不等式试题

一．不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a则abc,d，cbd（若ab,cd，则acbd），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若ab0,cd0，则acbd（若ab0,0cd，则

ab； ）

cdnn3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若ab0，则ab或nanb；

11114．若ab0，ab，则；若ab0，ab，则。如

abab（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：

2222 ①若ab,则acbc； ②若acbc,则ab；

1122 ③若ab0,则aabb； ④若ab0,则；

abba ⑤若ab0,则； ⑥若ab0,则ab；

abab11 ⑦若cab0,则； ⑧若ab,，则a0,b0。 cacbab其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知1xy1，1xy3，则3xy的取值范围是______

（答：13xy7）；

（3）已知abc，且abc0,则

c的取值范围是______ a（答：2,）

12二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；

8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如

1t1的大小 logat和loga221t11t1（答：当a1时，logatloga（t1时取等号）；当0a1时，logatloga2222（t1时取等号））；

1a24a2（2）设a2，pa，q2，试比较p,q的大小

a2（答：pq）；

（3）比较1+logx3与2logx2(x0且x1)的大小

44（答：当0x1或x时，1+logx3＞2logx2；当1x时，1+logx3＜2logx2；当

33（1）设a0且a1,t0，比较

x4时，1+logx3＝2logx2） 3三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”

这17字方针。如

（1）下列命题中正确的是

A、yx B、y1的最小值是2 xx23x22的最小值是2

4(x0)的最大值是243 x4 D、y23x(x0)的最小值是243 x C、y23x（答：C）；

（2）若x2y1，则2x4y的最小值是______

（答：22）；

（3）正数x,y满足x2y1，则

11的最小值为______ xy（答：322）；

22ab4.常用不等式有：（1）abab2(根据目标不等式左右的运算结构选2211ab222用) ；（2）a、b、cR，abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）；（3）若

bbm，则（糖水的浓度问题）。如 ab0,m0aam如果正数a、b满足abab3，则ab的取值范围是_________

（答：9,）

五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分

解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).

11111112 nn1n(n1)nn(n1)n1n111k1kkk1 k1k2kk1k222222如（1）已知abc，求证：abbccaabbcca ；

222222(2) 已知a,b,cR，求证：abbccaabc(abc)；

xy11（3）已知a,b,x,yR，且,xy，求证：； xaybababbcca(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：lglglglgalgblgc；

222222222（5）已知a,b,cR，求证：abbccaabc(abc)；

常用的放缩技巧有：

2*(6)若nN，求证：(n1)1(n1)n21n；

(7)已知|a||b|，求证：

|a||b||a||b|；

|ab||ab|（8）求证：11112。 22223n六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一

个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如

（1）解不等式(x1)(x2)0。

（答：{x|x1或x2}）；

（2）不等式(x2)x2x30的解集是____

（答：{x|x3或x1}）；

（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)0的解集为{x|1x2}，g(x)0的解集为，则不等式f(x)g(x)0的解集为______

（答：(,1)[2,)）；

（4）要使满足关于x的不等式2x9xa0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式

222x24x30和x26x80中的一个，则实数a的取值范围是______.

（答：[7,81)） 8七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解

因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如

（1）解不等式

5x1

x22x3（答：(1,1)(2,3)）；

（2）关于x的不等式axb0的解集为(1,)，则关于x的不等式____________

axb0的解集为x2（答：(,1)(2,)）.

八．绝对值不等式的解法：

1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2（2）利用绝对值的定义；

（3）数形结合；如解不等式|x||x1|3

（答：(,1)(2,)）

（4）两边平方：如

若不等式|3x2||2xa|对xR恒成立，则实数a的取值范围为______。

（答：{}）

九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是„”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如

31x|2|x| 42（答：xR）；

4321，则a的取值范围是__________ 32（答：a1或0a）；

3（1）若logaax2（2）解不等式x(aR)

ax1（答：a0时，{x|x0}；a0时，{x|x11或x0}；a0时， {x|x0}或x0}）aa提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值

往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式axb0 的解集为

(,1)，则不等式

x2（－1,2）） 0的解集为__________（答：

axb十一．含绝对值不等式的性质：

a、b同号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|； a、b异号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|.

如设f(x)xx13，实数a满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)

十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方

程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题

若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxminA 若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB

如（1）设实数x,y满足x(y1)1，当xyc0时，c的取值范围是______

（答：21,）；

222（2）不等式x4x3a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____

（答：a1）；

2（3）若不等式2x1m(x1)对满足m2的所有m都成立，则x的取值范围_____

（答：（

n7131,））； 22(1)n1（4）若不等式(1)a2对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_____

n3（答：[2,)）；

22（5）若不等式x2mx2m10对0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围.

1（答：m）

22). 能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,则等价于在区间D上fxmaxA； 若在区间D上存在实数x使不等式fxB成立,则等价于在区间D上的fxminB.如 已知不等式x4x3a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围____

（答：a1）

3). 恰成立问题

若不等式fxA在区间D上恰成立, 则等价于不等式fxA的解集为D； 若不等式fxB在区间D上恰成立, 则等价于不等式fxB的解集为D.