2011年江苏专转本高等数学试卷及答案

江苏省 2011 年普通高校专转本统一考试试卷

高等数学 试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题卷的指定位置上）

x 2

1、当x0 时，函数 f(x) e x1是函数g(x) x 的 。

A、高阶无穷小 B、低阶无穷小 C、同阶无穷小 D、等价无穷小

评析：本题是考查无穷小阶的比较，两个无穷小之间的关系通过作“商的极限”可以得出相 x  1 e x e x 1 x 1

应的关系，因为lim lim lim （常数），所以当x0时函数 f(x) 2

x 2x 2x 2

与函数g(x)为同阶无穷小，因此选 C。这种题型还是比较常见的，关键是掌握无穷小阶的

比较的概念，即有三种关系：高阶、同阶（包括等价）、低阶。

f (x h)f(x h)

2、设函数 f(x)在点x 处可导，且lim 0 0 4，则 f (x )。

h0 h

A、4 B、2 C、2 D、4

评析：本题是一道经典的关于导数定义的考查题型，即通过导数的定义来构造极限。

f (x h)f(x h) f(x h)f(x h)

h0

h h0 2h

 0

f(x0)2，因此选B。

3 2

3、若点(1,2)是曲线 yax bx 的拐点，则 。

A、a1,b3 B、a3,b1 C、a1,b3 D、a4,b6

评析：本题间接地考查了导数的应用，即利用已知极值点或拐点的有关信息反求函数中的参

3 2

数。对于多项式函数 yax bx ，显然满足二阶可导的，因此点(1,2)一定是使得二阶

导数等于零的点，因为 y6ax2b，所以 y(1)6a2b0，又点(1,2)本身也是曲

线 yax bx 2 上的点，所以y(1)ab2，结合两个关于a,b的方程解得a1,b3，

3

因此选A。

4、设z f(x,y)为由方程z

3

3yz3x 8所确定的函数，则 z 。

|x0 y y0

1 1 A、 B、

2 2

C、2 D、2

Author:mathtriones&数学伯伯

评析：本题考查二元隐函数求偏导，利用的是构造三元函数F(x,y,z)z

3

3yz3x8，

y

  则Fy 3z，Fz 3z 3y，于是

2

F

y

z

F

z 32 1

入到原方程中得z 2，所以 |   ，因此选B。 x0 y y0 32 30 2

3z 2 3y



3z 2 3y

；把x0,y0代

2

5、如果二重积分 f(x, y)dxdy可化为二次积分 d



D



0

1

2

y

f(x,y)dx，则积分域 D 可表示

y1

为 。

A、{(x,y)|0x1,x1y1} B、{(x,y)|1x2,x1y 1}

C、{(x,y)|0x1,x1y0} D、{(x,y)|1x2,0yx1}

评析：本题与以往我们平时做的关于交换二次积分次序有所不同，但实际上本质还是一样的， 因为如果我们要交换二次积分次序就必须要根据“四个上下限”画出积分区域D，然后再交

换所谓的积分次序，而本题考查的仅仅只是积分区域 D 的形式是什么样的。根据已知二次

1 2

积分 dy f(x,y)dx，它是 Y-型的，画出积分区域D如图

0 y1



从图上看，阴影部分即为{(x,y)|1x2,0yx1}，因此选 D。

6、若函数 f(x) 

1

的幂级数展开式为 f(x) 2x

 ax (2x2)，则系数a

n0

n

n

。

A、 n

2

1

B、

1 2

n1

C、

(1) 2 n

n



D、

(1) 2

n



评析：本题考查幂级数的展开式， y

1 n 1 1 1 x (1) n

    (n1) ( )   x ， 1 2x 2 1 x 2 n0 2 n0 2

2

n n

n1



n

n (1)

所以a n ，因此选D。 2 n1

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

7、已知lim( ) e ，则k 。

x2

x

x

评析：本题考查幂指函数求极限，是历年来的重点考查内容，它是利用重要极限的推广公式，

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)kx x2 kx 2 kx x 2x 因为lim( ) lim(1 ) e e 2k ，所以e e 2 ，即k 1。

x x x x

2k lim(

x2

8、设函数(x) 0 ln(1t)dt ，则(1)。 

评析：本题考查变上限积分求导，也是历年来的考查重点，只是今年稍微有所不同，首先本 x  2 x ln(1  x ) ， 2 题求的是二阶导数，其次求的是具体点的导数值，(x)ln(1x)22

