier变换的谐波分量或窄带波包成比例关系。以上各类方法叠加的增量时程均是基于Fourier变换或小波变换分解初始地震动所得不同分量的线性组合，而另一类方法则是将SDOF体系脉冲响应函数作为增量时程，通过采用奇异值分解求解线性方程组或采用经典方法求解非线性方程［36］组，确定反应谱不同控制点处增量脉冲响应函数的进幅值，以得到需要叠加在初始时程上的增量时程，而实现对目标谱的拟合。

在上述不同调整方法中，所叠加的增量时程均是加速度时程，在大部分情况下对其积分所得的增量速度和增量位移时程曲线会出现基线漂移

［35］

［34-35］

小波变换方法

［15-16，29-33］

与结构动力学原理的拟合方法，即通过处理给定的初

始地震动时程，使其反应谱按一定精度逼近目标反应谱。其中，给定的初始地震动时程可以按照一定的数值方法合成，该类方法通常利用基于随机振动理论得到的反应谱与功率谱

［13-14］

或渐进谱

［15-17］

之间的关系，

或者利用基于结构动力学原理得到的反应谱与

［19］

Fourier幅值谱之间的直接关系［18］，并且将相位或相位差

假定为满足给定概率分布的随机变量，从而

它生成满足同一集系要求的一系列初始地震动时程，

［20］

，从而导致

们的反应谱在统计意义上与目标谱相符，通过对其进

行进一步的调整，可以使其反应谱以一定精度拟合目标谱

［15-16，19-20］

最终所得设计地震动速度和位移曲线出现基线漂

［35］移，进而影响结构地震反应分析结果的可靠性。通常可采用基线校正的方法消除漂移

［28］

。按照这类方法合成的地震动时程曲线

［21］

，但是对最

［15-16］

终结果进行校正而会影响对目标谱的拟合精度，

［15-16，28］

从通常在性态上与实际天然地震动存在一定差异，

因此，美国而影响结构地震反应分析结果的合理性，

3．7．1）已明确禁止将该方核安全标准审查大纲（SＲP-［9］

法合成的地震动时程用于核安全结构的抗震设计，其替代的方法是将实际天然地震动记录作为初始时程，通过对其调整使其满足拟合目标设计反应谱的要求

［9］

对中间结果进行校正则会影响迭代运算的收敛速

Hancock［35］等通过对增量加速度度。基于这种考虑，

消除了增量速度和增量位移时程进行基线校正处理，

的漂移，并进而提出了基于小波函数的反应谱拟合方法，其合成的设计地震动时程较好地保留了原始天然

［35］

在实际工作中得到了较为广泛地震动的基本特性，

的应用。但该方法仍需采用奇异值分解算法求解增

量小波函数的幅值，涉及到较为复杂的运算和一系列主观的控制参数；而且大部分情况下其假定，即在某一时程上叠加一幅值较小的增量时程不影响结构动力反应最大值出现的时刻，无法得到满足，从而影响该方法迭代收敛的速度以及对目标谱的拟合精度。

通过对上述反应谱拟合方法的回顾与总结，本文提出一种基于小波函数的拟合方法，该方法首先构造一种增量位移小波函数，对其进行微分、时移以及线性调幅处理后，得到所需的增量加速度小波函数，将其叠加在初始加速度时程上，通过迭代调整使得最终所得设计地震动的反应谱按一定精度拟合目标加速

。

调整初始时程使其拟合目标反应谱的方法主要是通过在初始时程上叠加一系列满足一定条件的增

量（或校正）时程，通过迭代运算最终获得拟合目标谱的设计地震动时程法

［19］

［15-16，19-20，22-36］

。最初的频域调整方

实际上是在初始时程上叠加一系列窄带波包，而且这些窄带波包的相位在调整过程中保持不变。胡等对该方法进行了改进，考虑Fourier分量对

线性单自由度（SDOF）结构最大反应贡献的正负，并聿贤

针对顽固点提出了相位修正的方法；在此基础上，蔡长青

等提出了叠加增量简谐波的时域叠加法和反

［24］

应谱整体逼近方法；而李海山等则提出了基于相位

［23］［22］

·72·土木工程学报2014年

度反应谱。通过处理具有不同特性的天然地震动记录，使其拟合给定的规范谱，验证了该方法不仅具有较快的收敛速度和较高的拟合精度，而且其所得设计地震动较好地保留了初始天然地震动的基本特征。

