高中数学函数知识点梳理

高中数学函数知识点梳理

1. .函数的单调性

(1)设x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数. (x1x2)f(x1)f(x2)0x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数. 注：如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.

(x1x2)f(x1)f(x2)02. 奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

注：若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).

注：对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数xab;两个函数2yf(xa)与yf(bx) 的图象关于直线xab对称. 2a注：若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;若f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a2的周期函数.

3. 多项式函数P(x)anxnan1xn1a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数yf(x)的图象的对称性

(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)

f(2ax)f(x).

(2)函数yf(x)的图象关于直线xab对称f(amx)f(bmx) 2f(abmx)f(mx).

4. 两个函数图象的对称性

(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称. (2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x(3)函数yf(x)和yf1ab对称. 2m(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.

5. 互为反函数的两个函数的关系

f(a)bf1(b)a.

27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y是y1[fk1(x)b],并不是y[f1(kxb),而函数y[f1(kxb)1[f(x)b]的反函数. k6. 几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.

x(2)指数函数f(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

(4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1).

(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

'f(0)1,limx0g(x)1. x7. 几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a； （2）f(x)f(xa)0，

1(f(x)0)， f(x)1或f(xa)(f(x)0),

f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a； 21(3)f(x)1(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a；

f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，则f(x)的周期T=4a；

1f(x1)f(x2)(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a； (6)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=6a.

或f(xa)8. 分数指数幂

(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）. （a0,m,nN，且n1）.

a9. 根式的性质 （1）(na)na. （2）当n为奇数时，nana； 当n为偶数时，an|a|10. 有理指数幂的运算性质

(1)aaana,a0.

a,a0(a0,r,sQ).

rsrs(2)(a)a(a0,r,sQ).

rrr(3)(ab)ab(a0,b0,rQ).

注：若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式

p

rsrslogaNbabN(a0,a1,N0).

34.对数的换底公式

logmN (a0,且a1,m0,且m1, N0).

logmann推论 logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1, N0).

mlogaN11. 对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)logaMlogaN;

MlogaMlogaN; Nn(3)logaMnlogaM(nR).

(2)loga22注：设函数f(x)logm(axbxc)(a0),记b4ac.若f(x)的定义域为R,则a0，且0;若f(x)的值

域为R,则a0，且0.对于a0的情形,需要单独检验.

12. 对数换底不等式及其推论

1,则函数ylogax(bx) a11(1)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为增函数.

aa11(2)(2)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为减函数.

aa若a0,b0,x0,x推论:设nm1，p0，a0，且a1，则 （1）logmp(np)logmn. （2）logamloganloga2mn. 2