2 1 4x

(x)2[1ln(1x )x2x]2ln(1x )，所以(1)22ln2。  x 2 1x 2 1

9、若|a|1,|b|4,ab2，则|ab|。

ab 1

评析：本题考查向量叉乘模的定义，由已知可得cos，所以 与 的夹角a b

|a||b| 2

，于是|ab||a||b |sin2 3。

3

10、设函数yarctan x ，则dy|x1。



1 1 y(1)，即dy dx。

4 4



2 xdx的值为 。 11、定积分 1)sin (x3 2

1 1 1 1( x) 2 2 x 2 x(1x)

评析：本题考查定积分化简计算，即利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性化简定积分



2 计算。 2

sin xdx  x sin xdx 2sin xdx  2 xdx 2 sin2   ( x  1)

2 2 2

1  2 2 2

12、幂级数 的收敛域为 。

n0 n1

x n

1

lim n  2 1

n1

n1

R1

1) n x n (

当 时， （收敛-莱布尼茨判别法）；

n0 n1 n0 n1

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x 1

  （发散-P 级数）；

n 0 n1 n 0 n1 

n [1,1)

综上，收敛域为 。

当x1时，



三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

2 (e x e  x )

13、求极限lim 2 。

ln(1x )

评析：本题考查极限计算的罗比达法则和等价无穷小替换方法

2 x x x x (e x e  x ) 2(e e )(e e )

原式=lim lim 2

x 2x

e  x e x  e x e x

2lim 2lim 4

x0 x x0 1

14、设函数yy(x)由参数方程 所确定，求 。

y 2 dx



2



评析：本题考查参数方程求导，不过有一点与以往此类题型不同，那就是 y关于t是一个隐

函数方程，需要通过隐函数求导的方法来求出 。

dy

dx dy

由已知可得 dy 2t1；对方程e yt 两边同时关于t求导得e 2t，解得

dt dt dt

dy 2t

y dt e 1 ，所以 

y

dt ey 1 dx 2t1 (e 1)(2t1)

dt

dt

15、设 f(x)的一个原函数为x sinx，求不定积分 dx。



f(x)

x

评析：本题是考查原函数的概念，并计算不定积分

2 2

由已知可得 f (x)(x sinx)2xsinxx cosx，所以

2 f(x) 2xsinxx cosx

dxdx (2sinxxcosx)dx 

x x

2 sinxdxxcosxdx2cosxxd(sinx)2cosxxsinxsinxdx 

2cosxxsin xcosxC cosxxsin xC

16、计算定积分 dx。



3

1x1

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评析：本题考查换元法求定积分

令 x1t，则x t 1，dx 2tdt ，当x0 时t 1，当x 3时t 2，代入得

2



3

2 2 2 t ) 3 2 2 dx2tdt (2t 2t)dt ( 2t  

1x1 1t 3 3

x y z

17、求通过x轴与直线 的平面方程。

2 3 1

评析：本题考查平面的方程，可以利用点法式或一般式

这里我们利用平面方程的一般式，设所求平面方程为AxByCzD 0，因为该平

面经过x轴，所以必有AD0，即此时所求平面为ByCz 0；又该平面经过已知直

x y z

线 ，所以所求平面的法向量(0,B,C)与已知直线的方向向量(2,3,1)垂直，即 2 3 1

3BC 0，得C 3B ，代入所求平面方程得By3Bz 0，即y3z 0。

y 2 z

18、设z xf ( ,y)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 。

x xy

评析：本题考查多元抽象复合函数求偏导

z y

 y 1 2 1

x x x

2 z 1 1 1

 1 2 1

xy 12 x x x

11

1 1 y y y

y 1 2 1 11 12 2 11 x 12 x x x x x

2 19、计算二重积分 ydxdy，其中 D是由曲线 y2x ，直线 yx及y轴所围成的

 D

平面闭区域。

评析：本题考查二重积分计算，并利用极坐标变换

2 2 2

ydxdy dr sindr sin( )d 

3

D

 2 2 34 3  ) 42 2 sind(cos 2 

3 2 3 2 3

x '

20、已知函数 y(x1)e 是一阶线性微分方程y 2yf(x)的解，求二阶常系数线性微

33

\" '

分方程y 3y 2y f(x)的通解。

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评析：本题考查二阶常系数线性微分方程，不过必须先求出 f(x)的表达式才行进行求解

由已知可得 f(x)e x (x1)e x 2(x1)e x (3x4)e x ，于是所求二阶常系数线性

微分方程为y 3y 2y (3x4)e

\"