刻t0处，加速度和位移值均为零，而速度则达到最大即t＜t1和t＞t2，值；在小波函数的有效区间之外，

－6

增量位移小波函数的值均小于ε（=10）。最终叠加

根据图1到初始加速度时程上的增量时程为Δa（t），

可知，由其积分得到的速度和位移的增量均不会出现漂移，这就保证了通过叠加增量时程Δa（t）对初始加速度时程进行调整不会引起附加的基线漂移。

1小波函数的构造

在调整过程中，需要在初始地震动时程上叠加用于调整的时间函数，以实现对目标谱的拟合，本文将所叠加的函数或时程称为增量函数或增量时程。与

35］文献［的构造方法不同，本文方法首先构造增量位移小波函数，然后对其微分两次得到需要叠加在初始加速度时程上的增量加速度小波函数。这种方式无需对该增量加速度函数进行基线校正，即可保证对初始加速度时程调整过程中所叠加的所有增量时程不出现漂移，从而使得最终所得设计地震动时程的速度与位移不会出现由于校正而附加的基线漂移；也就是说，如果初始地震动不存在基线漂移，那么利用本文方法对其调整后所得地震动也不会出现基线漂移。具体地，按照式（1）构造所需的增量小波函数

2πf（t－t0）］Δd（t）=ψ（t－t0）sin［Δv（t）=

d

Δd（t）dt

（1）

d2

Δa（t）=2Δd（t）

dt

式中：f为所构造小波函数的中心频率；t0控制该小波函数的在时间轴上的位置；Δd（t）、Δv（t）、Δa（t）分别为增量位移、增量速度和增量加速度小波函数，将Δa（t）叠加在初始加速度时程上，意味着在初始速度和初始位移时程上分别叠加了Δv（t）和Δd（t）。在式（1）中，

ψ（t）=

图1

用于调整初始地震动的增量小波函数

Fig．1Incrementalwaveletformodifyinginitialgroundmotion

{exp（－t/c1）exp（－t2/c2）

2

t≤0t＞0

（2）

2调整方法

在本文提出的调整方法中，每一个调整子步骤都

（t0－t1）2（t2－t0）2

c1=－，c2=－

lnεlnε－6

式中：ε一般可取10；t1和t2限定了增量小波函数的有效区间。该有效区间越大，由于共振效应，拟合某一控制点处目标谱所需叠加的增量小波函数的幅值越小，迭代收敛速度越快，但对原始地震动曲线影响t1和t2的范围也就越大。根据大量数值算例的总结，

Tn为反应其中，的取值可分别为t0－n1Tn和t0+n2Tn，

n1的取值范围可为5～谱的控制周期，根据实际情况，

10，n2的取值范围可为2～5。图1给出了由式（1）确定的增量小波函数曲线，

t1=2．0s、t2=18．0s。在时t0=10．0s、其中f=1．0Hz，

是针对某一反应谱的控制周期点，通过叠加增量小波

函数，使得地震动时程在该控制点处的反应谱值与目标值精确相等。设在某一调整子步骤前，地震动时程该调整子步骤对应的目标反应谱的控制记为ag0（t），

目标谱值为ST（Tn，ζ），ζ为阻尼比，则该调周期为Tn，

整子步骤的具体算法为：

1：构造一线性SDOF振子，子步骤-其有阻尼自振阻尼比为ζ，在地震作用前，周期为Tn，振子保持静止状态。则初始地震动时程ag0（t）引起的该振子的绝对加速度反应aa0（t）可表示为：

