中考数学一元二次方程(大题培优)及答案解析

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．

（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同） 【答案】详见解析 【解析】

试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；

（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．

试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得： 10（1+x）2=14.4，

解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2， 答：年平均增长率为20%；

（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得： 2009年底汽车数量为14.4×90%+y，

2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y， ∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464， ∴y≤2．

答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆． 考点：一元二次方程—增长率的问题

2．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．

(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？

(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？

(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？

【答案】（1）PQ=62cm；（2）s或12cm2． 【解析】

8524s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为 5试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；

（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；

（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时． 试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．

则根据题意，得

EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm； 在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得 PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2， ∴PQ=62cm；

∴经过2s时P、Q两点之间的距离是62cm； （2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm． （16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64， ∴16-5x=±8，

824，x2=；

55824∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；

55∴x1=

（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．

①当0≤y≤∴

16时，则PB=16-3y， 311PB•BC=12，即×（16-3y）×6=12， 22解得y=4；

②当

1622＜x≤时，

33BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则

11BP•CQ=（3y-16）×2y=12， 22解得y1=6，y2=-③

2（舍去）； 322＜x≤8时， 3QP=CQ-PQ=22-y，则

11QP•CB=（22-y）×6=12， 22解得y=18（舍去）．

综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2． 考点：一元二次方程的应用．

3．计算题

1x2÷（1+2（1）先化简，再求值：），其中x=2017．

x1x1（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值． 【答案】（1）2018；（2）m=4 【解析】

分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；

（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.

1x2÷（1+2详解：（1））

x1x1x2x211= 2x1x1x2x1x1= 2x1x=x+1，

当x=2017时，原式=2017+1=2018

（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，

∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0， 解得，m=4

点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.

24．解方程： 12x）（x26x9

【答案】x14，x22 3【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.

试题解析：因式分解，得

22 （12x）（x3）开平方，得

12xx3，或12x （x3）解得x14，x22 3

5．已知两条线段长分别是一元二次方程x28x120的两根， （1）解方程求两条线段的长。

（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。 （3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。 【答案】（1）2和6；（2）22；（3） 【解析】 【分析】

（1）求解该一元二次方程即可;

（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；

（3）设分为两段分别是x和6x，然后用勾股定理求出x，最后求面积即可. 【详解】

解：（1）由题意得x2x60， 即：x2或x6， ∴两条线段长为2和6；

（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3， 由勾股定理得：该等腰三角形底边上的高为：3212=22 ∴此等腰三角形面积为

831222=22． 2（3）设分为x及6x两段

x2226x

2∴x8， 32x8， 23∴S8∴面积为.

3【点睛】

本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键.

6．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱． （1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？ （3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元? 【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元 【解析】 【分析】

（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x, （2）解一元二次方程即可求解,

（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解. 【详解】

解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,

设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60), (2)依题意得：

（x-40）(-10x+780)=3570, 解得：x=57,

∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元. （3）设每星期的利润为w，

W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610, ∵-100,二次函数向下,函数有最大值, 当x=59时, 利润最大，为3610元. 【点睛】

本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.

1）＝0． 2（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；

7．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣

（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？ 【答案】（1）详见解析；（2）k＝【解析】 【分析】

（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；

（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可． 【详解】

（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣∴该方程总有实数根；

3或2． 21）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0， 22k＋12k﹣3

2∴x1＝2k﹣1，x2＝2，

（2）x=∵a、b、c为等腰三角形的三边， ∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，

3或2． 2【点睛】

∴k＝

本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.

8．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每 千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市 民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元． （1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的

3倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一2天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加 20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的 售价定位为每千克多少元？

（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调 a%出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了 a%，且储备排骨的销量占总销量的骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了

5，两种排71a%，求 a 的值． 28【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a=35. 【解析】 【分析】

（1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x元，则每千克的利润为10-x元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；

（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】

解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克 年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克， 11月的进货价为： 403260元/千克

设每千克降价x元，则每千克的利润为70-60-x=10-x元，日销量为100+20x 千克 则(10020x)(10x)1000，

解得x10，x25

因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元. （2）根据题意可得

70(1a%)100(1a%)解得a135,a20(舍去) 所以a=35. 【点睛】

5270100(1a%)701007711a% 28本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令a%t，解方程求出t后再求a的值.

9．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根． （1）求m的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围． 【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4． 【解析】

试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围． 试题解析：

（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0， 解得m≤4；

（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，

而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20， 解得m≥3， 而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．

10．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件： （1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？

（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加求出m的值．

【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16． 【解析】

试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可； （2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+150（x﹣20）=2250， 解得x=35，

答：销售单价至少为35元；

（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+150+m﹣

m﹣150×m%﹣m%×m2=12，

m=162，

m）=5670，

m），列出方程求解即可．

m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，

试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，

60m﹣3m2=192， m2﹣20m+64=0， m1=4，m2=16， ∵要使销售量尽可能大， ∴m=16．

【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．