'

x

先求特征方程得r 3r20，得特征根为r1 1,r2 2，所以原方程对于齐次方

2

x

C2e

2x

程的通解为Y C1e

；又1不是特征根，所以原方程的一个特解形式为

y* (AxB)e x ，则y * (AxAB)e ， y (Ax2AB)e ，代入原方程得

(Ax2AB)e x 3(AxAB)e x 2(AxB)e x (3x4)e x ，化简得

x * x

6Ax5A6B3x4，由待定系数法得

，解得A,B；

5A6B 4 2 4

6A3

2x 1 1 x

x )综上所求方程的通解为y C1e C2e (

x

2

4 e

四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21、证明：方程xln(1x )2有且仅有一个小于2的正实根。

2

评析：本题考查方程根的讨论，利用零点定理并结合函数单调性

2x 2

令 f(x)xln(1x )2，则 f(x)ln(1x )0，所以 f(x)满足单调 2

1x

递增；又 f (0)20, f(2)2ln520，所以由零点定理可知方程xln(1x )2有

2

且仅有一个小于 2的正实根。

22、证明：当x0 时，x 20102011x

2011

评析：本题考查不等式证明，利用函数单调性（需要分区间讨论）或者利用最值法，这里我 们用最值法解答

2011

设 f(x)x 2010  20102011x，则 f(x)2011x 2011，令 f(x)0得驻点

2009

x1，又 f (x)20112010x ，所以 f (1)201120100，因此由判定极值的第

二充分条件可知 f(1)0为极小值，并由单峰原理可知 f(1)0也为函数 f(x)的最小值，

即 f(x)0，也即原不等式成立。

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五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

x 2 ax1 e ax  x0 

23、设 f(x)1 x0，问常数为何值时，

 x0  

（1）x0是函数 f (x)的连续点？

（2）x0是函数 f (x)的可去间断点？

（3）x0是函数 f (x)的跳跃间断点？

评析：本题考查函数在某点处的连续性及间断点问题，历年来这种题型大都出现在选择或填 空题中，今年改变了形式，出现在了综合题中，我们仍然可以从左右极限入手分别加以讨论， 并不难回答它提出的三个问题。

2 ax 2 eax  x ax1 e x ax1 ae 2xa ax lim lim 2 lim

x0 xarctanx x0 x x0 2x

ax 2 2 a 2e a 2

lim 

－

2 2

ax 1 ae axeax 1 e  a lim lim lim  

sin2x 2x 2 2

上面我们分别求出了左右极限，接下来就可以分别就不同情况回答上面的三个问题了， 首先是第一个问题，若要满足连续，则必须左极限等于右极限，而且还要等于函数值，于是

a2 2 a

有 ，解得a 1或a 2，又在x0 处的函数值为 1，即 f (0)1，则此时只

2 2

能取a 2；其次是第二个问题，若要满足是可去间断点，则必须左极限等于右极限，但不

能等于函数值，利用上问的结果可知此时a 1；最后一个问题，若要满足是跳跃间断点，

a 2 2 a

则必须左极限不等于右极限，于是有 ，解得a 1且a 2。

2 2

24、设函数 f(x)满足微分方程xf (x)2f(x)(a1)x（其中a为正常数），且 f(1)1，

'

由曲线yf(x)(x1)与直线x1,y0所围成的平面图形记为D。已知D的面积为 。

2 3

（1）求函数 f(x)的表达式；

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（2）求平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积Vx；

（3）求平面图形D绕 y轴旋转一周所形成的旋转体的体积Vy 。

评析：本题考查定积分的应用，是历年来综合题中必考的题型，最近几年稍微加大了一些综 合性，比如本题对函数 f (x)是间接给出的，即在求面积或体积之间先要解一次微分方程才

可以，本题考查的是一阶线性微分方程。



()

2 x

2 2 ( ) dx x C]x [(a1) ()dxC] 所以 f(x)e x[(a1)e 2

x

a1

x ( C)Cx (a1)x

x

2

代入 f(1)1得C a，即 f(x)ax (a1)x

由方程ax (a1)x0可知它有两个根，即x0和x1，由此可画出上述平

1

a

面图形D

2 于是图形D的面积为S [ax (a1)x]dx



1

6 3

2

解得a 1，即抛物线与x轴的右交点为x2，则此时函数的表达式为 f(x)x 2x

2 2 5 4 3

V ( x 2x) dx( x  x )  1

5 3 15

1

2 bb 4ac

由yf(x)x 2x解出x得x11y （可以利用求根公式 ）

2a

(1 1

V 111 y) dy [2y(1y) ] 

21



3

2

2 3 6