aa0（t）=ωdag0（τ）e－ζω（t－τ）×

0

∫

t

第47卷第1期

2

张郁山等·基于小波函数的地震动反应谱拟合方法·73·

[(2ζζsin（t－）+cosωd（t－τ）dτ1－ωτd

21－ζ21－槡ζ

)]sgn（x）=

{－1

1

x＞0x＜0

（14）

（3）

其中

ωd=

2π

，ω=Tn

ωd1－ζ2槡（4）

ag1（t）引起的结构反应aa1（t）在时经式（13）调整后，

刻tm，ζ）精确相等。g的绝对值与目标谱值ST（Tn，1～子步骤-5对初始地震动ag0（t）的上述子步骤-调整可用算子PTn，即ζ简化表示，

ag1（t）=PTn，ag0（t）］ζ［

（15）

式（15）表示在拟合控制周期为Tn的目标谱（阻尼比为ζ）时对初始地震动所做的调整。

下面以一实例说明上述调整步骤。初始地震动

Centro波的南北分量，加速度时程ag0（t）为El-其相关的参数见表1，其波形如图2（a）所示。设反应谱的控

制点周期Tn=1．0s，目标谱值ST阻尼比ζ=0．05，（1．0，0．05）=0．4g（1．0g=980cm/s2）。利用式（3），采用数值计算方法可计算出初始时程ag0（t）引起的自

阻尼比为0．05的线性SDOF体系的绝振周期为1．0s、

对加速度反应aa0（t），如图2（b）所示。可以看出，

aa0（t）的最大值，Sa0=0．27g，即ag0（t）的反应谱，与目标谱之差ΔS=ST－Sa0=0．13g，其出现时刻tm，g=12．67s。

|aa0（t）|最大值出现的时刻记为tm，ag0（t）在因此，g，控制周期Tn处反应谱的值为：

Sa0（Tn，ζ）=

aa0（tm，g）

（5）（6）

与目标谱之差为：ΔS（Tn，ζ）=ST（Tn，ζ）－Sa0（Tn，ζ）函数

d2

Δag'（t）=2Δdg'（t）

dt

其中

2πf（t－t0）］Δdg'（t）=ψ（t－t0）sin［

1

f=，t0=tm，g

Tn

（8）（9）（7）

2：参照式（1），子步骤-构造初始增量加速度小波

函数ψ（t）的定义见式（2）。

3：计算Δag'（t）引起的上述SDOF振子的子步骤-绝对加速度反应Δaa'（t）

－（t－）

Δaa'（t）=ωdΔag'（τ）eζωτ×

0

∫

t

[(2

2ζζsinωd（t－τ）+cosωd（t－τ）dτ1－221－ζ1－ζ槡（10）

)]Δaa'（t）最大值出现的时刻记为tm，Δ。

4：为了使得增量小波函数引起的结构最子步骤-1中的时刻tm，大反应出现的时刻等于子步骤-并使g，

得其产生的结构最大反应等于式（6）确定的ΔS（Tn，ζ），需要对式（7）确定的初始增量小波函数进行时移处理，并对其进行线性调幅（即将该函数乘以某一特定系数），即

Δag（t）=

ζ）ΔS（Tn，

Δag'（t－Δt））Δaa'（tm，Δ

（11）

图2Fig．2

初始加速度及其引起的线性SDOF结构绝对加速度反应Initialaccelerationanditsinducedabsoluteacceleration

responseoflinearSDOFsystem

（12）Δt=tm，g－tm，Δ

按照式（11）确定的Δag（t）引起的结构最大反应为ΔS（Tn，ζ），其出现时刻为tm，与初始时程ag0（t）g，

的绝对加速度反应aa0（t）最大绝对值的出现时刻相同。

5：将Δag（t）叠加在初始时程ag0（t）上得子步骤-到经上述子步骤调整后的时程ag1（t）=ag0（t）+sgn［aa0（tm，Δag（t）（13）g）］sgn（x）为符号函数其中，

tm，将Tn、g代入式（7）～式（9）可得初始增量小波

函数Δag'（t），其引起其波形如图3（a）中点线所示，波形如图3（b）中的结构反应Δaa'（t）由式（10）计算，

点线所示。可以看出，Δaa'（t）最大值出现时刻tm，由式（12）可得Δt=tm，g－tm，Δ=14．65s，Δ=－1．98s，使得时刻因此，需要将时程Δag'（t）向后平移1．98s，tm，平移后所得函数Δag'（t－Δt）的波形g重合，Δ与tm，如图3（a）中实线所示，其结构反应曲线如图3（b）中

·74·

表1

Table1

土木工程学报2014年

本文所用强震观测记录的基本信息

Fundamentalinformationonthestrong-motionobservationrecordingsusedinthispaper

地震

台站El-CentroTCU052安县塔水

震级7．07．68．0

震中距（km）

13．039．6102．2

分量南北南北东西

1940年5月19日美国ImperialValley地震1999年9月21日中国集集地震2008年5月12日中国汶川地震

照式（13）叠加在初始时程上，得到时程ag1（t），如图4（a）中实线所示，其中点线为初始时程ag0（t）。为了图中仅给出了上述调整影响范围内二者之更为清楚，

间比较。它们的结构反应曲线分别如图4（b）中的实线和点线所示。可以看出，尽管上述调整对原始波形影响很小，如图4（a）所示，但经调整后所得地震动时程引起的结构最大反应与目标值精确相等，如图4（b）所示。

以上讨论了本文方法对目标谱单独控制周期点的拟合。根据动力学原理，拟合某一控制周期点处目标谱所叠加的小波函数将会对地震动时程在相邻周期点处的反应谱值产生影响，从而影响相邻控制点的拟合精度，这即是反应谱拟合过程中不同控制点之间的耦合效应。这种耦合效应可以通过迭代的方法予以减轻。设给定的目标反应谱为ST（T，ζ），其离散控

2，…，N，N为控制周期点总数）；制周期点为Tn（n=1，

它可以采用数值方法合初始地震动时程为ag，0（t），

［9，21］

，。本文也可以从强震观测数据库中选取

提出的基于小波函数的反应谱拟合方法可归纳如下：

成

［16，20］

（1）第i次迭代调整后，所得地震动时程记为ag，其中i=0即对应初始时程ag，i（t），0（t）。

（2）针对第i次迭代（i=1，2，…），首先，令

ag，i（t）=ag，i－1（t）

（16）

2，…，N），其次，针对每个控制周期点Tn（n=1，

5对ag，1～子步骤-即依次利用子步骤-i（t）进行调整，

ag，ag，，n=1，2，…，N（17）i（t）=PTn，i（t）］ζ［计算所得时程ag，i（t）的反应谱Sa，ζ）=i（Tn，

－ζω（t－τ）

×ωdag，i（τ）e0

∫

t

[(2ζζsin（t－）+cosωd（t－τ）dτ1－ωτd

21－ζ21－ζ槡2

)]max

（18）

及其与目标谱的相对误差

ST（Tn，ζ）－Sa，ζ）i（Tn，

er（Tn，ζ）=

ST（Tn，ζ）

实线所示。可以看出，此时结构反应最大绝对值出现

的时刻与tm，g重合。

将Δag'（t－Δt）利用式（11）线性调幅之后，再按

求，比如其最大绝对值er

max

（19）

（3）如果上述相对误差满足预先设定的精度要

小于精度控制参数εp

（通常可取5%［8］），则所得ag，i（t）即为最终地震动时

第47卷第1期张郁山等·基于小波函数的地震动反应谱拟合方法·75·

直到满足程；否则令i=i+1，重复上述调整步骤（2），

精度要求为止。

需要指出的是，对目标谱拟合精度要求越高，所需迭代调整次数越多，对初始地震动时程基本特性的影响或改变就越大；如果实际工作中，要求不能对初始天然地震动时程的特性改变太大，那么就需要放松对目标谱拟合精度的要求。在实际工作中，应在这种矛盾中寻求一个合理的平衡点。

3算例

本文将通过处理实际天然地震动时程使其拟合目标规范谱，论证上述方法的收敛速度、拟合精度以及对初始天然地震动基本特性的改变程度。共选择3条具有不同特性的天然地震动记录，它们的基本信息如表1所示。目标反应谱依据我国《建筑抗震设计规

（GB50011—2010）［5］第5．1．5条的规定，范》峰其中，值加速度取为0．2g，特征周期为0．4s，阻尼比为0．05，控制周期点总数为78个，大致均匀分布在0．03s～6．0s之间的对数坐标轴上，目标谱如图5中实线所示。

图5Fig．5

目标谱与调整前后地震动的反应谱

Targetspectrumandtheresponsespectraof

thepre-andpost-modificationgroundmotions

El-Centro波表现出了典型的强地面运动加速度Centro波的加速时程的特征，经基线校正后，原始El-度、速度和位移时程曲线如图6中实线所示，其反应谱如图5中虚线所示。利用本文方法对其调整后所得地震动加速度、速度和位移时程曲线如图6中点线所示，可以看出调整前后地震动整体特征变化不大，仅在10s～20s区间增加了一较为显著的低频脉冲（在位移曲线中最为明显），这与原始地震动的反应谱在长周期部分（大于3．0s）低于目标值有关，如图5所示。调整后时程的反应谱如图5中点线所示，其与目标谱之间的相对误差如图7所示，可以看出相对误差的最大

值低于5%。本文所有算例收敛的准则均为由式（19）

定义的相对误差的最大绝对值低于5%。从图5、图7中可以看出，本文方法合成的设计地震动对目标谱具

［8］

有较高的拟合精度，能够满足实际工程的要求。图8给出了每一次迭代调整后所得时程的反应谱与目标谱相对误差最大值与迭代次数的关系，可以看出，针对该算例仅需9次迭代调整即可满足预先设定的精度要求，因此，本文算法具有较快的收敛速度，这也保证

·76·土木工程学报2014年

了迭代调整对原始天然地震动整体特性的影响较小，即所得最终设计地震动时程较好地保留了初始天然地震动的总体特征，如图6所示。为更进一步比较调整前后地震动基本特征的差异，下面给出调整前后地震动累积Arias强度曲线的比较，如图9所示，其中累积Arias强度定义为：

πt2

IA（t）=a（τ）dτ

2g0

∫

（20）

调整前后式中：g为重力加速度。从图9中可以看出，

地震动时程能量累积过程非常相似。

图9Fig．9

Centro）调整前后累积Arias强度曲线比较（El-ComparisonofAriasintensitycurvesbeforeand

aftermodification（El-Centro）

由于震源破裂的方向性效应，在破裂传播方向上的近断层观测点记录到的地震动通常会出现显著的

速度脉冲。1999年中国集集7．6级地震中，TCU052台站记录的地震动即表现出这种特征，对原始加速度记录进行基线校正后所得速度波形出现显著低频脉冲，与其相应，位移波形则出现显著的地面

图8Fig．8

Centro）拟合精度与迭代次数之间的关系（El-Ｒelationshipbetweenmatchingprecisionanditerationnumbers（El-Centro）

永久位移，如图10（a）所示。对其调整后所得地震动波形曲线如图10（b）所示；调整前后地震动反应谱与目标谱的比较如图11所示，累积Arias强度曲线比较

Fig．10

图10调整前后地震动时程曲线比较（TCU052）

Comparisonoftheground-motiontimehistorycurvesbeforeandaftermodification（TCU052）

第47卷第1期张郁山等·基于小波函数的地震动反应谱拟合方法·77·

如图12所示，调整后地震动反应谱与目标谱之间的相

拟合误差与迭代次数之间的关系对误差如图13所示，

如图14所示。可以看出，仅需5次迭代，所得设计地

震动不仅能以较高精度拟合目标谱，而且也保留了原始天然地震动的主要特征，如低频速度脉冲特征和地面永久位移特征等，如图10、图12所示。由于原始地震动的反应谱在中、高频段（低于3．0s）与目标谱相差较大，而在长周期段则比较接近，如图11所示，所以经调整后所得加速度和速度时程变化相对较大，而位移时程则变化很小，如图10所示。在2008年汶川8．0级地震中，由于断层破裂规模很大，不同破裂点辐射出的地震波到达观测点的时间不同，造成某些台站观测到的强地面运动加速度时程表现出特殊的强度非平稳特征：在高幅值强震平稳段后存在幅值相对较低、但持时很长的平稳段，如安县塔水（AXTS）台得到的记录，如图15（a）所示。由于高

幅值平稳段会导致结构损伤而进入非线性工作状态，

进而在低幅值、长持时强震平稳段的作用下，由于低周疲劳效应，结构的损伤会进一步加剧甚至会引起结构最终倒塌，因此，这类特殊的非平稳特性是地震活动强烈地区实现工程结构“大震不倒”设防目标必须考虑的因素。以AXTS加速度记录为初始时程，拟合目标规范谱所得结果如图15～图19所示。可以看出，针对该记录，仅需4次迭代即可达到设定的精度要求，即所得设计地震动时程的反应谱与目标谱相对误差的最大值低于5%；调整后所得加速度时程较好地保留了天然地震动的强度非平稳特性，而且速度、位移以及累积Arias强度曲线相比原始天然地震动的变化也不是很大，如图15和图17所示。

本文方法合成通过以上3个不同算例可以看出，

的设计地震动不仅能够以较高的精度拟合目标谱，而且能够最大限度地保留初始天然地震动的主要特征。此外该方法的收敛速度较快，通常仅需有限几步迭代

·78·土木工程学报2014年

图15

Fig．15

调整前后地震动时程曲线比较（AXTS）

Comparisonoftheground-motiontimehistorycurvesbeforeandaftermodification（AXTS）

图16Fig．16

目标谱与调整前后地震动的反应谱比较（AXTS）Comparisonoftargetspectrumandtheresponsespectraofthepre-andpost-modification

groundmotions（AXTS）

调整即可达到较高的精度要求，这不仅提高了计算效率，而且能够保证对初始时程的调整不会对其主要特征产生较大的影响，本文的算例均说明了这一点。

4结论

本文提出了一种改进的基于小波函数的地震动

反应谱拟合方法，该方法通过调整给定的初始地震动时程，使其反应谱以一定精度拟合目标反应谱。首先，

第47卷第1期张郁山等·基于小波函数的地震动反应谱拟合方法·79·

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图19Fig．19

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iterationnumbers（AXTS）

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构造一种位移小波函数，对其进行微分、时移和线性

调幅处理，得到增量加速度小波函数，该函数积分所得增量速度和增量位移小波函数不存在基线漂移，因此，如果初始地震动速度和位移不存在基线漂移，那么将上述增量加速度小波函数叠加在初始加速度时程上，所得地震动的速度和位移也不会出现漂移。其次，在每个控制周期点处，通过叠加满足一定条件的上述增量加速度小波函数，可以使得所得地震动在该控制点处的反应谱值与目标值精确相等，而相邻控制点的相互影响则可以通过迭代的方式予以减轻。由于在各个控制点处所叠加的增量小波函数的中心频率与该控制点的频率相等，因此相比增量窄带波包方法

［25-28］

，本文方法在某一控制点叠加的增量小波函数

对原始地震动在相邻控制点的反应谱值影响较小。也就是说，在本文方法中，相邻控制点之间的耦合效应较弱，因此该方法具有较快的收敛速度。此外，数值算例还表明，该方法合成的设计地震动时程不仅对目标反应谱具有较高的拟合精度，而且能够非常好地保留初始天然地震动的基本特征。

由于篇幅所限，本文仅讨论了拟合单阻尼目标谱的情况。而在实际工程中，主要是在核电厂结构的抗震设计工作中

［1，9，26，28］

，还需要合成同时拟合多阻尼目

标谱的地震动时程。相比于单阻尼情况，多阻尼反应谱的拟合更为复杂，为加快计算的收敛速度，还需对迭代算法进行优化，而且还需要考虑其他一些计算细节，这已超出本文的范围，将会另文讨论。

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